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考向22解三角形

解答三角高考題的策略：

(1)發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”.

(2)尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系.

13)合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化.

兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數量積把三角形和三角函數

聯系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的實例.另外，利用正弦定理

解三角形時可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫

助理解.

我用

1.方法技巧：解三角形多解情況

在△4BC中，已知小〃和A時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

cc

圖形史-,Zx

AB；--…AB

AztB,A-....

bsinA<a<b

關系式a=bsinAa>ba>ha<b

解的個數一解兩解一解一解無解

2.在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

(1)若式子含有sinx的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”：

(2)若式子含有。,力,。的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；

(3)若式子含有cosx的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；

(4)代數變形或者三角恒等變換前置：

15)含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；

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：6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到A+8+C=乃.

1.基本定理公式

U）正余弦定理：在△A4C中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

abc_?

公式------=-------=------=2Ab2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=/+6—2abcosC

Ab2^c2-a2

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,b=2/?sinB，c=2/?sinC；2bc

c2+a2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=—?sinC=；cosBD=---------------；

2R2R2Rlac

a2-^-b2-c2

cosC=---------------?

lab

：2）面積公式:

S、A3C=—"sinC=—bcsinA=—acsinB

222

SAA3C=翳=；(a+〃+c)?r(r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,r.)

2.相關應用

(I)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊u>a.b\c=sinA:MIIB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>〃。A>5osinA>sin3ocos4vcosb

③合分比："He="b=b+c=a+c=3=上=3=2/?

sinA+sin8+sinCsin4+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AA8C內角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+AcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cos4cosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(A+8)=tanA+tanB+tan+tan(^_,tanC

1-tanA-tanB

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0.A+BCA+BC

⑷sin（-----）=cos——；cos（-----）=sin——

2222

⑤在AABC中，內角AB,C成等差數列08=2,4+。=空.

33

3.實際應用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

（2）方位角

從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為a（如圖②）.

13）方向角：相對于某一正方向的水平角.

①北偏東a,即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.

②北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.

③南偏西等其他方向角類似.

⑷坡角與坡度

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角6為坡角）.

②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

1.（2022?青海?模擬預測（理））在△ABC中,內角A,B,。的對邊分別為a,4c,若a?+及=kab,MAABC

的面積嗚時/的最大值是（）

A.2B.75C.4D.2石

2.（2022?全國?高三專題練習）在△ABC中,角A、B、。所對的邊分別為a、b、c,且從+/=〃+*,若

sinBsinC=sin2A>則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形8.直角三角形C.等邊三角形Q.等腰直角三角形

3.（2Q22?青海?海東市第一中學模擬預測（理））在NABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,4c.已知。=2,

sin2A+3sin2B=2asin2C?則cosC的最小值為

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4.（2022?上海?位育中學模擬預測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點43、。處各有一個水聲監測點,

B、。兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，3收到發自靜止目標戶的一個聲波信號，8

秒后4C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是L5千米/秒.

（1）設A到尸的距離為“千米，用％表示艮C到尸的距離，并求x的值;

（2）求靜止目標P到海防警戒線AC的趾離.（結果精確到0.01千米）.

5.（2022?全國?模擬預測）在-ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,5n8,a<b.

sine

（1）求角B；

（2）若a=3,b=7,。為AC邊的中點，求△BCD的面積.

6.（2022?河南省杞縣高中模擬預測（文））在二ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

24cosA=bcosC4-ccosB.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若。=2如，。+c=6,求3ABe的面積.

7.（2022?全國?高三專題練習）在4ABe中，內角4氏。對應的邊分別為,ABAC=6^向量

s=（cosAsinA）與向量7=（4,-3）互相垂直.

（1）求二ABC的面積；

（2）若b+c=7,求。的值.

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1.（2022?全國?高三專題練習）已知在345c中，8=30,〃=應,匕=1,則A等于（）

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022?河南?南陽中學模擬預測（文））-ABC中，若A8=AC=5,BC=6,點E滿足—。石=52—0+：I圓，

直線CE與直線A8相交于點。，則CO的長（）

A8MRV15rVionx/30

5101010

3.（2022?全國?高三專題練習）在-ABC中，A,B,C所對的邊分別為mb,c,若一瓜=c?-同c?且

bcosC=asinB,則.ABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022?四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））如圖所示，為了測量4,8處島嶼的距離，小明在。處

觀測，A,8分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛4。海里至。處，觀測B在。處

的正比方向，A在C處的北偏西60。方向，則4,B兩處島嶼間的距離為（）

A.20面海里B.406海里C.20（1+。）海里D.40海里

5.（多選題）（2022?福建?福州三中高三階段練習）3ABe中，角A&C的對邊分別為a/,c,且

a=2,sin8=2sinC,以下四個命題中正確的是（）

A.滿足條件的ABC不可能是直角三角形

4

B.44c面積的最大值為］

C.M是中點，MA.MB的最大值為3

D.當A=2C時，48c的面積為名叵

3

6.（多選題）（2022?廣東?華南師大附中三模）已知圓錐的頂點為P,母線長為2,底面圓直徑為26，A,8,

C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正確的是（）

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A.當A,8為底面圓直徑的兩個端點時，ZAPB=120°

B.△以8面積的最大值為石

C.當△布8面積最大值時，三棱錐C-BAB的體積最大值為近史

3

D.當AB為直徑且。為弧A8的中點時，MA+MB的最小值為歷

7.（多選題）（2022?河北?滄縣中學模擬預測）在“8C中，三邊長分別為a,b,c,且防c=2,則下列結論

正確的是（）

A.a2b<2+ah2B.ab+a+b>2\f2

C.a-i-b2+c2>4D.a+h+c<2y/2

8.（2022?青海?海東市第一中學模擬預測（文））在.ABC中，。為其外心，近OA+2OB+OC=0，若BC=2,

則OA=.

9.（2022.河北.高三期中）已知.ABC中角A,B,。所對的邊分別為小b,c,p=￡±|±￡,則-旗。的面

積5=.儲-。）（~）儲-0）,該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數學家阿基米德得出.若ABC的周

長為15,（sinA+sinB）:（sinB+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,則&48c的面積為.

10.（2022?全國?高三專題練習（理））在-ABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且〃、〃/二。?，則

tanB的最大值為.

11.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區坐落于風景優美的輝山景區，景區內的一泓碧水蜿蜒

形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”.湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（3）兩個標志性景點，如圖.若為測量隔湖相

望的A、8兩地之間的距離，某同學任意逃定了與A、8不共線的C處，構成ABC,以下是測量數據的不

同方案:

①測量乙4、AC、BC；

②測量4、DB、BC,

③測量/C、AC.BC；

④測量乙4、NC、DB.

其中一定能唯一確定A、8兩地之間的距離的所有方案的序號是

3

12.（2022?青海?海東市第一中學模擬預測（理））如圖，在平面四邊形A3C。中，已知3c=2,cos/BCO="

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⑴若/C8D=45。，求8。的長;

⑵若cosNAC。岑，且48=4,求AC的長.

13.（2022?青海玉樹?高三階段練習（文））在-48c中，內角A,B,。所對的邊分別為小h,c,且S8C的

面積S=#（/+/一從）

⑴求角3的大?。?/p>

⑵若a+41b=2c，求sinC.

14.（2022?上海浦東新?二模）已知函數/（x）=/sinx-8Sx（，wK）

⑴若函數/（%）為偶函數，求實數，的值；

⑵當1=不時，在“1BC中（A8,C所對的邊分別為a、6、c）,若/（2A）=2,c=3,且的面積為2省,

求。的值.

5（2。22?全國?高三專題練習）記二配的內角48,C的對邊分別為小b,0已知備T3

（1）若。=與，求B；

a2+b2

⑵求的最小值.

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16.(2022?青海?海東市第一中學模擬預測(文))在二ABC中，角A,B,。的對邊分別為小b,c,

a2-tr+—be=accosB.

2

⑴求角4

(2)若bsinA=VJsinB,求二ABC面積的最大值.

17.(2022?上海金山?二模)在中，用A、B、C所對的邊分別為。、b、c.已知2加inA-3=0,且

笈為銳角.

⑴求角3的大??；

(2)若3c=3a+辰，證明：一ABC是直角三角形.

18.(2022?湖南?湘潭一中高三階段練習)3ABe的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知

(2tz—c)sinA+(2c—?)sinC=2bs\nB.

⑴求B；

(2)若為銳角三角形，且c=2,求；ABC周長的取值范圍.

19.(2022?上海黃浦?二模)某公園要建造如圖所示的綠地OABC,Q4、OC為互相垂直的墻體，已有材料

可建成的圍欄45與8C的總長度為12米，且/B4O=/BCO.設NB4O=a(0<a<y).

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（1）當AB=4,?時，求AC的長；（結果精確到0.1米）

（2）當A8=6時，求。48c面積S的最大值及此時。的值.

20.（2022?上海虹口?二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABCO的區域進行綠化，在此綠化區域中,

分別以NDCB和NA48為圓心角的兩個扇形區域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與8。相切.

⑴若AD=4歷，AB=3后,80=37（長度單位：米），求種植花卉區域的面積；

（2）若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則N8D4多大時，平行四邊形綠地A8c。占地面積最??？

1真題練）

1.（2021.全國?高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測

海島的高.如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和叩是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,

稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和9/都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為"表目距的差”則海島的高

AB=()

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表高x表距表高X表距

A.表目距的差衣圖表目距的差一表號

表高X表距表高X表距.

C.表目距的差+表距表目距的差表距

2.（2021?全國?高考真題（文））在3ABe機已知B=120。，AC=Ji§,AB=2,則BC=（）

A.1B.V2C.75D.3

3.（2021?浙江?高考真題）在“IBC中，N3=6（）o,A8=2,M是5c的中點，AM=2jL則AC=,

cosZMAC=.

4.（2D22.浙江.高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法

稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

S=t,其中”，尻c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊

a=Rb=5c=2,則該三角形的面積S=.

Ar*

5.（2022?全國?高考真題（理））已知“BC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當，

AB

取得最小值時，BD=.

6.（2022?上海?高考真題）在△ABC中，=A8=2,AC=3,則3c的外接圓半徑為

7.（2021?全國?高考真題（理））記的內角A,8,C的對邊分別為mb,c,面積為G，8=60°,/+/=3改，

貝?回.

8.（2022.全國?高考真題（理））記3ABe的內角A&C的對邊分別為a,0,c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—4）.

（1）證明:2a2=6+62；

25

（2）若。=5,cosA=/,求ABC的周長.

9.⑵22?全國?高考真題）記,ABC的內角48.C的對邊分別為a,b,c,已知高蛋二3

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(1)若C=y求B；

⑵求匚乏的最小值.

c~

10.(2022?浙江?高考真題)在二ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4a=石c,cosC=1.

⑴求sinA的值；

(2)若3=11,求3ABe的面積.

11.(2022?北京?高考真題)在中,sin2C=^sinC.

⑴求“；

⑵若。=6,且3ABe的面積為66,求“1BC的周長.

12.(2022?全國?高考真題)記eABC的內角A,B,C的對邊分別為小b,c,分別以小b,。為邊長的三個

正三角形的面積依次為九邑,與,已知S/S2+S3=日,sin8=g.

⑴求1MBe的面積；

(2)若sinAsinC=巫，求。.

3

13.(2022?全國?高考真題(文))記叢8C的內角A,B,C的對邊分別為小6,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2A,求C；

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(2)證明：2々2=/+。2

14.(2022?上海?高考真題)如圖，矩形A3CO區域內，。處有一棵古樹，為保護古樹，以。為圓心，0A為

半徑劃定圓。作為保護區域，已知AB=30m,AQ=15m,點石為AB上的動點，點尸為CO上的動點，滿

足EF與圓。相切.

(1)若乙3=20°,求石戶的長；

(2)當點E在AB的什么位置時，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？

(長度精確到0.1m,面積精確到O.Olm?)

15.(2021?天津?圖考真題)在ABC,角ABC所對的邊分別為。也。，已知sinA:sinB:sinC=2:l:J5，

b=y/l?

(I)求〃的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-j1的值.

16.(2021?全國?高考真題)在-ABC中，角A、B、。所對的邊長分別為。、b、c,b=a+\,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求3ABe的面積；

(2)是否存在正整數%使得A8C為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

17.（2021?北京?高考真題）在3ABe中，c=2/?cosB,C=—.

(1)求網

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(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使GABC存在且唯一確定，求BC邊

上中線的長.

條件①：c=缶；

條件②："C的周長為4+26；

條件③：ABC的面積為土叵;

4

18.(2021?全國?高考真題)記”IBC是內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知加=訛，點。在邊AC

上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b：

(2)若AD=2DC,求8SZABC.

基礎練

1.【答案】B

【解析】由題意得SA8C=；。加inC=],所以c'HsinC,

又因為/=〃2+從-2cibcosC?所以。2+〃=/+2tzZ>cosC=absinC+2abcosC,

所以&=￡_^^_=5m€1+285。=石$由(。+0),其中tan0=2,且4>0,

所以A的取值范圍為(0,百],

故選：B.

2.【答案】C

【解析】AABC中，tr+c2=a2+bc?則cosA="十"———=-^-=—

2bc2bc2

又OVAVTT,則A=]

由5指8$皿。=5而24，可得42=6(?,代入力2+/=〃+*

貝U有〃+c?=反+兒=次，則(b-c)2=0,則b=c

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又4=],則△4BC的形狀是等邊三角形

故選：C

3.【答案】B

4

【解析】。=2,則原等式為sin2A+3的23=4而2（7,由正弦定理得/+36?=4^,

a2+b2-c2*+3序）3/+/6,當且僅當從=3/時取等號.

cosC=---------------=----------------------------=------------>——

2ab2ab8ab4

故答窠為：立.

4

4.【解析】（1）根據題意可得：A8=20（千米），AC=50（千米），AP=PC=x（1米），BP=x-\2

（千米），

AB2+AP2-BP2AC2+AP2-PC2

*/cos/PAB=cosZ.CAP，則mil-----------------=------------------

2ABxAP2ACxAP

即202+』2（J12）2=502+%2-2,解得x=3]

2x20x2x50.v

在△中，AC+APPC則

（2）PACcosZCAP=~~~=25/CAP=Jl—cos?NCAP=

2ACKAP3131

設尸到4c的距離為d（千米），^i-APxACxs\nZCAP=-ACxd

22

???d=4后。18.33

靜止H標P到海防警戒線AC的距離為18.33千米

cosC—2cosA

5.【解析】（1）由tanB=—:—；———,tanBsinC=cosC-2cosA,兩邊同乘8sB得

sine

sinBsinC=cosBcosC-2cosAcosB,故85（8+。）=2854858,即一cos4=2cosAcos3.

因為a＜。，所以A為銳角，cosArO,所以COSB=-；.

又因為340,乃），所以B=彳.

在中，由余弦定理即」,2解得

（2）3ABecos8='+c、"=-L9+「49^c+3c-40=0,c=5

2ac26c2

或c=-8舍）.

故S3=S△楹=|x|x3x5xsin^=-^.

6.【解析】（I）因為2。854=匕8$。+以058,

由正弦定理得2sin4cosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（3+C）,

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又B+C=7t-A,所以2sinAcosA=sin(7t-A)=sinA.

因為4c(0,冗),所以sinA工0.

所以8sA=g,所以A=g.

(2)由余弦定理，得/=/+c2-3c8s4,即M=(b+c)2—3",

因為。=2百，b+c=6

所以力c=竺衛

所以4人8c=；bcsinA=gx8x*=26

??4

7.【解析】(1)因為=4cosA-3sin月=0，解得【anA=§,

43

因為0<A<;r,所以sinA=g,cosA=-.

有因為A8AC=bccosA=6，所以兒=10.

Ii4

所以^ABC的面積S=-bcs\nA=-xl0x-=4.

(2)a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2/?c-2/?ccos4=49-20-12=17,

所以a=>/\7.

提升練

1.【答案】c

，得疝八一一史一女，

ab31

【解析】由正弦定理

sinAsinB

b12

因為a=&>b=l,Ae(0,7t),故4=45°或135,

故選：C

2.【答案】A

AB2+AC2-BC225+25-36二7

【解析】在AABC中，由余弦定理得：cosA=

2ABAC2x5x5-25

—2—1—

設CE=4CO，4#0，因為以=百。+^。8,

一2一1—一2一I

所以4CQ=上04+—8,^CD=-CA+—CB,

15515252

因為4、8、。三點共線,

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所以777+77=1，

154JA

解得：喝,

23

所以CO=wC4+gC8,

即|（8_C4）=|（C8-C力）

--3

AD=-DB

2

因為48=5,

所以40=3,BD=2

在三角形AC。中，由余弦定理得：

717R

CD2=AD2+AC2-2ADACcosA=9+25-2x3x5x—=—,

255

因為C￡>>0,所以0=8叵.

5

故選：A

3.【答案】A

［解析］ila2-b2=c2->l2bc?得b2+c2-a2=\/2bc.

所以由余弦定理得cosA="+i-力=幽=也,

2bc2bc2

因為人￡（0,九）,

所以4=%

4

因為Z?cosC=asin3,

所以由正弦定理得sinBcosC=sinAsin8,

因為sinBrO,所以cosC=sinA=sinN=，^,

42

因為Ce（0,2,所以C=：,

4

所以5=TC—A—C=TC一四一二=四，

442

第17頁共36頁

所以,ABC為等腰直角三角形，

故選：A

4.【答案】A

【解析】由題意可知C。=40,4QC=105。,NBOC=45°,ZfiCD=90。,ZACD=30°,

所以ZC4D=45°,ZADB=60°,

在八48中，由正弦定理得4%=—%，得AO=20忘，

sin30sin45

在R38a）中，因為N8￡>C=45o,N8CD=90。，

所以5O=x/5cO=40夜，

在△4?。中，由余弦定理得

AB=\lAlf+BEr-2AD-BDcosZADB

=^800+3200-2x205/2x40>/2xl

=J24（X）=2076，

故選：A

5.（多選題）【答案】BD

【解析】以C為原點，以6所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則C（0,0）,8（2,0）,

設4（工,力，由sinB=2sinC,得b=2c,即AC=2A8,

.?.廬了=2而-2）2+>2,化簡得：+y2=/,

即點A在以（小0）為圓心，以g為半徑的圓上（除去尸,Q兩點）.

如圖所示：

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對于A：以（L0）為圓心，1為半徑作圓，記該圓與圓（x-g）+y2=?的交點為A,則

&ABC為直角三角形，A錯誤；

對于B：由圖得eABC面積的最大值為S=：1x2x44=4；,8正確；

233

對于C:M是8C中點，的值為M4在M8上的投影與的積，又點A在以（*。）為圓心，以g為

半徑的圓上（除去RQ兩點），故MA-M8<3，C錯誤；

2122

對于0：若A=2C,MsinA=sin2C=2sinCcosC,.\a=2ccosC=2c-a+———,,.4=2,b=2c,

lab

b2=a2+c2,:.B=—

2t

.?.S=lac=1x2x2=型，D正確.

2263'

故選：BD

6.（多選題）【答案】ACD

【解析】對于A,記圓錐底面圓心為O,sin/APO=42=且，所以NAPO=60°,所以NAPB=120。，故

AP2

A正確；

對于B,設NAP8=e（0o<eW120。），則截面三角形的面積S=；PA-P3sine=2sineW2,故B不正確；

對于C,由選項B中推理可知，此時A8=2應，所以點C到4B的距離的最大值為

有”的Y&F=6+1，從而可知三棱錐的體積最大值為9（'（6+1卜2&b1二駕也，

故C選項正確；

對于D,由題意可得△附C和APBC全等，在中，PA=PC=2,AC=瓜,所以

cosZA尸（=,+/_:二!，進而sin/APC=姮，

2x2x244

記PC邊上的高為/?（垂足為Q）,則〃=PAsinN4PC=2x^=^,所以MA+MB22力=厲，當M與

。重合時取等號，故D選項正確；

故選：ACD.

7.（多選題）【答案】ABC

【解析】對于A,A3+加，即否―加<2,也就是成（。-與<2=成％

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另一方面，在aASC中，ab>O,a-b<c,貝ij。伏。一力<訕。成立，故A正確；

對于B,ab+a+b>ab+cN2jabc=20，故B正確；

對于C,a+b2+c2>a+2bc>2y/2^=4,當且僅當。=2c=2時取等號，故C正確；

對于D,邊長為1,應,應的三角形，滿足必c=2,但a+Hc=l+2&>2應，故D錯誤.

故選：ABC.

8.【答案】亞

7

【解析】設以8C外接圓的半徑是R,

y/2OA+2OB+OC=0=>yf2OA=-2OB-OC

2OA2=4OB2+0C2+408-OC

3

2R2=4R2+R2+4R2cosNBOC=cosZ.B0C=——.

4

設N8OC=26,則在等腰aBOC中，sinG=巫.

4

所以。4=*=嶇.

2sin67

2而

故答案為：

156

9.【答案】

4

【解析】解：可令sin4+sinB=4k,sinB+sinC=6k,sinC+sinA=5k,

將上式相加：sinA+sinB+sinC=y/c,

357

由此可解的：sinA=—k,sinB=—4,sinC=—k,

222

由正弦定理:a:b:c=3:5:l,

又因為：a+b+c=\5,

「rc-r-.Ma+b+c15

解得：a=3,h=5,c=7.所以p=---------=—

代入海倫公式解律5:苧

故答案為：”正

4

10.【答案】巫

15

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【解析】???a2+4/=c2,???/=￡^￡1,

4

22

.?.a2+c2-b2，+/一￡7^5/+3。2、27^?7后，

cosB=----------------=-----------------2——=------------->---------------=-------

2ac2acSacSac4

當且僅當3/=5/時等號成立，

又Ae(O,乃)，所以cosBw也^,1),cos26G[j|j)

，-cos-83摩普

lan5=

Ycos2B

故答案為：巫.

15

11.【答案】②③

【解析】對于①，由正弦定理可得手;=%,則sin8=42r4,

sinBsinADC

A(nA

若AC>8C且NA為銳角，MsinB=———>sinA,此時B8有兩解,

AB

則NC也有兩解，此時AB也有兩解：

對于②，若已知NA、￡>3,則NC確定，由正弦定理1=-^；可知AB唯一確定；

sinAsinC

對于③，若已知NC、AC.BC,由余弦定理可得48=〃。2+8。2一247.總8$。，

則AB唯一確定；

對于④，若已知NA、NC、DB,則AB不確定.

故答案為：②③.

12.【解析】(l)?.?cos/8C￡)=-1,sinABCD=Vl-cos2ZBCD=1

又VNCBD=45°,所以sinNCDB=sin(/BCD+450)=n/.BCD+cos/BCD)=