圓的一般方程

(3)求圓的方程,應根據條件特點選擇合適的方程形式:若條件與圓心、半徑有關,則宜用標準方程;若條件主要是圓所經過的點的坐標,則宜用一般方程.(4)要畫出圓,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法.探究點一

圓的一般方程的理解

例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實數m的取值范圍;(2)圓心坐標和半徑.變式

下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求出其圓心坐標和半徑.(1)x2+y2-4x=0;(2)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(3)x2+y2+2ax=0.

[素養小結]二元二次方程與圓的關系:(1)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法:①由圓的一般方程的定義判斷D2+E2-4F是否為正,若D2+E2-4F>0,則方程表示圓,否則不表示圓.②將方程配方變形成“標準”形式后,根據圓的標準方程的特征,觀察是否可以表示圓.

探究點二

求圓的一般方程例2(1)經過三點A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圓的方程為 (

)A.x2+y2+7x-3y+2=0B.x2+y2-7x-3y-2=0C.x2+y2-7x+3y+2=0D.x2+y2-7x-3y+2=0

D

D

[素養小結]求圓的方程主要有兩種方法:(1)定義法;(2)待定系數法.定義法是根據題目利用定義判斷曲線為圓,求出圓心坐標和半徑長;待定系數法是列出關于D,E,F的方程組,求出D,E,F,從而求得圓的一般方程.探究點三

與圓有關的軌跡方程

例3已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

例3已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.變式

已知點P在圓C:x2+y2-8x-6y+21=0上運動,則線段OP(O為坐標原點)的中點M的軌跡方程為

.

[素養小結]求與圓有關的軌跡方程的常用方法:(1)直接法:根據題目的條件,建立適當的平面直角坐標系,設出動點坐標,并找出動點坐標所滿足的關系式.(2)定義法:當列出的關系式符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程.(3)代入法:若動點P(x,y)隨著圓上的另一動點Q(x1,y1)的運動而運動,且x1,y1可用x,y表示,則可將Q點的坐標代入已知圓的方程,即得動點P的軌跡方程.探究點四

與圓有關的最大(小)值問題

例4已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.

1.用待定系數法求圓的方程時,一般方程和標準方程的選擇:(1)由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題,一般采用圓的標準方程,再用待定系數法求出a,b,r.(2)已知條件和圓心或半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數法求出參數D,E,F.例1求過三點A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圓的方程.

例1求過三點A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圓的方程.

2.求軌跡方程的常用方法:直接法、代入法(相關點法).在確定軌跡范圍時,應注意以下五個方面:①要準確理解題意,挖掘隱含條件;②列式不改變題意,并且要全面考慮各種情形;③推理要嚴密,方程化簡要等價;④消參時要保持范圍的等價性;⑤數形結合,查“漏”補“缺”.例2點A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點B(1,1)是圓內一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點N的軌跡方程.解:(1)設線段AP的中點為M(x,y),由中點坐標公式得點P的坐標為(2x-2,2y).因為點P在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故線段AP的中點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.例2點A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點B(1,1)是圓內一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點N的軌跡方程.(2)設線段PQ的中點為N(x,y),連接BN,在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設O為坐標原點,連接ON,OP(圖略),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.

例3設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|PQ|的最小值為 (

)

A.6 B.4C.3 D.2[解析]畫出已知圓,利用數形結合思想求解.如圖,圓心M(3,-1)到定直線x=-3的距離為|MQ|=3-(-3)=6.因為圓的半徑為2,所以所求最小值為6-2=4.B1.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示的圖形是 (

)

A.一個點 B.一個圓C.一條直線 D.不存在[解析]方程x2+y2-2x+4y+5=0可化為(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程x2+y2-2x+4y+5=0表示點(1,-2).A

B

C4.與圓x2+y2-4x+6y+3=0同圓心,且過點(1,-1)的圓的方程是 (

)A.x2+y2-4x+6y-8=0B.x2+y2-4x+6y+8=0C.x2+y2+4x-6y-8=0D.x2+y2+4x-6y+8=0[解析]設所求圓的方程為x2+y2-4x+6y+m=0,由該圓過點(1,-1),得m=8,所以所求圓的方程為