人教版八年級數學上冊教案第十五章分式一、單元學習主題本單元是“數與代數”領域“數與式”主題中的“分式”.1.課標分析《標準2022》指出初中階段數與代數領域包括“數與式”“方程與不等式”和“函數”三個主題,“數與式”是學生理解數學符號,以及感悟用數學符號表達事物的性質、關系和規律的關鍵內容,是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學的語言表達現實世界的重要載體.“數與式”是代數的基本語言,現階段關注用字母表述代數式,以及代數式的運算,字母可以像數一樣進行運算和推理,通過字母運算和推理得到的結論具有一般性.“數與式”的教學:教師應該把握“數與式”的整體性,一方面,通過負數、有理數和實數的認識,幫助學生進一步感悟數是對數量的抽象,知道絕對值是對數量大小和線段長度的表述,進而體會實數與數軸上的點一一對應的數形結合的意義,會進行實數的運算;另一方面,通過代數式和代數式運算的教學,讓學生進一步理解字母表示數的意義,通過基于符號的運算和推理,建立符號意識,感悟數學結論的一般性,理解運算方法與運算律的關系,提升運算能力.2.本單元教學內容分析人教版教材八年級上冊第十五章“分式”,本章包括三個小節:15.1分式;15.2分式的運算;15.3分式方程.“數與式”主題通過從計算物體個數的活動中抽象出整數的概念,從把一個具體物體分為若干份的活動中抽象出分數的概念,這是一種從實物到數的抽象;為更好地反映這個一般規律,在研究整數和分數的過程中,又抽象出整式和分式的概念,這是一種從數到式的抽象.分數與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系,即相對于分式而言,分數是具體的、特殊的對象,分式是把具體的分數一般化后的抽象形式.本單元強調的是“從具體到抽象,從特殊到一般”的認識事物的一般規律,處處突出類比在本單元學習中的重要作用,在概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則等方面,分數與分式均相對應,兩者具有一致性,也可以說是數式通性.本單元自始至終重視分式與實際的聯系,選擇一些適合分式內容又接近學生生活的實際問題展開編寫.一方面要體現與研究分數類似,研究分式同樣也是實際需要;另一方面以分式為工具,分析、解決實際問題,提高學生把實際問題轉化為數學問題的能力,讓學生認識到代數式(包含分式)、分式方程是解決現實問題的數學模型,體會數學中的建模思想,進一步培養學生應用數學知識解決實際問題的興趣和意識,這將有助于培養學生的創新精神.三、單元學情分析本單元內容是人教版教材數學八年級上冊第十五章分式,它是“數與代數”中重要的一部分,學生在前面已經學習了整數與整式、一元一次方程、二元一次方程組等知識,初步積累了一定的用字母表示數以及四則混合運算的數學學習經驗,特別是對一元一次方程的解法及基本思路已經比較熟悉,因此本單元運用類比的數學思想來展開分式教學,大大降低了學生學習的難度,同時這種“從具體到抽象、由特殊到一般”的認識事物的基本方法,會潛移默化地引導學生養成良好的學習習慣.建立分式方程的模型來解決實際問題是本單元的一個重要任務,能否以分式方程為工具,分析和解決問題是對學生應用意識和模型觀念的一個重要考量,也是教學的關鍵.雖然分式整章的學習接近學生的最近發展區,但利用分式方程解決問題的特殊性,對學生來說仍是一個難點,分式方程化整式方程的基本思路是基礎,對解出的未知數進行檢驗確認是必不可少的步驟,所以在此體會解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,這對學生認識水平的提高,知識體系的構建是不可缺少的.四、單元學習目標1.以描述實際問題中的數量關系為背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基礎上發展學生的抽象能力.2.能通過類比分數的基本性質,了解分式的基本性質,并利用分式的基本性質進行約分和通分,提高學生的知識類比和遷移能力,發展學生的推理能力.3.通過類比分數的四則運算法則,探究分式的四則運算法則,能進行簡單的分式加、減、乘、除運算,逐步提高學生的運算能力.4.結合分式的運算,將指數的范圍從正整數擴大到全體整數,了解整數指數冪的運算性質;能用科學記數法表示小于1的正數,發展學生的抽象能力、運算能力和模型觀念.5.掌握可化分式方程為一元一次方程的解法,體會解分式方程過程中的化歸思想,發展學生的運算能力和推理能力.6.經歷利用分式方程解決實際問題的過程,進一步體會方程是刻畫實際問題中數量關系的一種重要模型,培養學生的模型觀念、應用意識和創新意識.五、單元學習內容及學習方法概覽六、單元評價與課后作業建議本單元課后作業整體設計體現以下原則:針對性原則:每課時課后作業嚴格按照《標準2022》設定針對性的課后作業,及時反饋學生的學業質量情況.層次性原則:教師注意將課后作業分層進行,注重知識的層次性和學生的層次性.知識由易到難,由淺入深,循序漸進,突出基礎知識,基本技能,滲透人人學習數學,人人有所獲.重視過程與方法,發展數學的應用意識和創新意識.生活性原則:本節課的知識來源于生活,應回歸于生活,體現數學的應用價值.根據以上建議,本單元課后作業設置為兩部分,基礎性課后作業和拓展性課后作業.15.1.1從分數到分式課時目標1.以描述實際問題中的數量關系為背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基礎上發展學生的抽象能力.2.借助從特殊到一般的的研究思路,類比分數,討論要使分式有意義時分母應滿足的條件,發展學生的推理能力.3.通過經歷類比分數學習分式的過程,培養學生與人合作的意識,進一步體會類比轉化、合情推理、抽象概括等學習方式,發展學生的抽象能力和推理意識.學習重點理解分式的概念,分式有意義的條件.學習難點能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為零的條件.課時活動設計回顧引入根據問題,填空:(1)長方形的面積為10cm2,長為7cm,寬為

107cm;長方形的面積為S,長為a,寬為

Sa(2)把體積為200cm3的水倒入底面積為33cm2的圓柱形容器中,水面高度為

20033cm;把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中,水面高度為

VS設計意圖:以學生學過的分數引入分式,有利于體現知識的必然聯系和循序漸進的原則;通過類比讓學生解決實際問題,為新知的構建奠定基礎.

探究新知探究1分式的概念問題1:請同學們看一下這四個式子,它們有什么相同點和不同點?107,Sa,20033學生先思考,再小組交流,教師請兩個學生分別說出相同點和不同點.解:相同點:這些式子有同樣的形式,都是AB(即A÷B)的形式不同點:107,20033分子和分母為整數,Sa,追問:Sa,VS和9030+v學生小組交流、討論得出結論.解:相同點為這些式子有同樣的形式,都是AB(即A÷B)的形式,且分母都含有字母不同點為9030+v,6030-v分子不含字母,S教師說明這四個式子均為分式,并引導學生類比分數得到分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B問題2:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?5x-7,3x2-1,b-32a+1,m(n+p)7,-5,x2解:整式:5x-7,3x2-1,-5;分式:b-32a+1,m(n+p)7,x2設計意圖:通過分析問題加深學生對分式的概念的理解,從而揭示分式的概念的本質.讓學生在眾多的代數式中區分出整式與分式,意在加深學生對分式的概念的本質的理解,進一步鞏固分式的概念.

探究新知探究2分式有意義和值為0的條件問題1:我們知道,要使分數有意義,分數中的分母不能為0,那么要使分式有意義,分式中的分母應滿足什么條件?學生先思考,再小組交流,類比分數有意義的條件得到分式有意義的條件.結論:分式中的分母表示除數,由于除數不能為0,所以分式的分母不能為0,即當B≠0時,分式AB才有意義問題2:計算:03,05,解:000追問:通過上述計算,你發現了什么?解:當分子為0,分母不為0時,分數的值為0.問題3:計算:0x2+1,0x+1(x≠-1),解:000追問:通過上述計算,你發現了什么?解:當分子為0,分母不為0時,分式的值為0.結論:分子為0,分母不為0,分式值為0.設計意圖:掌握使分式有意義和值為0的條件,有利于學生更好地了解分式的概念.典例精講例下列分式中的字母滿足什么條件時,分式有意義?(1)23x;(2)1x-1;(3)15-3解:(1)x≠0.(2)x≠1.(3)b≠53.(4)x≠設計意圖:讓學生通過類比分數有意義的條件是分母不能為0,得到分式有意義的條件,自己發現問題、解決問題并找到關鍵所在,既能激發學生的求知欲望,又能讓學生有效地認識新知,消化新知.鞏固訓練1.當x為何值時,下列分式的值為0?(1)2x2x解:(1)x=0.(2)x=-4.2.當x為何值時下列分式無意義?(1)x-5x+5解:(1)x=-5.(2)x=-3或1.設計意圖:通過鞏固訓練,加深學生對分式有意義的條件的理解,并能正確地求出分式有意義的條件;同時讓學生明白分式的值為0、有意義、無意義時必須同時滿足的條件,區別“或”與“且”的用法.另外,設計“分式有意義”的變式題,意在讓學生在題目具有挑戰性的情況下,通過小組研究、討論得出答案,培養學生小組合作、探究的意識以及應用所學知識解決問題的能力,在獲得正確結果的情況下,增強學生學習數學知識的信心.課堂小結1.分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B2.分母不為0,分式有意義;分母為0,分式無意義.3.分子為0,分母不為0,分式值為0.4.談談今天的收獲?設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,為接下來的學習打好基礎.課堂8分鐘.1.教材第128,129頁練習第1,2,3題.2.七彩作業.

15.1.1從分數到分式一、分式的定義.二、分式有意義的條件:三、例題講解.四、課堂評價.教學反思

15.1.2分式的基本性質第1課時分式的基本性質與約分課時目標1.通過類比分數的基本性質歸納得出分式的基本性質,體驗類比轉化的思想方法,發展學生的推理能力.2.通過類比分數的約分得出分式的約分,從中體會“數式通性”和類比的思想方法,發展學生的抽象能力.3.經歷運用分式的基本性質進行約分的過程,體會運算的原理以及最簡分式的內涵,培養學生的運算意識,發展學生的運算能力.學習重點理解并掌握分式的基本性質.學習難點能運用分式的基本性質進行分式的約分.課時活動設計情境引入有位老爺爺把一塊地分給三個兒子,老大分到了這塊地的13,老二分到了這塊地的26,老三分到了這塊地的412.老大、老二覺得自己很吃虧,于是他們就爭吵起來.剛好阿凡提路過,問清爭吵的原因后,哈哈大笑了起來,給他們講了幾句話,三兄弟就停止了爭吵.你知道阿凡提給他們講的是什么嗎?13,2設計意圖:創設故事情境導入新課,激發了學生學習本課的好奇心,同時運用分數的基本性質進行分數變形,復習分數的基本性質,為類比學習分式的基本性質作鋪墊.探究新知探究1分式的基本性質師生活動:以提問的方式回顧分數的基本性質,教師黑板上板書.由分數的基本性質可知,如果數c≠0,那么23=2c3c,一般地,對于任意一個分數ab,有ab=a·cb·c,ab=a÷cb問題1:類比分數的基本性質,你能猜想分式有什么性質嗎?學生獨立思考,小組討論,教師引導學生進行歸納總結:分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式,分式的值不變.用式子表示為AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷探究2分式的約分與最簡分式問題2:聯想分數的約分,你能想出如何對分式進行約分嗎?師生活動:教師在黑板上板書:4c5c=4教師引導學生歸納出約分的概念:把一個分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.教師在黑板上板書:4c5bc=4教師引導學生得出結論:這次約分后是分式的形式,且分子與分母沒有公因式.教師歸納出最簡分式的概念:分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.設計意圖:給學生獨立思考、自主探究的機會,并在研究思路上加以引導,同時滲透類比的思想方法.這樣做一方面可以提高學生對分式基本性質的認識,另一方面可通過師生歸納,進一步加深學生對分式基本性質的理解.典例精講例約分:(1)-25a2bc315ab2解:(1)原式=-25a2b(2)原式=(x+3)(x(3)原式=6(x-y)設計意圖:通過例題,進一步鞏固分式的基本性質的應用條件、基本方法和需要注意的問題,使學生明確:1.找出分子和分母的公因式是約分的第一步,同時公因式應找全,約分要徹底;2.分子與分母沒有公因式的分式是最簡分式,使學生加深對最簡分式的理解.鞏固訓練1.下列各式中哪一個是最簡分式(D)A.x2-y2x2+y22.填空:(1)x-yx(2)c-ba=((3)x3xy=(x2(4)1ab=(a)a2b3.約分:(1)a2bab2;(2)x解:(1)原式=a2b÷((2)原式=(x+4)(x(3)原式=5(x-y)設計意圖:通過鞏固訓練,及時鞏固本節課所學知識,進一步加深學生對分式基本性質的理解.課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式的基本性質:分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式,分式的值不變.3.把一個分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.4.分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,及時查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第132頁練習第1題,第133頁習題15.1第3,5,6題.2.七彩作業.

第1課時分式的基本性質與約分一、分式的基本性質.二、分式的變號法則.三、分式的約分→最簡分式.四、例題講解.五、課堂評價.教學反思

第2課時分式的通分課時目標1.通過類比分數的通分得出分式的通分,從中體會“數式通性”和類比的思想方法,發展學生的抽象能力.2.經歷用觀察、類比、聯想的方法探索分式通分方法的過程,體會分式通分運算的原理,培養學生的運算意識.3.理解最簡公分母的內涵,能準確確定分式的最簡公分母,熟練進行分式的通分.學習重點能運用分式的基本性質進行分式的通分.學習難點分式通分時最簡公分母的確定.課時活動設計

回顧引入問題:1.把分數78和512通分:78=

2124,5122.利用分式的基本性質,把12ab和2-b3a2化成分母都是解:12ab=1·(3a)2ab設計意圖:讓學生回憶分數的通分和分式的基本性質,并利用它解決問題,喚醒學生的知識儲備,為分式通分的概念的自然引入作好鋪墊.同時教學中要貫徹以學生為本的指導思想,通過具體問題,引導學生采用類比推理、合作探究等方法來探究分式通分的概念.探究新知問題:聯想分數的通分,由此你能想出如何對分式進行通分嗎?師生活動:通過教學活動1中具體的例子,教師引導學生回憶前面學過的分數的通分,再利用類比的方法得出分式的通分:根據分式的基本性質,把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.為通分,要先確定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母,它叫做最簡公分母.在教學過程中,教師要引導學生通過觀察、思考、類比等方法來總結歸納確定最簡公分母的一般步驟:(1)找系數:如果各分母的系數都是整數,那么取它們的最小公倍數;(2)找字母:凡各分母因式中出現的所有字母或含字母的多項式都要選取;(3)找指數:取分母因式中出現的所有字母或含字母的多項式中指數最大的,這樣取出的因式的積,就是最簡公分母.設計意圖:以此活動激活學生原有的知識體系,充分體現學生的學習是在原有知識的基礎上自我生成的一個過程,有利于讓學生更好地掌握類比的學習方法.

典例精講例找出下列各組分式的最簡公分母并通分:(1)32a2b與a-ba解:(1)最簡公分母是2a2b2c,32a2b=a-bab2(2)最簡公分母是(x-5)(x+5),2xx-5=23xx+5=3設計意圖:通過例題,使學生能夠準確確定分式的最簡公分母,熟練進行分式的通分,提高學生的教學應用能力.鞏固訓練指出下列分式的最簡公分母并通分:(1)26a3bc與a-215a2b2d;解:(1)最簡公分母:15a3b2cd,26a3bc=13a-215a2b2d(2)最簡公分母:x(x+2)2,x-2x2+2x=x-2x(x-1(x+2)2(3)最簡公分母:(a+1)2(a-1),a-1a2+2a+1=a-1(a6a2-1=6·(a設計意圖:通過鞏固訓練,一是使學生注意當分母是多項式時,把分母分解因式后,再確定最簡公分母;二是通過解決題目的過程,讓學生反思解決問題的方法和結論,形成批判性思維和發散性思維,提高學生的總結概括能力和運算能力.課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式的通分:根據分式的基本性質,把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.3.最簡公分母的確定:①找系數;②找字母;③找指數.設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,為接下來的學習打好基礎.課堂8分鐘.1.教材第132頁練習第2題,第133頁習題15.1第7題.2.七彩作業.第2課時分式的通分一、分式的通分.二、最簡公分母的確定:最簡公分母1.三、例題講解.四、課堂評價.

教學反思

15.2.1分式的乘除第1課時分式的乘除課時目標1.通過類比分數的乘除法法則得出分式的乘除法法則,從中體會“數式通性”和類比轉化的思想方法,發展學生的抽象能力.2.使學生經歷分式的乘除運算規律的發現過程,培養學生自主探索、自主學習、自主歸納知識的意識,進一步提高學生的運算能力.3.通過運用分式的乘除法法則進行運算,解決一些與分式乘除法有關的實際問題,使學生養成理論聯系實際的習慣,發展實踐能力,培養應用意識.學習重點運用分式的乘除法法則進行運算.學習難點分子、分母為多項式的分式的乘除運算.課時活動設計回顧引入大家之前學習過分數的乘除法法則,現在是否還有印象?師生活動:教師在黑板列出2道分數乘除法的題目,并請兩位學生上臺板書.計算:(1)23×56;(2)23解:(1)23×56=2×53×6=(2)23÷56=23×65=2×63×5設計意圖:通過回顧分數的乘除法法則引入新課,為學習分式的乘除法法則作鋪墊.

探究新知問題1:一個長方體容器的容積為V,底面的長為a,寬為b,高為h,當容器內的水占容積的mn時,水高多少解:水高=h×mn=Vab×mn問題2:大拖拉機m天耕地a公頃,小拖拉機n天耕地b公頃,大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍?解:倍數=大拖拉機的工作效率小拖拉機的工作效率=am÷bn=am×問題3:觀察下列運算.23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=23×5猜一猜:ab×dc=?ba解:ab×dc=a×db×c,ba÷類比分數的乘除法法則,你能說出分式的乘除法法則嗎?師生活動:通過教學活動1中的具體例子,引導學生回憶前面學過的分數的乘除法法則,利用類比的方法得出分式的乘除法法則.乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.用式子表示為:ab·cd=a·cb·d,ab÷設計意圖:以此活動激活學生原有的知識體系,充分體現學生的學習是在原有知識的基礎上自我生成的一個過程,有利于讓學生更好地掌握類比的學習方法.

典例精講例1計算:(1)4x3y·y2x3;解:(1)原式=4xy6x3(2)原式=ab32c2·4例2計算:(1)a2-4a+4a2-2a+1解:(1)原式=(a-2=(=a-2(2)原式=1(7+m)(7-m)例3如圖,“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分,“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a-1)m的正方形,兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg.(1)哪種小麥的單位面積產量高?(2)高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍?解:(1)“豐收1號”小麥的試驗田面積是(a2-1)m2,單位面積產量是500a2-1“豐收2號”小麥的試驗田面積是(a-1)2m2,單位面積產量是500(a-1∵a>1,∴(a-1)2>0,a2-1>0.∵(a-1)2-(a2-1)=2-2a<0,∴(a-1)2<a2-1.∴500a2-1所以“豐收2號”小麥的單位面積產量高.(2)500(a-1)2÷500a2-1=所以“豐收2號”小麥的單位面積產量是“豐收1號”小麥的單位面積產量的a+1a設計意圖:通過例題,使學生掌握分式的乘除法法則,引導學生用分式的乘除法解決生活中的實際問題,提高“用數學”的意識,讓學生感受到學以致用,體會到能夠完整解決問題的喜悅,同時訓練學生的書面表達能力,培養學生解決問題的能力.鞏固訓練1.計算:(1)3a5b·2b6a2解:(1)原式=3a·2b(2)原式=2x5mn×4xy=2.計算:(1)a-b2ab·3a2b解:(1)原式=(a-b(2)原式=9y2-x2x2+2x設計意圖:通過鞏固訓練,及時鞏固本節課所學知識,幫助學生熟練掌握分式的乘除法法則.課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式的乘法法則:ab·cd=3.分式的除法法則:ab÷cd=ab·d設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,及時查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第138頁練習第2,3題,第146頁習題15.2第1,2題.2.七彩作業.第1課時分式的乘除一、分式的乘除法法則:分式的乘除乘法法則二、例題講解.注意:1.運用法則時注意符號的變化;2.因式分解在分式乘除法中的應用;3.結果要化成最簡分式或整式.三、課堂評價.教學反思

第2課時分式的乘方及乘除混合運算課時目標1.讓學生經歷分式的乘方法則的生成過程,培養學生自主探索、自主學習、交流合作的意識,提高學生的總結歸納能力.2.運用分式的乘除法法則、分式的乘方法則解決數學問題,讓學生感受到數學知識的應用過程,培養學生的應用意識,提高學生的運算能力.3.類比分數的乘除法、乘方混合運算,進行分式的乘除法、乘方混合運算,讓學生體會數與式的發展過程,感悟數與式在運算法則及運算順序上的高度統一,培養學生的類比意識,發展學生的抽象能力.學習重點會進行分式的乘方運算,分式的乘除法、乘方混合運算.學習難點分式的乘除法、乘方混合運算以及運算中符號的確定.課時活動設計回顧引入引導學生用自己的語言描述分式的乘除法法則.教師在黑板上列出分式的乘除法法則:分式的乘法法則:ab·cd=分式的除法法則:ab÷cd=設計意圖:通過回顧分式的乘除法法則,來確認學生是否掌握了分式的乘法、除法運算,為本節課的學習打好基礎.探究新知問題1:計算:2x5x-3÷解:原式=2x5x-3·25x問題2:計算下列各題:(1)ab2;(2)ab3;(3)ab4;(4)解:(1)原式=ab·ab=a·(2)原式=ab·ab·ab=a(3)原式=ab·ab·ab·ab=師生活動:教師引導學生觀察前三個小問中等式兩邊有怎樣的聯系,再根據乘方的意義和分式乘法的法則推導出分式乘方的運算法則:abn=ab×ab×…×abn個=a×教師引導學生用文字描述分式乘方的運算法則:分式乘方要把分子、分母分別乘方.設計意圖:先引導學生觀察若干特例,再歸納出分式乘方的運算法則.在這個過程中學生可以通過比較、聯想、探索,從直觀中歸納出理性的規律,促使學生學習從特殊到一般的認識事物的思維方法.典例精講例計算:(1)-2a2b3c2;(2)解:(1)原式=(-2a2b)2(2)原式=a6b3-c3d9÷2ad3·c24設計意圖:引導學生回憶前面學過的分數的乘除法、乘方混合運算,利用類比的方法進行分式的乘除法、乘方混合運算,體會數與式的發展過程,感悟數與式在運算法則及運算順序上的高度統一,培養學生的類比意識,提高學生的運算能力.鞏固訓練1.計算:(1)2x2-3y2·-5y6x÷10y(3)-x2y2·解:(1)原式=2x2-3y2·-5(2)原式=(a+1)(a-1)(a-2(3)原式=x4y2·-y6x2.先化簡,再求值:a-1a+2·a2-4a2-2a+1÷1解:原式=a-1a+2·(a+2)(a-2)(a-1)2·(a+1)(設計意圖:通過鞏固訓練,讓學生自主探索、充分交流,在運算的過程中使學生掌握基礎知識、基本的運算方法,體會運算法則和運算順序,內化自身的運算認知,在循序漸進的運算中,提高自己的運算能力,同時通過具體的解題步驟,讓學生感受到數學的嚴謹性,規范解題步驟和書寫格式.課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式乘方的運算法則:分式乘方要把分子、分母分別乘方.3.分式的乘除混合運算.設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,為接下來的學習打好基礎.課堂8分鐘.1.教材第139頁練習第1,2題,第146頁習題15.2第3題.2.七彩作業.第2課時分式的乘方及乘除混合運算一、分式的乘除法運算.分式的乘除法運算歸根結底是乘法運算.二、分式的乘方:abn=an三、例題講解.四、課堂評價.教學反思

15.2.2分式的加減第1課時分式的加減課時目標1.讓學生經歷分式的加減法法則的生成過程,培養學生自主探索、自主學習、自主歸納知識的意識,提高學生知識的類比遷移能力.2.運用分式的加減法法則解決數學問題,讓學生感受到數學知識的應用過程,培養學生的應用意識,提高學生的運算能力.3.類比分數的加減法運算,進行分式的加減法運算,讓學生體會數與式的發展過程,感悟數與式在運算法則及運算順序上的高度統一,培養學生的類比意識,發展學生的抽象能力.學習重點運用分式的加減運算法則進行運算.學習難點異分母分式的加減運算.課時活動設計情境引入甲工程隊完成一項工程需n天,乙工程隊要比甲隊多用3天才能完成這項工程,兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾?教師引導分析,學生思考、交流.解:甲工程隊一天完成這項工程的1n,乙工程隊一天完成這項工程的1n+3,設計意圖:通過具體問題情境導入新課,讓學生感受到分式的加減運算是由實際需要產生的,激發學生的學習興趣,提高學生的學習效率.探究新知問題1:2009年、2010年、2011年某地的森林面積(單位:km2)分別是S1,S2,S3,2011年與2010年相比,森林面積增長率提高了多少?學生小組討論,選取兩名學生分別列出2010年、2011年的森林面積增長率:解:2010年的森林面積增長率是S2-S1根據2010年、2011年的森林面積增長率,得出結論:解:2011年與2010年相比,森林面積增長率提高了S3-S教學中討論這兩個問題時,重點放在列出算式,為引出分式的加減法法則做準備.問題2:請同學們先填空,再觀察下列分數加減運算的過程:15+25=35,15-2512+13=36+26=56,12-13追問:你能根據上面的式子,類比分數加減法法則,得出分式的加減法法則嗎?師生活動:學生先觀察分數加減運算的過程,然后選一名學生用符號總結前兩個分數加減運算的規律:ac±bc=a±bc;再選一名學生用符號總結后兩個分數加減運算的規律:ab±cd=教師引導學生用文字表述分式的加減法法則:同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減;異分母分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減.設計意圖:從學生已有的數學經驗出發,建立新舊知識之間的聯系.類比同分母與異分母分數的加減,學生很容易歸納出同分母分式與異分母分式加減的方法,培養學生交流合作能力和創新實踐能力.

典例精講例計算:(1)m+nn+m-nn;(2)a2a-解:(1)原式=(m+n(2)原式=a2-b2a-(3)原式=3x+3yx2設計意圖:設置一組同分母分式的加減法運算,目的是讓學生掌握同分母分式加減法法則:同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減,同時內化運算法則,提升運算能力.鞏固訓練1.計算:(1)a2b2ab-ab-b2ab-a2;(2)a解:(1)原式=ab-b(a-b)a((2)原式=a2+b(3)原式=2p-3q2.觀察下列分式的加減的運算過程是否正確,如果不正確,請把正確的運算過程寫下來.(1)a2+b2ab(2)x2x-1-x-1=x2x-1-解:(1)不正確,a2+b2ab-a2-(2)不正確,x2x-1-x-1=x2x-1-x+1設計意圖:通過設置鞏固訓練,鞏固本節課所學知識,及時查漏補缺.

課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式的加減法法則:同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減;異分母分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減.設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,為接下來的學習打好基礎.課堂8分鐘.1.教材第141頁練習第1,2題,第146頁習題15.2第4,5題.2.七彩作業.第1課時分式的加減一、分式的加減法法則:同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減,用式子表示為ac±bc=異分母分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減,用式子表示為ab±cd=adbd±bc二、例題講解:(1)分式加減運算的結果要化成最簡分式或整式;(2)同分母分式相加減時要注意:“把分子相加減”就是把各個分式的分子“整體”相加減,在這里要注意分數線的括號作用;(3)異分母分式加減法的一般步驟:①通分;②加減;③合并;④約分;(4)整式可以看成是分母為1的分式.三、課堂評價.教學反思

第2課時分式的混合運算課時目標1.通過類比分數的混合運算順序,歸納得出分式的混合運算順序,體會數與式的發展過程,感悟數與式在運算法則和運算順序上的高度統一,培養學生的類比意識,發展學生的抽象能力.2.通過運用分式的混合運算解決數學問題,讓學生感受到數學知識的應用過程,培養學生的應用意識,提高學生的實踐能力.3.通過使學生經歷分式混合運算的過程,培養學生積極思考、自主探索、合作交流和辨析提高的學習意識,提高學生的運算能力.學習重點熟練地進行分式的混合運算.學習難點熟練地進行分式的混合運算及化簡求值問題.課時活動設計情境引入有一財主死后,他的兩個兒子高興地打開父親留下的藏寶地圖,看到上面有一段文字記錄:計算x2-2x+1x2-1÷老大拿出紙筆一算,一氣之下將藏寶圖一把扔了,老二連忙撿起,經過仔細思考算出后,生氣地一把火燒掉了它.財主忘記了寫x的值,兩個兒子是怎么計算出寶物的情況的呢?財主到底留下了多少寶物呢?通過本節課的學習,你就會明白其中的道理了.設計意圖:設置故事情境引入新課,讓枯燥的計算問題變得更具吸引力,調動起學生學習的積極性,激發他們的求知欲.探究新知問題1:計算:x2-4x解:原式=(x-2)2(x-2)(x+2)教師引導學生類比分數的混合運算順序,總結分式的混合運算順序:先乘方,再乘除,最后算加減,有括號的先算括號里面的.教師針對這類題目給學生提供以下建議:(1)一般按分式的運算順序進行計算,但恰當地使用運算律會使運算更簡便;(2)計算乘除時,要隨時對分子、分母進行因式分解;(3)注意括號的“添”或“去”;(4)結果要化為最簡分式或整式.設計意圖:從學生已有的數學經驗出發,建立新舊知識之間的聯系.學生通過類比、思考,激活原有知識,讓學生感悟自己的學習是在原有知識的基礎上自我生成的過程.典例精講例計算:(1)2ab2·1a-b-ab÷b(3)x+2x2解:(1)原式=4a2b2·1a-b-ab·4=4a2-4a2(2)原式=m+2+52-m·2=(3-m)(3+=-2(m+3)=-2m-6.(3)原式=x+2x=(x+2)(=x2-4-x設計意圖:設置這一組分式的混合運算的例題,目的是讓學生進一步掌握分式混合運算時的運算順序,培養學生良好的運算習慣,讓學生在運算的過程中體會運算順序和各項法則,內化自身的運算認知,在循序漸進的運算中,提高自己的運算能力.鞏固訓練1.計算:(1)x2x-1(2)1-2x+1(3)2ab(a(4)1x-y解:(1)原式=x2x-1-(x+1)((2)原式=x+1x+1-2x+1·(3)原式=2ab-2bc(a(4)原式=x+y=2x(x+y2.先化簡再求值:1x+1-1x2-1·x2-2解:原式=1x+1-1=1x+1-x-1(x當x=2-1時,原式=2(2-1+1)2=設計意圖:通過鞏固訓練,及時鞏固本節課所學知識,幫助學生更好地掌握分式的乘除法法則,熟練地進行分式的混合運算.課堂小結1.本節課探究了分式的哪些問題?2.分式的混合運算順序:先乘方,再乘除,最后算加減,有括號的先算括號里面的.3.進行分式的混合運算時注意的問題:(1)一般按分式的運算順序進行計算,但恰當地使用運算律會使運算更簡便;(2)計算乘除時,要隨時對分子、分母進行因式分解;(3)注意括號的“添”或“去”;(4)結果要化為最簡分式或整式.設計意圖:通過課堂小結,回顧本節課所學知識,及時查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第142頁練習第2題,第146頁習題15.2第6題.2.七彩作業.第2課時分式的混合運算一、分式的混合運算順序:先乘方,再乘除,最后算加減,有括號的先算括號里面的.二、例題講解:(1)一般按分式的運算順序進行計算,但恰當地使用運算律會使運算簡便;(2)計算乘除時,要隨時對分子、分母進行因式分解;(3)注意括號的“添”或“去”;(4)結果要化為最簡分式或整式.三、課堂評價.教學反思

15.2.3整數指數冪第1課時整數指數冪的運算性質課時目標1.讓學生經歷負整數指數冪運算性質的得出過程,提高學生歸納、類比和抽象的能力,培養學生的創新意識.2.通過經歷整數指數冪的獲得過程,讓學生感受到數學知識間合理的內在邏輯,培養學生的合情推理,提高學生的推理能力.3.讓學生在運用整數指數冪的運算性質進行計算的過程中逐步內化自身的認知,提高學生的運算能力.學習重點掌握整數指數冪的運算性質.學習難點負整數指數的性質的理解和應用.課時活動設計復習回顧我們知道,當n是正整數時,an=a·回憶正整數指數冪的運算性質:(1)am·an=am+n(m,n是正整數);

(2)am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數,并且m>n);

(3)(am)n=amn(m,n是正整數);

(4)(ab)n=anbn(n是正整數);

(5)abn=

anbn(6)a0=1(a≠0).

am中的指數m可以是負整數嗎?如果可以,那么負整數指數冪am表示什么?設計意圖:引導學生回憶正整數指數冪的運算性質,溫故而知新,喚醒學生已有的知識體系,通過復習正整數指數冪和0指數冪的性質,引入負整數指數冪,為新知識的合理介入指明了方向,有利于學生知識的完整構建,為本節課的學習作鋪墊.探究新知用正整數指數冪的運算性質(2)(將m>n這一條件去掉)和分式的約分兩種方式計算52÷55,并觀察兩種方式的計算結果,你能有什么發現?學生自己獨立完成計算,分小組交流討論,教師給出完整的計算過程并總結.52÷55=52-5=5-3,52÷55=5255=153.觀察這兩個式子可以發現學生通過上面的內容可以得到am÷an=am-n這條性質也適用于像52÷55這樣的情形.一般地,當n是正整數時,a-n=1an(a≠0).這就是說,a-n(a≠0)是an引入負整數指數和0指數后,am·an=am+n(m,n是正整數)這條性質能否推廣到m,n是任意整數的情形?教師通過以下計算過程引導學生發現規律,并進行總結.a3·a-5=a3a5=1a2=a-2=a3+(-5),即a3·aa-3·a-5=1a3·1a5=1a8=a-8=a(-3)+(-5),即a-3·a0·a-5=1·1a5=1a5=a-5=a0+(-5),即a0·a-5歸納:1.am·an=am+n這條性質對于m,n是任意整數的情形仍然適用;2.隨著指數的取值范圍由正整數推廣到全體整數,前面提到的運算性質也推廣到整數指數冪.設計意圖:按照從特殊到一般、從具體到抽象的認識過程,讓學生類比發現,自己總結結論,實現學生主動參與、探究新知識的目的,從而培養學生歸納、類比和抽象的能力.典例精講例計算:(1)a-2÷a5;(2)b3a2-2;(3)(a-1b2)3;(4)a-2b2·(a2b解:(1)a-2÷a5=a-2-5=a-7=1a(2)b3a2-2=b-6a-4=(3)(a-1b2)3=a-3b6=b6(4)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b8提醒:(1)解題時應直接運用這些性質,而不要急于轉化為分式形式;(2)整數指數冪的運算性質也可以逆向進行;(3)通常計算的最后結果要寫成分式的形式.設計意圖:這是一組直接運用整數指數冪的運算性質進行計算的題目,通過例題使學生掌握指數由正整數拓展到整數后的新情形,熟練使用運算方法,掌握運算技能,提高運算能力.歸納總結根據整數指數冪的運算性質,當m,n為整數時,am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am·a-n,即同底數冪的除法am÷an可以轉化為同底數冪的乘法am·a-n,特別地,ab=a÷b=a·b-1,所以abn=(a·b-1)n,即商的乘方abn可以轉化為積的乘方(a·b-1)n(1)am÷an=am+n(m,n是整數);(2)(am)n=amn(m,n是整數);(3)(ab)n=anbn(n是整數).設計意圖:類比負數的引入可以使減法轉化為加法,得到負指數冪的引入可以使冪的除法轉化為冪的乘法、商可以轉化為積這個結論,從而使分式的運算與整式的運算統一起來,將整數指數冪的運算性質進行總結.課堂8分鐘.1.教材第145頁練習第1,2題,第147頁習題15.2第7題.2.七彩作業.第1課時整數指數冪的運算性質一、正整數指數冪的運算性質.二、負整數指數冪的運算性質.三、例題講解.四、整數指數冪的運算性質.教學反思

第2課時科學記數法課時目標1.讓學生經歷小于1的正數的科學記數的獲得過程,感受數學知識之間的內在聯系,提高學生的歸納、類比和抽象能力.2.通過對小于1的正數的科學記數的過程,讓學生感受到數學知識的本質所在,培養學生觀察、分析和總結的能力.學習重點會用科學記數法表示小于1的正數.學習難點知道用科學記數法表示小于1的正數時,a×10-n形式中n的取值與小數中左起第一個非0數字前0的個數的關系.課時活動設計回顧引入1.用科學記數法表示745000,2930000.2.大于10的數用a×10n表示時,a,n應滿足什么條件?3.負整數指數冪的公式是什么?學生自主交流,討論.思考:我們已經學會了用科學記數法表示一些較大的數,你能用科學記數法表示較小的數嗎?設計意圖:引導學生完成上述問題,溫故而知新,喚醒學生已有的知識體系,為本節課的學習作鋪墊.同時,提出新的問題,為新知識的學習明確了方向.探究新知1.填空:10-1=110=0.1;10-2=1102=0.01;10-3=110310-n=

110n=

反過來:0.1=110=1×10-1;0.01=1102=1×10-2;0.001=110=110n=1×10-n2.解決問題:(1)0.000025=2.5×

1105=2.5×10(2)0.0000000257=2.57×

1108=2.57×10運用由特殊到一般和類比的數學思想歸納出=10-n,讓學生看到可以利用10的負整數次冪,用科學記數法表示一些小于1的正數,即將它們表示成a×10-n的形式,其中n是正整數,1≤a<10.設計意圖:讓學生通過這種親自參與、探索研究數學知識獲得的過程,感受數學知識之間的密切聯系,深化自己的認知,從而構建科學記數法的完整知識體系.

典例精講例納米(nm)是非常小的長度單位,1nm=10-9m.把1nm3的物體放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空間可以放多少個1nm3的物體(物體之間的間隙忽略不計)?解:1mm=10-3m,1nm=10-9m.(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.所以1mm3的空間可以放1018個1nm3的物體.1018是一個非常大的數,它是1億(即108)的100億(即1010)倍.設計意圖:運用數學知識解決實際問題是學習數學的重要目標,讓學生在學習知識的過程中解決實際問題,體會數學的“學以致用”.鞏固訓練計算(結果用科學記數法表示):(1)(3×10-5)×(5×10-3);(2)(3×10-15)÷(5×10-4);(3)(1.5×10-16)×(-1.2×10-3); (4)(-1.8×10-10)÷(9×108).解:(1)1.5×10-7;(2)6×10-12;(3)-1.8×10-19;(4)-2×10-19.設計意圖:設置這類計算題,不僅是為了鞏固本節課的所學知識,還為了通過做題讓學生意識到用科學記數法表示數能使運算更簡便.課堂小結1.如何用科學記數法表示大于10的數?2.如何用科學記數法表示小于1的正數?設計意圖:讓學生自己總結本節課的內容,幫助學生鞏固新的知識,培養學生的總結概括能力.課堂8分鐘.

1.教材第145頁練習第1,2題,第147頁習題15.2第8,9題.2.七彩作業.第2課時科學記數法一、大于10的數的科學記數:N=a×10n(其中n是正整數,1≤a<10).二、小于1的正數的科學記數:N=a×10-n(其中n是正整數,1≤a<10).三、例題講解.教學反思

第1課時分式方程課時目標1.讓學生經歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程,發展學生分析問題、解決問題的能力,滲透數學的轉化思想,培養學生的應用意識.2.通過探究分式方程解法的過程,讓學生感受增根產生的合理性及驗根的必要性,提升學生思維的深度認知.3.通過使學生經歷運用所學知識解分式方程的過程,讓學生體會化歸的數學思想和數學知識之間的內在聯系,進一步提高學生的運算能力.學習重點分式方程的解法.學習難點理解解分式方程時可能無解的原因.課時活動設計新知引入一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時,它以最大航速沿江順流航行90千米所用的時間,與以最大航速逆流航行60千米所用的時間相等,江水的流速為多少?分析:設江水的流速為v千米/時,(1)輪船順流航行速度為30+v千米/時,逆流航行速度為30-v千米/時;

(2)順流航行90千米的時間為

9030+v小時,逆流航行60千米的時間為

6030-(3)根據題意可列方程為

9030+v=60想一想,像這樣的方程屬于什么方程,應該怎樣解呢?設計意圖:通過經歷實際問題→列分式方程,讓學生體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型,發展學生分析問題和解決問題的能力,培養應用意識,激發學生的探究欲與學習熱情,為探索分式方程的解法做準備.探究新知探究1分式方程的概念問題1:什么是方程?我們學習過哪些方程?它們都是怎么定義的?學生代表發言,教師總結.教師引導學生通過類比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知數.問題2:下列關于x的方程中哪些是分式方程?(1)1x=5;(2)x5=1;(3)x2-x+(4)2x+2-1x;(5)4x+3y=7;(6)12學生獨立完成.探究2分式方程的解法1.解方程:2x-13-3x請兩名學生上臺板演,教師給出正確的解答過程.解:去分母,得2(2x-1)-3(3x-1)=11.去括號,得4x-2-9x+3=11.移項,得4x-9x=11+2-3.合并同類項,得-5x=10.系數化為1,得x=-2.2.解分式方程:9030+v=分析:先將分式方程轉化為整式方程.解:9030+v 去分母,兩邊同乘(30+v)(30-v)90(30-v)=60(30+v) 去括號2700-90v=1800+60v 移項-90v-60v=1800-2700 合并同類項-150v=-900 系數化為1v=6思考:v=6是原分式方程的解嗎?將v=6代入原方程中,左邊=52=右邊,因此v=6是原分式方程的解總結:解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母.探究3增根解方程:1x-5=解:方程兩邊同乘最簡公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10.解得x=5.將x=5代入原分式方程檢驗,分母x-5和x2-25的值都為0,相應的分式無意義.所以這個分式方程無解.思考:上面兩個分式方程中,為什么9030+v=6030-v①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x-5=學生分小組進行交流,學生代表發言,教師總結.總結:一般地,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0,因此應做如下檢驗:將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解.設計意圖:引導學生觀察、反思、對比方程①②的解法,得出解分式方程時檢驗的必要性和具體檢驗方法.讓學生經歷這樣的探究過程,促使學生深刻地領悟數學知識、數學方法產生的合理性,有利于提升學生的思維能力.典例精講例解方程:(1)2x-3=3x;(2)x解:(1)方程兩邊同乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.檢驗:當x=9時,x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解為x=9.(2)方程兩邊同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.檢驗:當x=1時,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程無解.設計意圖:通過例題,使學生熟悉解分式方程的步驟以及檢驗方法,規范解題步驟及書寫格式,加深學生對分式方程解法的認識.課堂小結1.分式方程的概念是什么?2.怎樣解分式方程?設計意圖:讓學生自己總結本節課的內容,幫助學生鞏固所學知識,培養學生的總結概括能力.課堂8分鐘.1.教材第150頁,152頁練習,第154頁習題15.3第1題.2.七彩作業.第1課時分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化歸.三、解分式方程的一般步驟:1.化——化分式方程為整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.檢驗——檢驗所得整式方程的解是否為原分式方程的解.四、例題講解.教學反思

第2課時分式方程的實際應用——工程、行程問題課時目標1.讓學生經歷用分式方程解決實際問題的過程,體會分式方程是刻畫現實世界問題的有效數學模型,培養學生的建模思想.2.通過讓學生列分式方程解決具體實際問題,培養學生的數學應用意識,提高學生分析問題和解決實際問題的能力.3.通過列分式方程解應用題,使學生進一步掌握列方程解應用題的方法和步驟,體會檢驗的必要性,滲透方程思想.學習重點會列分式方程解決實際問題.學習難點實際問題中相等關系的提煉及轉化為方程的過程.課時活動設計回顧舊知1.解分式方程:1x-2+1=2.列方程解決實際問題的一般步驟:審、設、列、解、驗、答.

3.常見等量關系式:路程=時間×速度;工作總量=工作效率×工作時間;順水速度=靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度;利潤=售價-進價.設計意圖:復習解方程的步驟、列方程解決實際問題的步驟和常見等量關系式,喚醒學生已有的知識體系,為本節課的學習作鋪墊.探究新知問題:一艘輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同,若水流速度為3千米/時,求輪船在靜水中的速度.分析:設輪船在靜水中的速度為x千米/時,則順水航行的速度為x+3千米/時,逆水航行的速度為x-3千米/時,順水航行的時間為

40x+3小時,逆水航行的時間為

30x-3小時,根據題意,可得方程

40解:設輪船在靜水中的速度為x千米/時,則40x+3=30x-3,檢驗:當x=21時,(x+3)(x-3)≠0,所以,x=21是原分式方程的解.答:輪船在靜水中的速度為21千米/時.對比列整式方程解應用題的步驟,學生交流討論、教師歸納總結出列分式方程解實際問題的步驟:審、設、列、解、驗、答.設計意圖:用同學們熟悉的實際問題引入分式方程的模型,激發學生對本節課學習的興趣.通過這道實際問題的解決,加深學生對解分式方程的步驟及解應用題的步驟的認識.典例精講例1兩個工程隊共同參與一項筑路工程,甲隊單獨施工1個月完成總工程的13,這時增加了乙隊,兩隊又共同工作了半個月,總工程全部完成.哪個隊的施工速度快解:設乙隊單獨施工1個月能完成總工程的1x.記總工程量為1,根據工程的實際進度,得13+16+方程兩邊乘6x,得2x+x+3=6x.解得x=1.檢驗:當x=1時,6x≠0.所以,原分式方程的解為x=1.由上可知,若乙隊單獨施工1個月可以完成全部任務,對比甲隊1個月完成任務的13,可知乙隊的施工速度快例2某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間,列車提速前行駛skm,提速后比提速前多行駛50km,提速前列車的平均速度是多少?解:設提速前這次列車的平均速度為xkm/h,則提速前它行駛skm所用時間為sx提速后列車的平均速度為(x+v)km/h,提速后它行駛(s+50)km所用時間為s+50x根據行駛時間的等量關系,得sx=s方程兩邊乘x(x+v),得s(x+