第七章立體幾何與空間向量第3講空間直線、平面的平行

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直

觀感知，了解空間中直

線與直線、直線與平

面、平面與平面平行的

性質(zhì)定理與判定定理.線面平

行的判

定與性

質(zhì)2023上海T17；

2022新高考卷

ⅡT20；2022北京

T17；2019全國(guó)

卷ⅠT18本講內(nèi)容是高考命題的熱

點(diǎn)，主要考查直線與平面以

及平面與平面平行的判定定

理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，題型

既有選擇題，也有解答題，

難度中等.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.能用已獲得的結(jié)論

證明空間基本圖形的

平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.面面平行的

判定與性質(zhì)2022全國(guó)卷乙

T7；2019全國(guó)

卷ⅡT7預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，

但應(yīng)注意與充分必要條件等

知識(shí)的綜合命題.平行關(guān)系的

綜合應(yīng)用

1.直線與直線平行(1)基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行(即平行線的傳遞性).注意

平行線的傳遞性不僅僅是平行關(guān)系有傳遞性，若

a

∥

b

，則直線

a

的大部分

性質(zhì)也可以傳遞給直線

b

，比如若

a

⊥

c

，則

b

⊥

c

；若

a

⊥α，則

b

⊥α，若

a

與平面

α夾角為30°，則

b

與平面α夾角也為30°等.但要注意若

a

∥α，則不一定有

b

∥α，因

為無(wú)法判斷直線

b

是否在平面α內(nèi).(2)等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角①

?

?.相等或互

補(bǔ)

2.直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定

定理如果平面②

?一條直線與此平

面③

?的一條直線平行，那么

該直線與此平面平行.簡(jiǎn)稱：線線平

行，則線面平行.

性質(zhì)

定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)

該直線的平面與此平面⑥

?

，那么該直線與交線平行.簡(jiǎn)

稱：線面平行，則線線平行.

外

內(nèi)

相

交

注意

(1)在證明線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)此直線不在平面內(nèi)；(2)一條直線平行于

一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直

線可能平行，也可能異面.3.平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定

定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條⑧

?直線與另一個(gè)平面平行，

那么這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)稱：線

面平行，則面面平行.

性質(zhì)

定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平

面與這兩個(gè)平面相交，那么兩

條?

.簡(jiǎn)稱：面

面平行，則線線平行.

相

交

交線平行

規(guī)律總結(jié)平行關(guān)系中常用的6個(gè)結(jié)論1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.2.平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.3.垂直于同一平面的兩條直線平行.4.兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.5.夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.6.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

1.[教材改編]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

為

DD

1的中點(diǎn)，則下列直線中與

平面

ACE

平行的是(

B

)A.BA1B.BD1C.BC1D.BB1B1234[解析]如圖所示，連接

BD

，設(shè)

AC

∩

BD

＝

O

，則

O

是

BD

的中點(diǎn)，連接

OE

，

∵在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

為

DD

1的中點(diǎn)，∴

OE

∥

BD

1.又

OE

?平面

ACE

，

BD

1?平面

ACE

，∴

BD

1∥平面

ACE

.

易得直線

BA

1，

BC

1，

BB

1均與平面

ACE

不平行.12342.[多選/教材改編]若直線

a

平行于平面α，則(

BC

)A.平面α內(nèi)有且只有一條直線與a平行B.平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行C.平面α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條與a不平行的直線D.平面α內(nèi)任意一條直線都與a平行BC12343.已知直線

a

∥平面α，

P

∈α，那么過(guò)點(diǎn)

P

且平行于直線

a

的直線有

條.1

1234[解析]因?yàn)槠矫?/p>

ABFE

∥平面

DCGH

，又平面

EFGH

∩平面

ABFE

＝

EF

，平面

EFGH

∩平面

DCGH

＝

HG

，所以

EF

∥

HG

.

同理，

EH

∥

FG

，所以四邊形

EFGH

是平行四邊形.4.[易錯(cuò)題]如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，截面為四邊形

EFGH

，則四邊

形

EFGH

的形狀是

?.平行四邊形

1234

命題點(diǎn)1

線面平行的判定與性質(zhì)例1

[2023上海高考節(jié)選]如圖，直四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

∥

DC

，

AB

⊥

AD

，

AB

＝2，

AD

＝3，

DC

＝4.求證：

A

1

B

∥平面

DCC

1

D

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]

解法一

∵

AB

∥

DC

，

AB

?平面

DCC

1

D

1，

CD

?平面

DCC

1

D

1，∴

AB

∥平面

DCC

1

D

1.∵

AA

1∥

DD

1，

AA

1?平面

DCC

1

D

1，

DD

1?平面

DCC

1

D

1，∴

AA

1∥平面

DCC

1

D

1.又

AB

∩

AA

1＝

A

，∴平面

ABB

1

A

1∥平面

DCC

1

D

1.又

A

1

B

?平面

ABB

1

A

1，∴

A

1

B

∥平面

DCC

1

D

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5解法二如圖，取

CD

的中點(diǎn)

E

，連接

BE

，

D

1

E

，則

DE

＝2，∵

AB

∥

DC

，

AB

＝2，∴

AB

DE

，∴四邊形

ABED

為平行四邊形，∴

BE

AD

.

又

AD

A

1

D

1，∴

BE

A

1

D

1，∴四邊形

A

1

D

1

EB

為平行四邊形，∴

A

1

B

∥

D

1

E

，又

D

1

E

?平面

DCC

1

D

1，

A

1

B

?平面

DCC

1

D

1，∴

A

1

B

∥平面

DCC

1

D

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例2

[北京高考節(jié)選]如圖，在正方形

AMDE

中，

B

，

C

分別為

AM

，

MD

的中點(diǎn).在五

棱錐

P

－

ABCDE

中，

F

為棱

PE

的中點(diǎn)，平面

ABF

與棱

PD

，

PC

分別交于點(diǎn)

G

，

H

.

求證：

AB

∥

FG

.

[解析]在正方形

AMDE

中，因?yàn)?/p>

B

是

AM

的中點(diǎn)，所以

AB

∥

DE

.

又

AB

?平面

PDE

，

DE

?平面

PDE

，所以

AB

∥平面

PDE

.

因?yàn)?/p>

AB

?平面

ABF

，且平面

ABF

∩平面

PDE

＝

FG

，所以

AB

∥

FG

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5方法技巧1.證明線線平行常用的方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理.(2)利用面面平行的性質(zhì)定理.(3)利用中位線，對(duì)應(yīng)線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)等.2.證明直線與平面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β，

a

?α?

a

∥β.注意

應(yīng)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，一定要注意定理成立的條件.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5訓(xùn)練1

[2023江西省南昌市摸底測(cè)試]如圖，已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

AB

，

AD

，

D

1

C

1，

C

1

B

1的中點(diǎn)分別為

E

，

F

，

G

，

H

，則下列直線中，與平面

ACD

1和平面

BDC

1的交線平行的直線是(

C

)A.EHB.HGC.EGD.FHC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]如圖，設(shè)

AC

∩

BD

＝

M

，

CD

1∩

C

1

D

＝

N

，則

M

∈平面

ACD

1，

M

∈平面

BDC

1，

N

∈平面

ACD

1，

N

∈平面

BDC

1，連接

MN

，則平面

ACD

1∩平面

BDC

1＝

MN

.

在△

ACD

1中，

M

，

N

分別為

AC

，

CD

1的中點(diǎn)，所以

MN

∥

AD

1.連接

EG

，在

四邊形

ABC

1

D

1中，易知四邊形

ABC

1

D

1是平行四邊形，又

E

，

G

分別為

AB

，

C

1

D

1的中點(diǎn)，所以

EG

∥

AD

1，所以

MN

∥

EG

.

故選C.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5訓(xùn)練2

[2022北京高考節(jié)選]如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，側(cè)面

BCC

1

B

1為正方

形，平面

BCC

1

B

1⊥平面

ABB

1

A

1，

AB

＝

BC

＝2，

M

，

N

分別為

A

1

B

1，

AC

的中

點(diǎn).求證：

MN

∥平面

BCC

1

B

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]解法一如圖，設(shè)點(diǎn)

P

為

AB

的中點(diǎn)，連接

PN

，

PM

，因?yàn)?/p>

N

為

AC

的中

點(diǎn)，所以

PN

為△

ABC

的中位線，所以

PN

∥

BC

.

又

M

為

A

1

B

1的中點(diǎn)，所以

PM

∥

BB

1.因?yàn)?/p>

BB

1∩

BC

＝

B

，

PM

∩

PN

＝

P

，

BB

1，

BC

?平面

BCC

1

B

1，

PM

，

PN

?平面

MPN

，所以平面

BCC

1

B

1∥平面

MPN

.

又

MN

?平面

MPN

，所以

MN

∥平面

BCC

1

B

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5解法二如圖，取

BC

的中點(diǎn)

D

，連接

B

1

D

，

DN

.

在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

∥

A

1

B

1，

AB

＝

A

1

B

1.因?yàn)?/p>

M

，

N

，

D

分別為

A

1

B

1，

AC

，

BC

的中點(diǎn)，

所以四邊形

B

1

MND

為平行四邊形，因此

B

1

D

∥

MN

.

又

MN

?平面

BCC

1

B

1，

B

1

D

?平面

BCC

1

B

1，所以

MN

∥平面

BCC

1

B

1.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5命題點(diǎn)2

面面平行的判定與性質(zhì)例3

[全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(

B

)A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]對(duì)于A，α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行，當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線互相平行時(shí)，α與β可

能相交，所以A不正確；對(duì)于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對(duì)

于C，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對(duì)于

D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面

都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確.綜上可知選B.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例4

[安徽高考節(jié)選]如圖，四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，四邊形

ABCD

為梯形，

AD

∥

BC

，且

AD

＝2

BC

.

過(guò)

A

1，

C

，

D

三點(diǎn)的平面記為α，

BB

1與α的交點(diǎn)為

Q

.

證

明：

Q

為

BB

1的中點(diǎn).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5方法技巧證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(

l

⊥α，

l

⊥β?α∥β).(3)利用平面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]

如圖，連接

AC

，交

BD

于點(diǎn)

O

，連接

OH

，在△

PBH

中，

E

，

G

分別為

PB

，

PH

的中點(diǎn)，所以

EG

∥

BH

，又

EG

?平面

BDH

，

BH

?平面

BDH

，所以

EG

∥平面

BDH

.

同理可得

AG

∥平面

BDH

，因?yàn)?/p>

AG

，

EG

?平面

AEG

，

AG

∩

EG

＝

G

，所以平面

AEG

∥平面

BDH

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5命題點(diǎn)3

平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例5

[山東高考節(jié)選]在如圖所示的圓臺(tái)中，

AC

是下底面圓

O

的直徑，

EF

是上底面

圓

O

'的直徑，

FB

是圓臺(tái)的一條母線.已知

G

，

H

分別為

EC

，

FB

的中點(diǎn)，求證：

GH

∥平面

ABC

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]

如圖，連接

CF

，設(shè)

CF

的中點(diǎn)為

I

，連接

GI

，

HI

，在△

CEF

中，因?yàn)?/p>

G

，

I

分別是

CE

，

CF

的中點(diǎn)，所以

GI

∥

EF

.

連接

OB

，易知

EF

∥

OB

，所以

GI

∥

OB

.

因?yàn)?/p>

GI

?平面

ABC

，

OB

?平面

ABC

，所以

GI

∥平面

ABC

.

在△

BCF

中，因?yàn)?/p>

H

，

I

分別是

BF

，

CF

的中點(diǎn)，所以

HI

∥

BC

.

因?yàn)?/p>

HI

?平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

HI

∥平面

ABC

，又

HI

∩

GI

＝

I

，

HI

?平面

GHI

，

GI

?平面

GHI

，所以平面

GHI

∥平面

ABC

.

因?yàn)?/p>

GH

?平面

GHI

，所以

GH

∥平面

ABC

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5方法技巧平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5

(1)求證：

CE

∥平面

PAB

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]

如圖，取

AP

的中點(diǎn)

F

，連接

EF

，

BF

，

又

BC

∥平面

PAD

，

BC

?平面

ABCD

，平面

ABCD

∩平面

PAD

＝

AD

，所以

BC

∥

AD

，

所以四邊形

BCEF

為平行四邊形，所以

CE

∥

BF

.

又

BF

?平面

PAB

，

CE

?平面

PAB

，所以

CE

∥平面

PAB

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5[解析]

線段

AD

上存在點(diǎn)

N

，且點(diǎn)

N

為

AD

的中點(diǎn)，使得

MN

∥平面

PAB

.

理由如下：如圖，取

AD

的中點(diǎn)

N

，連接

CN

，

EN

，因?yàn)?/p>

E

，

N

分別為

PD

，

AD

的中點(diǎn)，所以

EN

∥

PA

.

因?yàn)?/p>

EN

?平面

PAB

，

PA

?平面

PAB

，所以

EN

∥平面

PAB

.

由(1)知，

CE

∥平面

PAB

，又

CE

∩

EN

＝

E

，

CE

，

EN

?平面

CEN

，所以平面

CEN

∥平面

PAB

.

連接

MN

，則

MN

?平面

CEN

，所以

MN

∥平面

PAB

.

于是在線段

AD

上存在點(diǎn)

N

，使得

MN

∥平面

PAB

.

(2)若

M

是線段

CE

上一動(dòng)點(diǎn)，則線段

AD

上是否存在點(diǎn)

N

，使得

MN

∥平面

PAB

？請(qǐng)

說(shuō)明理由.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5

1.[命題點(diǎn)1]如圖，在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，點(diǎn)

D

，

E

分別為

AC

，

B

1

C

1的中

點(diǎn).求證：

DE

∥平面

ABB

1

A

1.1234[解析]

解法一如圖，取

BC

的中點(diǎn)

F

，連接

DF

，

EF

，因?yàn)?/p>

F

是

BC

的中點(diǎn)，

D

是

AC

的中點(diǎn)，所以

DF

∥

AB

，因?yàn)?/p>

DF

?平面

ABB

1

A

1，所以

DF

∥平面

ABB

1

A

1.又

E

是

B

1

C

1的中點(diǎn)，所以

EF

∥

B

1

B

，因?yàn)?/p>

EF

?平面

ABB

1

A

1，所以

EF

∥平面

ABB

1

A

1.因?yàn)?/p>

DF

∩

EF

＝

F

，所以平面

DEF

∥平面

ABB

1

A

1，因?yàn)?/p>

DE

?平面

DEF

，所以

DE

∥平面

ABB

1

A

1.1234解法二如圖，取

A

1

B

1的中點(diǎn)

F

，連接

EF

，

AF

，

因?yàn)?/p>

D

為

AC

的中點(diǎn)，所以

EF

＝

AD

，所以四邊形

ADEF

為平行四邊形，所以

DE

∥

AF

.

因?yàn)?/p>

DE

?平面

ABB

1

A

1，

AF

?平面

ABB

1

A

1，所以

DE

∥平面

ABB

1

A

1.12342.[命題點(diǎn)1，2]在如圖所示的圓柱

O

1

O

中，

AB

，

CD

分別是圓

O

，圓

O

1的直徑，

E

為圓

O

上一點(diǎn)，

P

為

DE

上一點(diǎn)，且

OP

∥平面

BCE

.

求證：

DP

＝

PE

.

1234[解析]如圖所示，連接

O

1

P

，

O

1

O

，則易知

OO

1∥

BC

，因?yàn)?/p>

BC

?平面

BCE

，且

OO

1?平面

BCE

，所以

OO

1∥平面

BCE

，因?yàn)?/p>

OP

∥平面

BCE

，且

OO

1∩

OP

＝

O

，

OO

1，

OP

?平面

OPO

1，所以平面

OPO

1∥平面

BCE

.

又因?yàn)槠矫?/p>

DCE

∩平面

OPO

1＝

O

1

P

，平面

DCE

∩平面

BCE

＝

CE

，所以

O

1

P

∥

CE

.

因?yàn)?/p>

O

1是

CD

的中點(diǎn)，所以

P

是

DE

的中點(diǎn)，即

DP

＝

PE

.

12343.[命題點(diǎn)2]如圖，在三棱錐

P

－

ABC

中，△

PAB

是正三角形，

G

是△

PAB

的重心，

D

，

E

，

H

分別是

PA

，

BC

，

PC

的中點(diǎn)，點(diǎn)

F

在

BC

上，且

BF

＝3

FC

.

證明：平面

DFH

∥平面

PGE

.

1234[解析]如圖，連接

BG

，

DG

，由題意可得

BG

與

GD

共線，且

BG

＝2

GD

.

∵

E

是

BC

的中點(diǎn)，

BF

＝3

FC

，∴

F

是

CE

的中點(diǎn).

∵

GE

?平面

PGE

，

DF

?平面

PGE

，∴

DF

∥平面

PGE

.

∵

H

是

PC

的中點(diǎn)，

F

為

CE

的中點(diǎn)，∴

FH

∥

PE

，又

PE

?平面

PGE

，

FH

?平面

PGE

，∴

FH

∥平面

PGE

.

∵

DF

∩

FH

＝

F

，

DF

?平面

DFH

，

FH

?平面

DFH

，∴平面

DFH

∥平面

PGE

.

1234

(1)證明：

EF

∥平面

ACD

1.1234[解析]如圖，取

BC

的中點(diǎn)

G

，連接

FG

，

EG

，

BC

1.∵

G

，

E

，

F

分別為

BC

，

AB

，

CC

1的中點(diǎn)，∴

EG

∥

AC

，

FG

∥

BC

1.由四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1是直四棱柱，得

AD

1∥

BC

1，∴

AD

1∥

GF

.

∵

AD

1?平面

ACD

1，

GF

?平面

ACD

1，∴

GF

∥平面

ACD

1.∵

EG

?平面

ACD

1，

AC

?平面

ACD

1，∴

EG

∥平面

ACD

1.又

EG

∩

FG

＝

G

，

EG

，

FG

?平面

EFG

，∴平面

EFG

∥平面

ACD

1.∵

EF

?平面

EFG

，∴

EF

∥平面

ACD

1.1234

(2)若點(diǎn)

P

為線段

EF

上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)

P

到平面

ACD

1的距離.1234

1234

1.[多選/2023貴州省六盤(pán)水市第二中學(xué)段考]如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，已

知點(diǎn)

G

，

H

分別在

A

1

B

1，

A

1

C

1上，且

GH

經(jīng)過(guò)△

A

1

B

1

C

1的重心，點(diǎn)

E

，

F

分別

在

AB

，

AC

上，且平面

A

1

EF

∥平面

BCHG

，則下列結(jié)論正確的是(

AB

)A.EF∥GHB.GH∥平面A1EFD.平面A1EF∥平面BCC1B1AB123456789

1234567892.[多選/2024南昌市模擬]在下列底面是平行四邊形的四棱錐中，

A

，

B

，

C

，

M

，

N

是四棱錐的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，

則

MN

∥平面

ABC

的有(

AB

)AB123456789[解析]對(duì)于A，B選項(xiàng)：如圖1，圖2，取

AB

的中點(diǎn)

P

，連接

CP

，

PM

，則

MP

CN

，∴四邊形

MNCP

為平行四邊形，∴

MN

∥

CP

，又

MN

?平面

ABC

，

CP

?平面

ABC

，∴

MN

∥平面

ABC

.

故A，B正確.123456789對(duì)于C選項(xiàng)：如圖3，連接

EM

，由

C

，

M

為所在棱的中點(diǎn)知

EM

∥

BC

，易證

EM

∥

平面

ABC

.

假設(shè)

MN

∥平面

ABC

，由

EM

∩

MN

＝

M

，

EM

，

MN

?平面

MNE

，可證

平面

MNE

∥平面

ABC

，又

NE

?平面

MNE

，∴

NE

∥平面

ABC

，這與

NE

∩平面

ABC

＝

A

矛盾，∴假設(shè)不成立，即

MN

與平面

ABC

不平行，故C錯(cuò)誤.123456789對(duì)于D選項(xiàng)：如圖4，連接

FN

，設(shè)

FN

∩

AC

＝

O

，連接

BO

.

若

MN

∥平面

ABC

，則

由平面

FMN

∩平面

ABC

＝

BO

，可證得

MN

∥

BO

.

由

B

為

FM

的中點(diǎn)知

BO

為△

FNM

的中位線，從而

O

為

FN

的中點(diǎn)，實(shí)際上

FN

的中點(diǎn)在底面平行四邊形兩條對(duì)

角線的交點(diǎn)處，該交點(diǎn)顯然不是圖中的點(diǎn)

O

，故D錯(cuò)誤.故選AB.1234567893.如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線

a

，

b

分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)

A

，

B

，

C

和點(diǎn)

D

，

E

，

F

.

已知

AB

＝2cm，

DE

＝4cm，

EF

＝3cm，則

AC

的長(zhǎng)

為

?cm.

123456789

123456789

[解析]

②體現(xiàn)的是線面平行的判定定理，缺少的條件是“

l

為平面α外的一條直

線”，即“

l

?α”，“

l

?α”也適用于①和③，故此條件是

l

?α.l

?α

1234567895.[2024貴陽(yáng)市模擬節(jié)選]如圖，△

ABC

是正三角形，四邊形

ABB

1

A

1是矩形，平面

ABB

1

A

1⊥平面

ABC

，

CC

1⊥平面

ABC

，

AA

1＝2

CC

1.設(shè)直線

l

為平面

ABC

與平面

A

1

B

1

C

1的交線，求證：

l

∥

AB

.

123456789[解析]

∵四邊形

ABB

1

A

1是矩形，∴

AB

∥

A

1

B

1，∵

A

1

B

1?平面

A

1

B

1

C

1，

AB

?平面

A

1

B

1

C

1，∴

AB

∥平面

A

1

B

1

C

1，又

AB

?平面

ABC

，平面

ABC

∩平面

A

1

B

1

C

1＝

l

，∴

l

∥

AB

.

123456789

(1)證明：

EF

∥平面

PAD

.

123456789

圖1

圖1

所以

MF

AE

，所以四邊形

AEFM

是平行四邊形，所以

EF

∥

AM

，又

EF

?平面

PAD

，

AM

?平面

PAD

，所以

EF

∥平面

PAD

.

123456789

圖2

所以

AE

DT

，圖2所以四邊形

AETD

為平行四邊形，所以

TE

∥

AD

.

又

AD

?平面

PAD

，

TE

?平面

PAD

，所以

TE

∥平面

PAD

.

123456789

所以

FT

∥

PD

，又

PD

?平面

PAD

，

FT

?平面

PAD

，所以

FT

∥平面

PAD

.

又

FT

∩

ET

＝

T

，所以平面

FTE

∥平面

PDA

.

又

EF

?平面

FTE

，所以

EF

∥平面

PAD

.

123456789

因?yàn)閭?cè)面

PCD

⊥底面

ABCD

，平面

PCD

∩平面

ABCD

＝

CD

，圖3(2)若∠

BAD

＝60°，求三棱錐

B

－

EFC

的體積.所以

PO