2024-2025學年吉林省長春市朝陽區高三上學期開學摸底考數學檢測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結束后，將答題卡交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙試題卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1若集合，，則（）A. B. C. D.2.上海百聯集團對旗下若干門店的營業額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關系正確的為（）．A. B. C. D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.展開式中項的系數為（）A.80 B. C.40 D.5.已知，且，則函數的圖象一定經過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限6.下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線x=1對稱的是（）A. B.C. D.7.我校某班舉辦新年聯歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是（）A.12 B.13 C.24 D.268.已知實數，且，為自然對數的底數，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數（例如若，則），已知出現“0”的概率為，出現“1”的概率為，記，則當程序運行一次時（）A.X服從二項分布 B.C. D.10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知，其中，附：0.10.050.010.00500012.7063.84166357.87910.828在被調查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人C.經常鍛煉者中男生的頻率小于不經常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關11.已知三次函數有三個不同的零點，若函數也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正確的概率為______.（誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起）13.已知正數，滿足，則的最小值為_____________.14.在一個的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數，使得每一行、每一列以及每條對角線的各數之積均相等.則______.541四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數列的前項和為，已知，．（1）設，證明：數列是等比數列；（2）求數列的前項和．16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續發球2次，然后樊振東連續發球2次，根據以往比賽結果統計，樊振東發球時他自己得分的概率為0.6.張本智和發球時樊振東得分的概率為0.5，各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領先，根據以往比賽結果統計，在后續每局比賽中樊振東獲勝的概率為23，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立，（ⅰ）假設兩人又進行了局后比賽結束，求的分布列與數學期望.（ⅱ）最后樊振東以拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從到實現了“驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數據簡要說明你的理由.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿進行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.（1）求證：平面;（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.18.已知函數．（1）若，求的極小值；（2）若過原點可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．19.已知雙曲線兩條漸近線分別為和，右焦點坐標為為坐標原點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線與雙曲線的右支交于點（在的上方），過點分別作的平行線，交于點，過點且斜率為4的直線與雙曲線交于點A2,B2（在的上方），再過點A2,B2分別作的平行線，交于點，這樣一直操作下去，可以得到一列點.（i）證明：共線；（ii）判斷是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理由.2024-2025學年吉林省長春市朝陽區高三上學期開學摸底考數學檢測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結束后，將答題卡交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙試題卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求得集合，可求得.【詳解】依題得，則．故選：C.2.上海百聯集團對旗下若干門店的營業額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關系正確的為（）．A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據散點圖判斷兩變量的線性相關性，再根據線性相關性與相關系數的關系判斷即可.詳解】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關，且線性相關性較強，故，圖二、圖三兩個變量都成負相關，且圖二的線性相關性更強，故，，，故，所以.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】結合不等式的性質分充分性、必要性兩方面進行說明即可求解.【詳解】若，則函數單調遞增，所以，充分性成立；當時，，滿足，但，不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.展開式中項的系數為（）A.80 B. C.40 D.【正確答案】B【分析】根據二項式定理，寫出其通項即可求特定項的系數【詳解】的二項展開式的通項為，令，得，所以的展開式中的系數為.故選：B5.已知，且，則函數的圖象一定經過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限【正確答案】D【分析】由函數過點，分類可解.【詳解】當時，，則當時，函數圖象過二、三、四象限；則當時，函數圖象過一、三、四象限；所以函數的圖象一定經過三、四象限.故選：D6.下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線x=1對稱的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據直線對稱的性質，結合中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設函數的圖象為曲線，該曲線關于x=1對稱的曲線為，設曲線上任意一點的坐標為，則有，該點關于直線x=1對稱點的坐標為，因此有，代入中，得，故選：C7.我校某班舉辦新年聯歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是（）A.12 B.13 C.24 D.26【正確答案】B【分析】根據給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結合丙的情況列式計算即可.【詳解】甲是特等獎，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，所以有種；甲不是特等獎，則甲有3種情況，乙有3種情況，而丙、丁、戊有1種情況，所以有種；所以5人的獎項的所有可能的種數是.故選：B.8.已知實數，且，為自然對數的底數，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡條件后根據形式構造函數，利用單調性判斷不等式【詳解】因為，所以，函數在上單調遞增，且，因為所以，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數（例如若，則），已知出現“0”的概率為，出現“1”的概率為，記，則當程序運行一次時（）A.X服從二項分布 B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出的期望和方差后可判斷CD的正誤.【詳解】由二進制數A的特點知，每一個數位上的數字只能填0，1且每個數位上的數字互不影響，故X中1出現次數的可能取值有，則可能取值情況與之相同，由二項分布的定義可得：，故A正確.故，故B錯誤；所以，，故C正確，D錯誤．故選：AC．10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知，其中，附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828在被調查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人C.經常鍛煉者中男生的頻率小于不經常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關【正確答案】BD【分析】根據男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數，建立列聯表，利用列聯表中的信息解決ABC，利用獨立性檢驗來解決D選項．【詳解】設男生人數為，則女生人數為，由題得，解得，即在被調查者中，男?女生人數為80，100，可得到如下列聯表，性別鍛煉情況合計經常鍛煉不經常鍛煉男483280女4060100合計8892180對于A：由表可知，A顯然錯誤，對于B：男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B正確；對于C：在經常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經常鍛煉者中是男生的頻率為C錯誤；對于D：零假設：假設假設是否經常鍛煉與性別無關，則，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為假期是否經常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01，D正確.故選：BD．11.已知三次函數有三個不同的零點，若函數也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對于A，由題意可得有兩個不同的實根，則，從而可進行判斷，對于B，根據圖象分析判斷，對于CD，由零點的定義結合方程化簡變形進行判斷.【詳解】，因為原函數有三個不同零點，則有兩個不同的實根，即，則，即，所以A錯誤；因為三次函數有三個不同的零點，所以，所以，同理，所以，故C正確，D錯誤；由的圖象與直線的交點可知，B正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正確的概率為______.（誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起）【正確答案】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設事件表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，設事件表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，這個答案是正確的概率為，故13.已知正數，滿足，則的最小值為_____________.【正確答案】【分析】利用“1”的靈活運用，結合基本不等式即得.【詳解】因為，則因為x>0，，所以，則原式，當即時，取等號.所以的最小值為.故答案為.14.在一個的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數，使得每一行、每一列以及每條對角線的各數之積均相等.則______.541【正確答案】10【分析】根據題中的條件設出每一行、每一列以及每條對角線的各數之積，列出等式求解即可．【詳解】在一個乘法幻方中，每一行數之積、每一列數之積、對角線上的數之積都相等，設積為，則乘法幻方可表示為如圖所示：54120故對角線，解得：，經驗證滿足題意.故10.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數列的前項和為，已知，．（1）設，證明：數列是等比數列；（2）求數列的前項和．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用與間的關系，得到，再構造成，即可證明結果.（2）利用（1）中結果得到數列是首項為1，公差為1的等差數列，再利用等差數列的前項和公式即可求出結果.【小問1詳解】由及，得，∴，∴．又，由①－②，得，∴．∵，∴，故數列是首項，公比為2的等比數列．【小問2詳解】由（1）知，∴，又，故數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以．16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續發球2次，然后樊振東連續發球2次，根據以往比賽結果統計，樊振東發球時他自己得分的概率為0.6.張本智和發球時樊振東得分的概率為0.5，各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領先，根據以往比賽結果統計，在后續的每局比賽中樊振東獲勝的概率為23，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立，（ⅰ）假設兩人又進行了局后比賽結束，求的分布列與數學期望.（ⅱ）最后樊振東以拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從到實現了“驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數據簡要說明你的理由.【正確答案】（1）（2）（i）分布列見解析，數學期望為.（ii）答案見解析.【分析】（1）根據給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即可.（2）（i）求出的所有可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出數學期望即可；（ii）求出張本智和勝的概率、樊振東以贏得比賽的概率即可得解.小問1詳解】在比分為后張本智和先發球的情況下，樊正東以落敗的情況分三種：第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為，第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為，第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為，所以所求事件的概率為：．【小問2詳解】（i）隨機變量的可能取值為，,,，所以的分布列為2345數學期望為.（ii）由（i）得，張本智和勝的概率為，樊正東勝的概率為，且張本智和勝的概率大于樊正東勝的概率，又因為最后樊正東以拿下本場比賽，且獲勝的概率為，所以可以這么說樊正東從到實現“驚天逆轉”.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿進行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.（1）求證：平面;（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，交于點，連接，由題意得，，由線面垂直的判定定理可得平面，由題意可得四邊形為平行四邊形，可得，繼而即可證明.（2）取的中點為，連接，由題意，以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，設，由直線與平面所成角的正弦值為，計算可得，再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.【小問1詳解】連接，交于點，連接，四邊形為菱形，，平面，又平面，，又，平面，平面，分別為線段的中點，，且，又，且，，且，故四邊形為平行四邊形，，平面.【小問2詳解】在菱形中，，和都是正三角形，取的中點為，連接，，又平面，平面，，即兩兩互相垂直，如圖，以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，設，已知，，，，設平面的法向量為，則，取，則，設直線與平面所成角為，因為直線與平面所成角的正弦值為，則，，，，設平面的法向量為，取，，設平面的法向量為，則，取，則，設平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的余弦值為.18.已知函數．（1）若，求的極小值；（2）若過原點可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數的導數，根據導數與極值的關系，即可求得答案；（2）設切點分別為，根據導數的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉化為方程兩個不同的根的問題，構造函數，利用導數求得其最小值的表達式，分類討論，結合零點存在定理，即可求得答案.【小問1詳解】由，得，令f'x<0得，則在上單調遞減，令f'x>0得，則在上單調遞增，則的極小值為;【小問2詳解】，設切點分別為，則在處的切線方程為，又切點過原點，所以，即，同理，所以為方程兩個不同的根，設，則，若，則在0,+∞單調遞減，gx=0若