重慶市2025屆高三9月考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則集合的真子集的個數為（）A.7 B.8 C.31 D.322.若復數滿足，則（）A. B. C. D.3.已知且，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.84.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.5.已知α，，且，，則（）A. B. C. D.6.命題在上為減函數，命題在為增函數，則命題是命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7.某校高三數學老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示：年齡人數126542下列說法正確的是（）A.這20人年齡分位數的估計值是46.5B.這20人年齡的中位數的估計值是41C.這20人年齡的極差的估計值是55D.這20人年齡的眾數的估計值是358.已知函數，.當時，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.某學校有甲、乙、丙三個社團，人數分別為、、，現采用分層抽樣的方法從中抽取人，進行某項興趣調查．已知抽出的人中有人對此感興趣，有人不感興趣，現從這人中隨機抽取人做進一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學生人數，則（）A.從甲、乙、丙三個社團抽取人數分別為人、人、人B.隨機變量C.隨機變量的數學期望為D.若事件“抽取的3人都感興趣”，則10.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區域的面積大于411.已知直線，A是之間的一定點并且點A到的距離分別為1，2，B是直線上一動點，作，且使AC與直線交于點C，，則（）A.面積的最小值為B.點到直線的距離為定值C.當時，的外接圓半徑為D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個詞典里包含個不同的單詞，其中有個以字母“”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇個單詞組成一個新的子集，其中至少包含兩個“”開頭，一共有__________個這樣的子集.（要求用數字作答）13.在的展開式中，若的系數為，則_____.14.已知函數，若函數，當恰有3個零點時，求的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，，，點是的中點.（1）求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；（2）點在棱上，且，求直線與平面所成角的大小.16.已知的內角所對的邊分別是.（1）求角；（2）若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.17.夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續選擇銀耳羹的概率為，如此往復．（提示：設表示第天選擇綠豆湯）（1）求該同學第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率（2）求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；（3）記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項公式.18.已知數列的前項和為，滿足，數列是等比數列，公比.（1）求數列和的通項公式；（2）設數列滿足，其中.（i）求數列前2024項和；（ii）求.1