專題6-2立體幾何截面與最值歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01截面形狀判斷 1題型02利用相交線法做截面 4題型03利用平行線法做截面 9題型04截面計算：柱體周長 13題型05截面計算：柱體面積 17題型06錐體中截面周長與面積 20題型07臺體中截面周長與面積 23題型08球截面 25題型09截面最值：球截面最值 28題型10截面最值：柱體最值 31題型11截面最值：錐體最值 37題型12截面最值：綜合型最值 40題型13恒平行型求截面 45題型14恒垂直型求截面 49題型15動點型截面 55高考練場 61題型01截面形狀判斷【解題攻略】一般地，立體幾何中的截面問題，有兩種處理方法：1.是利用平行關系找交線，2.是利用共面直線延長相交得交點.【典例1-1】．（2022下·浙江溫州·高三校聯考）圓錐內接一個正方體，現有一個平面截這個幾何體，則截面圖形不可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作圓錐的截面，依次判斷截面圖形即可得到結果.【詳解】對于A，沿圖中所示位置作豎直截面，則截面圖形如A所示，A正確；對于B，按圖中陰影所示作截面，則截面圖形如B所示，B正確；對于C，沿正方體面對角線（如圖中位置）作軸截面，則截面圖形中四邊形應為矩形，如圖所示，C錯誤；對于D，正方體側棱為，為底面弦的中點，按照平面作如圖所示的截面，則截面圖形如D所示，D正確.故選：C.【典例1-2】（2021下·高三課時練習）圖中的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【答案】D【分析】分截面經過圓柱上下底面的圓心和截面不經過圓柱上下底面的圓心兩種情況，分別討論，進而可得出答案.【詳解】當截面經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；當截面不經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為一條曲線，所以⑤正確；故選:D.【變式1-1】（2019·全國·高三假期作業）一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可知，該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項B正確．【詳解】如圖所示：因為三棱錐的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，即可知過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．【變式1-2】（2020下·山東棗莊·高三滕州市第一中學新校校考階段練習）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【答案】D【分析】根據截面的位置，可判斷截面圖形的形狀.【詳解】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，當截面經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；當截面不經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為拋物線的一部分，所以⑤正確；故選:D【變式1-3】用平面截正方體，截面不可能是（

）A．菱形 B．等腰梯形C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】舉例即可說明A、B、D正確；假設截面是正五邊形，經分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊形的性質相矛盾，即可判斷C項.【詳解】對于A項，當截面與正方體表面平行，且與正方體相交時，截面為正方形，即截面可能是菱形，故A項正確；對于B項，如圖1，當時，有，且，此時截面為等腰梯形，故B項正確；對于C項，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個面內，由于正方體有6個面，分成兩兩平行的三對，故必然有一對平行面中有兩條截線，而根據面面平行的性質定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項錯誤；對于D項，如圖2，分別為各邊的中心，易證共面，且為正六邊形，故D項正確.故選：C.題型02利用相交線法做截面【解題攻略】基礎模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。以“第三點”所在的表面中，，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線如下圖，符合的有c1的表面有三個，紅色的和EF平行而不會相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍色）或者右表面（綠色的），先用上表面（紅色的）來做：所以，先補出擴展EF直線所在的前側面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G此時G也在上表面了，連接GP，出來與棱A1D1交點H.連接HB，則的如右圖的截面。再用右表面綠色的來做：則發現，右邊面和EF相交于前側面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I此時I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.連接FJ，則出右圖的截面。最終，兩個合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點，幾何體是否正方體無掛具體的G,H,I,J都可以通過對應的E、F幾等分點以及幾何體長寬高的不同變化來計算出來，這個幾何體也不一定是長方體，還可以是斜棱柱，都不影響這個作圖。【典例1-1】在棱長為2的正方體中，E是棱的中點，則過B、E、三點的平面截正方體所得的截面圖形的面積為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】先作出截面圖形，易知截面為菱形，再結合菱形面積公式求解即可【詳解】設平面交棱AD于F，由正方體性質及平面與平面平行的性質定理得，，由勾股定理可得四邊形所有邊長的長度為，所以是菱形，且為的中點，取的中點，連接，則，故．故選：C．【典例1-2】如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（）A．當時，S為等腰梯形B．當時，S與的交點R滿足C．當時，S為六邊形D．當時，S的面積為【答案】ABD【分析】分，，三種情況討論截面的形狀，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：過點A，P，Q的平面截正方體，當時，其截面形狀為梯形如圖1，特別地當時，截面形狀為等腰梯形，當時，其截面形狀為五邊形如圖2．若，則，所以．當時，與重合，其截面形狀為四邊形如圖3，此時，因為P為的中點，且，所以為的中點，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以四邊形為菱形，其面積為．故ABD正確．故選：ABD.【變式1-1】如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用作延長線找交點法，得出截面圖形為梯形，求出梯形周長即為所求.【詳解】連接與的延長線交于點,連接與交于點,因為,所以為的中點,則為的中點,所以截面為梯形,因為所有棱長均為2,，所以,,,,故梯形的周長為.故選：D.【變式1-2】在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意運用基本事實作出截面，根據截面的幾何特征求其面積即可.【詳解】延長交于點，連接交于點，如圖，在正方體中，面面，面面，面面，又四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.又，在等腰梯形中，過作，.故選：C.【變式1-3】在棱長為3的正方體A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分點，過A、D1、M作正方體的截面，則這個截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之比）為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出截面圖形，利用割補法求兩部分體積即可.【詳解】如圖所示，正方體的截面為，將體積較小的部分補成一個三棱錐，設，由，，，較小部分體積為，較大部分體積為，故選：D題型03利用平行線法做截面【解題攻略】基礎模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。平行線法。本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。平行線法特征：有兩點連線在表面：EF，在前側面方法如下：尋找C1點所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側面（綠色的）在這個面內，過C1做EF平行線，顯然必須擴展這個面了。如第三圖。注意！注意！，E與F分別在右側面和下側面上（紅色面就不要用了）注意這仨面的相交棱，下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖分別連FK與EL，交點為J與H。出截面，與第一種方法一致。【典例1-1】已知，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】取，，的中點，，，可得，，，由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，從而求出截面是六邊形.【詳解】如圖所示，分別取，，的中點，，，連接，，，，，，則，.，.同理可得，.由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，所以平面截正方體所得的截面是六邊形.故選：D.【典例1-2】在正方體中，點Q是棱上的動點，則過A，Q，三點的截面圖形是（

）A．等邊三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能【答案】D【分析】由點是棱上的動點，可考慮分別在的端點以及中點，故可得過、、三點的截面圖形的形狀.【詳解】所以當點與重合時，過、、三點的截面是等邊三角形；當點與重合時，過、、三點的截面是矩形；當點與的中點重合時，取的中點,由于所以,又,故過、、三點的截面是等腰梯形，如圖所示：所以過，，三點的截面圖形是可能是等邊三角形、矩形或等腰梯形．故選：D【變式1-1】在棱長為3的正方體中，O為AC與BD的交點，P為上一點，且，則過A，P，O三點的平面截正方體所得截面的周長為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正方體的性質結合條件作出過A，P，O三點的平面截正方體所得截面，再求周長即得.【詳解】因為，即，取，連接，則，又，所以，所以共面，即過，，三點的正方體的截面為，由題可知，，，所以過A，P，O三點的平面截正方體所得截面的周長為.故選：D.【變式1-2】．正方體棱長為4，M，N，P分別是棱的中點，則過M，N，P三點的平面截正方體所得截面的面積（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意，取正方體棱的中點，并連接起來，則此六邊形即為所得截面，求出即可．【詳解】如圖所示：取正方體棱的中點，并連接起來，則此六邊形即為所得截面，由于該六邊形為正六邊形，其邊長為，故其面積為．故選：A．【變式1-3】已知正方體，平面和線段，，，分別交于點E，F，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（）A．梯形 B．正方形 C．長方形 D．菱形【答案】A【分析】根據面面平行的性質定理，可以得出，，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.【詳解】因為面面，面面，面面，所以，同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.若面面，此時四邊形EFGH是正方形，也是菱形；當是所在棱的中點，分別與重合時，四邊形EFGH是長方形.故選：A.題型04截面計算：柱體周長【典例1-1】已知直三棱柱的側棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.【詳解】如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，，為的中點，則，平面，平面，，，平面，、分別為、的中點，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設平面交于點，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，設平面平面，平面，所以，，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點，延長交于點，，所以，，，又，所以，，，為的中點，因為平面平面，平面平面，平面平面，，，，，，為的中點，，，則，為的中點，，則，同理，因為直棱柱的棱長為，為的中點，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分別為、的中點，則，，由勾股定理可得，同理.因此，截面的周長為.故選：C.【典例1-2】在棱長為6的正方體中，點，分別是棱，的中點，過，，三點作該正方體的截面，則截面的周長為A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意畫出截面五邊形，再由已知利用勾股定理求得邊長得答案．【詳解】如圖，延長EF與A1B1的延長線相交于M，連接AM交BB1于H，延長FE與A1D1的延長線相交于N，連接AN交DD1于G，可得截面五邊形AHFEG．∵ABCD﹣A1B1C1D1是邊長為6的正方體，且E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．∴截面的周長為．故選D．【變式1-1】已知正方體的棱長為6，E、F分別是、的中點，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為______．【答案】【分析】延長EF交DA的延長線于N，連接CN交AB于點G，連接FG；延長FE交的延長線于點M，連接CM交點H，連接EH；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.則EF＋FG＋GC＋CH＋HE為平面CEF截正方體所得的截面的周長，根據幾何關系即可求解．【詳解】延長EF交DA的延長線于N，連接CN交AB于點G，連接FG；延長FE交的延長線于點M，連接CM交點H，連接EH；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG．∵E、F分別是、的中點，則易知AN＝，∴AN＝，∴，∴，，；同理，，，；∴平面CEF截正方體所得截面的周長為：EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．故答案為：.【變式1-2】在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方體的特征，作出過點，，的該正方體的截面，計算相關線段的長，即可求得答案.【詳解】設為的三等分點，靠近B點，連接,并延長交延長線于P，設為的三等分點，靠近點，連接,并延長交延長線于Q，則∽，由于，故,同理求得,故兩點重合，則,故，而，故,同理可得,即四邊形為平行四邊形，連接,則五邊形即為過點，，所作的正方體的截面，由題意可知故該截面的周長是，故選：C【變式1-3】已知正四棱柱中，，點M是線段的中點，點N是線段上靠近D的三等分點，若正四棱柱被過點，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明截面四邊形為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.【詳解】解：作出圖形如圖所示．延長至Q，使得，連接MQ，NQ，則截面四邊形為平行四邊形；記MQ與BC交于點R，NQ與CD交于點P，則，，，，，故所得截面的周長為.故選：B．題型05截面計算：柱體面積【典例1-1】棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱A1D1，AA1的中點，過E，F，C1三點的平面截正方體所得的截面的面積為（

）A．9 B． C． D．【答案】D【分析】畫出所截得的封閉圖形，根據正方體和等腰梯形的性質即可求出.【詳解】如圖所示，經過點的平面截正方體所得的封閉圖形為四邊形.分別是棱和的中點，，且.正方體棱長為2，.四邊形是一個等腰梯形.在中，，根據等腰梯形的性質可得，等腰梯形的高為.所以梯形的面積為.故選：D.【典例1-2】在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則經過，，三點的平面截正方體所得的截面的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先作出經過，，三點的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可【詳解】解：如圖，連接，因為點，分別是棱，的中點，所以∥，，由正方體的性質可知∥，所以∥，所以過，，三點的截面為平面，因為正方體的棱長為2，所以，所以梯形的高為，所以梯形的面積為，所以經過，，三點的平面截正方體所得的截面的面積為，故選：C【變式1-1】如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，，的中點，過，，三點的平而截正方體所得的截面面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據題意畫出截面，得到截面為正六邊形，從而可求出截面的面積【詳解】如圖，分別取的中點，的中點,的中點，連接，因為該幾何體為正方體，所以∥,∥,∥,且所以，，三點的平面截正方體所得的截面為正六邊形，所以該正六邊形的面積為.故選：D【變式1-2】在棱長為2的正方體中，為的中點，則過三點的平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正方體的截面圖形，利用面積公式即可求解.【詳解】取的中點，連接即等腰梯形為截面，設的高為，由平面幾何知識可得所以截面面積為.故選：B【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長為2，點是線段的中點，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（

）A．2 B．4 C．4 D．【答案】B【分析】根據題意作出截面圖，結合幾何關系即可求得其面積.【詳解】根據題意，作出正方體被平面所截得到的截面為四邊形，如下所示：根據正方體的幾何特點，顯然四邊形為矩形，且，故其面積.故選：..題型06錐體中截面周長與面積【典例1-1】在正四面體中，，若以三角形為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作中點，作底面，則左視圖的面積，由幾何關系即可可求解【詳解】作中點，作底面，則左視圖中底面將重合為線段，高為線段，左視圖的面積即為，又四面體為正四面體，故，，則，故選：C【典例1-2】如圖，已知三棱錐，點P是的中點，且，過點P作一個截面，使截面平行于和，則截面的周長為_________.【答案】6【解析】設AB、BC、VC的中點分別為D、E、F，連接DE、EF、PF、PD，則可證明截面EFPD就是所求平面，根據中位線的性質，即可求得答案.【詳解】設AB、BC、VC的中點分別為D、E、F，連接DE、EF、PF、PD，如圖所示因為D、E分別為AB、BC的中點，所以，同理P、D分別為VA、AB的中點，所以，平面EFPD，平面EFPD，所以平面EFPD，平面EFPD，所以截面EFPD就是所求平面，因為，所以,，所以截面EFPD的周長為2+2+1+1=6，故答案為：6【變式1-1】已知正四面體的內切球的表面積為36，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為A．27 B．27 C．54 D．54【答案】C【分析】先由內切球表面積求出其半徑，結合圖像，找出球心半徑，用相似三角形列方程求出正四面體邊長，再求出所需截面即可.【詳解】解：由內切球的表面積，得內切球半徑。如圖，過點作平面，則點為等邊的中心。連接并延長交于點，且點為中點，連接。記內切球球心為，過作，設正四面體邊長為。則，，，又因為，所以。由，得，即，解得因為過棱和球心，所以即為所求截面且故選C.【變式1-2】在三棱錐中，，G為的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為_________.【答案】8【分析】如圖所示，過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F．過點F作FM∥PB交BC于點M，過點E作EN∥PB交AB于點N．可得四點EFMN共面，進而得到，根據比例可求出截面各邊的長度，進而得到周長．【詳解】解：如圖所示，過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F過點F作FM∥PB交BC于點M，過點E作EN∥PB交AB于點N.由作圖可知：EN∥FM，∴四點EFMN共面。可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周長為8.故答案為：8.【變式1-3】已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，平面過，，的中點，則平面截四棱錐所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】順次連接E，F，G，H，I，則平面EFGHI即為過E，F，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面，求其面積，可得答案.【詳解】分別取，，，的中點，，，，線段上靠近的四等分點，連接,因為,所以,四邊形是平行四邊形，即四點共面，設中點為,易得,故，所以五點共面，則平面即為平面，如圖，在中，,可得,所以，，，在等腰三角形中，，，所以高為，故所求截面面積為矩形面積與三角形面積之和，．故選：A題型07臺體中截面周長與面積【典例1-1】一個正四棱臺上?下底面邊長分別為2，4，高為3，則經過相對兩側棱的截面的面積為______.【答案】【分析】由正四棱臺的幾何特征知四邊形為高為3的等腰梯形，進而結合梯形的面積公式即可求出結果.【詳解】由正四棱臺的幾何特征知，,,且四邊形為高為3的等腰梯形，所以,所以,因此經過相對兩側棱的截面的面積為，故答案為：.【典例1-2】如圖，四棱臺的底面為菱形，P、Q分別為的中點．若∥平面BPQD，則此棱臺上下底面邊長的比值為___________．【答案】【分析】連接AC，A′C′，則AC∥A′C′，可得A，C，A′，C′四點共面，設平面ACA′C′與PQ和QB分別均于M，N點，連接MN，由線面垂直的性質定理可得：AA′∥MN，則AA′NM為平行四邊形，進而可得A′M＝AN，即AC，從而求出相似比．【詳解】連接AC，A′C′，則AC∥A′C′， 即A，C，A′，C′四點共面，設平面ACA′C′與PQ和QB分別均于M，N點，連接MN，如圖所示：若AA′∥平面BPQD，則AA′∥MN，則AA'NM為平行四邊形，即A'M＝AN，即AC，，即棱臺上下底面邊長的比值為．故答案為．【變式1-1】正三棱臺上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺的斜高為___________．【答案】##【分析】根據棱臺的幾何特點，結合已知數據，作出輔助線，解三角形即可.【詳解】取的中點分別為，連接，取上靠近的三等分點分別為，連接，過作，垂足為，作圖如下：根據題意可得：，即為所求斜高；易知四邊形為平行四邊形，故可得，在△中，，在△中，，在△中，，故.故答案為：.【變式1-2】.如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么A．2＝＋ B．S0＝C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S【答案】A【分析】棱臺不妨看做三棱臺，利用相似的性質，面積之比是相似比的平方，化簡即可．【詳解】不妨設棱臺為三棱臺，設棱臺的高為2r，上部三棱錐的高為a，根據相似比的性質可得：可得消去r，可得2＝＋，故選A．【變式1-3】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中校考）在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正四棱臺的體積公式、結合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進行求解即可．【詳解】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作,該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當且僅當，即時取等號，此時，，．取,的中點，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．題型08球截面【解題攻略】用一個平面去截球，若平面經過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。且滿足勾股數組【典例1-1】已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（

）．A．1 B． C． D．或【答案】B【分析】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，由球O截平面ABC所得的截面面積為，得截面圓的半徑為，設球O的半徑為R，得，過O作PA的垂線，垂足為D，得∽，可得，進而求得．【詳解】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，則球心O在線段或其延長線上，為正的中心，則，．設球O的半徑為R，因為球O截平面ABC所得的截面面積為，所以截面圓的半徑為，所以，．過O作PA的垂線，垂足為D，則，∽，所以．①當點O在線段上時，，即，則，且，解得；②當點O在線段的延長線上時，，即，則，且，解得或，當時，點O，重合，此時點O不在線段的延長線上，故舍去；當時，切點D不在棱PA上，不符合題意．綜合①②可知，，故選：B．【典例1-2】已知正四面體的棱長為2，，，分別為，，的中點，則正四面體的外接球被平面所截的截面面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將正四面體放入相應的正方體中，根據題意可得球心在上，所以正四面體的外接球被平面所截的截面即大圓，進而可得其面積.【詳解】將正四面體放入正方體中，如圖所示，因為，分別為，的中點，所以，分別為左右側面的中心，所以正方體的外接球即正四面體的外接球球心為線段的中點，所以正四面體的外接球被平面所截的截面即為大圓.因為正四面體的棱長為2，所以正方體的棱長為，所外接球半徑，所以大圓面積為：.故選：C.【變式1-1】已知正方體棱長為6，如圖，有一球的球心是的中點，半徑為2，平面截此球所得的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出球心到平面的距離，再求出截面圓的半徑即得解.【詳解】∵正方體的棱長為6，∴正方體對角線為，所以球心到平面的距離由題得平面截此球所得的截面是圓，又球半徑，設截面圓半徑為，則，∴．故選：A【變式1-2】球O與棱長為2的正方體的各個面都相切，點M為棱的中點，則平面AMC截球O所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等體積法求出圓心到截面的距離，然后根據勾股定理求出球半徑，即可得到結果.【詳解】設圓心到截面的距離為，截面半徑為，由，即，因為，，點到平面的距離為，，又，所以，所以平面AMC截球O所得截面的面積為.故選：A.【變式1-3】如圖，已知球是棱長為1的正方體的內切球，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方體和球的結構特征,判斷出平面是正三角形,求出它的邊長,再通過圖求出它的內切圓的半徑,最后求出內切圓的面積.【詳解】根據題意知，平面是邊長為的正三角形,故所求截面的面積是該正三角形的內切圓的面積,則由圖得,三角形內切圓的半徑是,即，所以.故選:C.題型09截面最值：球截面最值【典例1-1】如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等邊三角形的性質以及外接球的性質，作出外接球的球心，再根據線段的數量關系求出線段，最后即可得到截面圓的最小半徑.【詳解】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示：取BD中點為E，連接AE，CE，則，由平面平面CBD，平面平面，故平面CBD，，易知球心O在平面BCD的投影為的外心，過作于H，易得，，則在中，，所以外接球半徑，連接OM，因為，所以H，O，M三點共線，所以，，當M為截面圓圓心時截面面積最小，此時截面圓半徑，面積為.故選：A.【典例1-2】已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個頂點均在球心為O的球面上，點E在AB上，，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設出三棱錐外接球的半徑及球心，構造直角三角形即可求得面積最小值.【詳解】如圖，因為三棱錐的棱長均為6，所以點P在平面ABC內的射影H是的中心，取BC的中點D，連接AD，則點H在AD上，且，所以，，，則．設三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則OP＝OA＝R，在中，，解得．因為，所以AE＝2，取AB的中點F，則EF＝1，且，所以．當過點E的球O的截面與OE垂直時，截面面積最小，設截面圓的半徑為r，則，所以截面面積為．故選：A．【變式1-1】若球是正三棱錐的外接球，，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設是球心，是等邊三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得過且垂直的截面圓最小即可.【詳解】如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，可得，，設球的半徑為，在三角形中，由，即，解得，在三角形中，，，由余弦定理得，在三角形中，因為，故，設過且垂直的截面圓的半徑為，，故最小的截面面積為.故選：B【變式1-2】一個空心球玩具里面設計一個棱長為4的內接正四面體，過正四面體上某一個頂點所在的三條棱的中點作球的截面，則該截面圓的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出正四面體的高以及外接球的半徑，再由勾股定理計算球心到截面的距離以及到面的距離，再由勾股定理即可求截面圓的半徑，即可求截面圓的面積.【詳解】如圖：取的中心為，連接、，因為四面體是正四面體，所以面，且球心在上，連接，因為，，所以，設，在中，，由即解得：，又因為為球心到截面的距離，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故選：A.【變式1-3】棱長為的正方體的所有頂點均在球的球面上，分別為的中點，則平面截球所得圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】正方體的外接球球心為對角線的中點，球半徑，球心到平面的距離為，利用勾股定理求出小圓半徑，再代入圓的面積公式；【詳解】解：由題意，正方體的外接球球心為對角線的中點，正方體對角線長為，所以球半徑，因為到平面的距離為，所以球心到平面的距離為，所以小圓半徑，故選：D．題型10截面最值：柱體最值【典例1-1】已知正方體的棱長為為線段上的動點，為的中點，過點，的平面截該正方體所得截面為.若為五邊形，則此時的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面即可求解【詳解】（1）當即與重合時，過點，，的截面為正方形，不合題設（2）當，即為中點時，，，則，所以過點，，的截面為梯形，不合題設（3）當即與重合時，取中點，中點，連接，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以因為，所以四邊形為平行四邊形，所以所以所以過點，，的截面為平行四邊形，不合題設（4）當時，過作交線段于，過作交線段于，連接因為，所以四邊形為平行四邊形，所以又，所以所以過點，，的截面為梯形，不合題設（5）當時，取中點，在線段上截取，連接，，過作交線段的延長線于點，交線段于點，連接交于點，連接因為，所以四邊形為平行四邊形，所以又，所以所以過點，，的截面為五邊形，符合題設此時，，所以的取值范圍為故選：D【典例1-2】已知正方體的體積為，點在線段上(點異于兩點)，點為線段的中點，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段BM的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正方體體積可求得其棱長為；在正方體中作出截面，可知為線段中點為截面為四邊形和五邊形的臨界狀態，從而得到結果.【詳解】由正方體的體積可知，其棱長為，如圖所示當點為線段的中點時，截面為四邊形當時，截面為四邊形；當時，截面為五邊形故選：【變式1-1】已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據梯形的面積公式求解即可.【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，高為，故面積為.故選:D．【變式1-2】已知正方體的體積為1，點在線段上（點異于，兩點），點為線段的中點，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據正方體體積可求得其棱長為；在正方體中作出截面，可知為線段中點為截面為四邊形和五邊形的臨界狀態，從而得到結果.【詳解】解：由于正方體的體積為1，可得正方體的棱長為1，點在線段上（點異于兩點），當點為線段的中點時，，則共面，截面為四邊形，如圖，當時，截面為四邊形；當時，截面為五邊形，即平面截正方體所得的截面為四邊形時，線段的取值范圍是.故選：A.【變式1-3】如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得的截面記為．①當時，為四邊形；②當時，與的交點滿足；③當時，為六邊形；④當時，的面積為．則下列選項正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據點Q在線段上的變化，分別作出過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可．【詳解】對于①，因為正方體的棱長為1，當時，過A，P，Q三點的截面與正方體表面的交點在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故①正確；對于②，如圖（b）所示，當時，，又為的中點，故，得，故②正確；對于③，如圖（c）所示，當時，過點，，的平面截正方體所得的截面為五邊形，故③不正確；對于④，如圖（d）所示，當時，過點，，的截面為，其截面為菱形，對角線，，所以的面積為，故④正確．綜上所述，正確的命題序號是①②④．故選：B題型11截面最值：錐體最值【典例1-1】正三棱錐的底面邊長是2，E，F，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，求出，說明是矩形，結合圖形，說明點在平面時，面積最小，求出即可得到范圍【詳解】如圖所示：由正三棱錐的底面邊長是2，因為、、、分別是、、、的中點，所以，則，所以是平行四邊形。因為正三棱錐，則對棱，的中點連線與對棱，的中點連線相等，即，所以四邊形是矩形，所以，設的中心為，則，所以的面積所以四邊形EFGH面積的取值范圍是：故選：B．【典例1-2】如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】把正四面體補為正方體，根據基本不等式求出最大值即可.【詳解】解：把正四面體補為正方體，如圖，根據題意，，，，，所以，，故，，當且僅當時成立，故選：C.【變式1-1】如圖：正三棱錐中，，側棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側面交線的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，則即為截面周長的最小值，利用余弦定理代入求解即可.【詳解】如圖所示：沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理得：，.故選：B.【變式1-2】如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據對棱相等，可將四面體嵌入長方體中，進而發現與長方體的一個面平行，就利用這個面截取四面體，再求這個截面的最大值。【詳解】過作平面平行于，同理這六條棱每條棱都做平面平行于對棱.那么由對棱做的平面平行，可知這六個面圍成一個平行六面體，又已知對棱相等，則這個平行六面體任何一個面的一對對角線都等長.故每個面都是矩形，即圍成一個長方體.設長方體的長寬高分別為，那么四面體的六條棱長都是它的面對角線.則有，解得：，再由分別是，中點，即長方體兩個底面的中心，而截面與直線垂直，則平行于底面，故，.根據平行截比定理得到，且，而.故有.設之間的夾角為.那么該多邊形截面面積.而,，故,則.故選：B【變式1-3】在長方體中，，過點作平面與分別交于兩點，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點A作，連接，首先證明平面平面，即可得為與平面所成的角，進而可得，，由基本不等式得，從而可求出截面面積的最小值.【詳解】如圖，過點A作，連接∵平面，∴，∴平面，∴，所以平面平面，∴為與平面所成的角，∴，在中，∵，∴，在中，由射影定理得，由基本不等式得，當且僅當，即E為MN中點時等號成立，∴截面面積的最小值為.故選：B題型12截面最值：綜合型最值【典例1-1】已知正四面體的棱長為4，點在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題，正四面體的外接球即正方體的外接球，球的截面是圓，要求所作截面面積的最小值，只需確定截面圓的半徑，借助余弦定理和勾股定理即可．【詳解】如圖，正四面體的棱長為4，則正方體的棱長為，正四面體的外接球即正方體的外接球，其半徑為，∴，∵，∴，則截面圓的半徑，∴截面面積的最小值為.故選：B.【典例1-2】正三棱錐，為中點，，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題中數據，結合正棱錐的結構特征，得到兩兩垂直，可將正三棱錐看作正方體的一角，設正方體的體對角線的中點為，得到點是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，過球心的截面圓面積最大；再求出，根據球的結構特征可得，當垂直于過的截面時，截面圓面積最小，結合題中數據，即可求出結果.【詳解】因為正三棱錐，，，所以，即，同理，，因此正三棱錐可看作正方體的一角，如圖，記正方體的體對角線的中點為，由正方體結構特征可得，點即是正方體的外接球球心，所以點也是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，則，因為球的最大截面圓為過球心的圓，所以過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積最大為；又為中點，由正方體結構特征可得；由球的結構特征可知，當垂直于過的截面時，截面圓半徑最小為，所以.因此，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為.故選：D.【變式1-1】正方體為棱長為2，動點，分別在棱，上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設，，其中，，下列命題正確的是____________.（寫出所有正確命題的編號）①當時，為矩形，其面積最大為4；②當時，的面積為；③當，時，設與棱的交點為，則；④當時，以為頂點，為底面的棱錐的體積為定值.【答案】②③④【分析】①當時，點與點重合，證得，即可判斷形狀，分析出當點與點重合時面積最大即可求出最大面積；②當時,為等腰梯形，進而求出面積即可；③當，時，由，可得，進而可以表示出；④當時,以為定點，為底面的棱錐為，求出四棱錐的體積即可判斷.【詳解】當時，點與點重合，所以，此時為矩形，當點與點重合時面積最大，，故①錯誤；當時,為的中位線，所以，因為，所以，所以為等腰梯形，過點作于,，所以，因此，所以，故②正確；設與交于點，得，所以，因此，因為，則，在取點，使得，在取點，使得，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則，即，所以，因此，所以，故③正確；當時,以為定點，為底面的棱錐為，所以，故④正確，故答案為：②③④.【變式1-2】在三棱錐中，頂點P在底面的射影為的垂心O（O在內部），且PO中點為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當取值最大時，【答案】C【分析】對選項A，先找到二面角的平面角，再根據邊角關系證明與全等，然后根據直線垂直并平分線段即可判斷；對選項B，找到角的關系和，然后分別運用正切的兩角差公式解得即可；對選項C和D，均是先根據運用正切的兩角差公式，然后通過換元得到一個一元二次方程，然后根據判別式即可判斷.【詳解】如圖所示，連接延長交與，連接延長交與，設平面平面頂點P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面。則有：直線與平行又，則。平面，則又則平面從而。故為與平面的二面角，即同理可得：。對選項A，，又，則有：可得：與全等，則又根據是的垂心，則，綜上可得：直線垂直并平分線段可得：，故選項A正確；對選項B，易知有如下角關系：。又，則有：。可得：解得：則，故選項B正確；對選項C，若，則有：則有：化簡后可得：令，則有：則有：，此時方程無解，故選項C錯誤；對選項D，設（），則有：可化簡為：令，則有：則有：解得：故取得最大值時，，此時同理可得：故，且則有：，故選項D正確；故選：C題型13恒平行型求截面【典例1-1】在通用技術教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學計劃通過側面內任意一點將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是__________．【答案】【分析】根據題意，在平面內，過點作分別交于，在平面內，過作交于，在平面內，過作交于，連接，進而根據題意，∽，設其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結合相似比和二次函數性質求解即可.【詳解】根據題意，在平面內，過點作分別交于，在平面內，過作交于，在平面內，過作交于，連接，作圖如下，因為，則，所以∽，設其相似比為，則，因為，所以在中，，因為，所以，即，因為，則，所以，，即，因為，所以，即，同理∽，即，因為，平面，平面，所以平面，因為，所以平面，平面，因為平面，所以，因為所以因為，所以∽，所以，因為，所以，因為，所以，所以四邊形是矩形，即，所以，由二次函數的性質知，當時，有最大值.故答案為：.【典例1-2】一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，P是棱的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則截面的面積為（）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】分析出截面為邊長為2的正方形即可得到面積.【詳解】P是棱的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，平面，平面，平面平面，所以，同理可得：，所以，所以四邊形是平行四邊形，且均是中點，又因為正四面體對棱互相垂直，所以，所以，所以四邊形是邊長為2的正方形，所以該四邊形面積為4.故選：D【變式1-1】某中學開展勞動實習，對棱長為3的正方體木塊進行加工.如圖，學生需要分別過頂點A和對角線BD對正方體木塊進行平面切割，兩個切割面與棱，，，分別交于點M，F，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個截面間的距離為_____________.【答案】2【分析】連接，分別交EF，MN于點H，Q，連接AQ.連接AC交BD于點G，連接HG，由面面平行的性質定理得線線平行，從而得平行四邊形，可證得平面平面，知平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，利用面積法求出平行四邊形的高即可得．【詳解】連接，分別交EF，MN于點H，Q，連接AQ.連接AC交BD于點G，連接HG.因為平面平面，是分別是平面、平面與平面的交線，所以，因為平面平面，平面、平面，分別與平面交于直線、，與平面交于直線、，所以，，則四邊形為平行四邊形，.又因為，所以點M，F，E，N分別為棱，，，的中點在中，，由平面平面得，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，設為h，在平行四邊形AGHQ中，，則，即兩個截面間的距離為2.故答案為：2．【變式1-2】如圖，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為正方形，且側棱與底面垂直，點O1為A1C1，B1D1的交點，點O2為AC，BD的交點，連接O1O2，點O為O1O2的中點．過點O且與直線AB平行的平面截這個四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為（）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】當截面平行于平面時，截面面積最小；當截面為平面時，截面面積最大.根據題設條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積．【詳解】由題意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，設正四棱柱的底面邊長為a，高為h因為過點O且與直線AB平行的平面截這個四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，可知當截面平行于平面時，截面面積最小；當截面為平面時，截面面積最大.。所以，解得，于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為2a2+4ah＝2+12＝14。故選：D【變式1-3】.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則下列結論正確的是（）A．直線DB1與平面AEF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．三棱錐A1?AEF的體積等于【答案】BD【分析】對于A，B，利用空間向量判斷，對于C，由題意可得截面為梯形，利用梯形面積公式求解即可，對于D，利用空間向量求出到平面的距離，然后利用體積公式求解即可【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，所以，，所以，所以與不垂直，所以直線DB1與平面AEF不垂直，所以A錯誤，對于B，設平面的法向量為，則，令，則，因為，所以，所以，因為A1G在平面AEF外，所以直線A1G與平面AEF平行，所以B正確，對于C，由題意可得截面為梯形，則，梯形的高為，所以截面的面積為，所以C錯誤，對于D，因為平面的法向量為，，所以到平面的距離為，因為，所以，因為，所以，所以，所以三棱錐A1?AEF的體積為，所以D正確，故選：BD.題型14恒垂直型求截面【解題攻略】證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面），解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經計算滿足勾股定理）、直角梯形等等．【典例1-1】已知正方體的棱長為1，E為線段上的點，過點E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.【答案】【分析】由題可得平面，故截面與平面平行或在平面內，然后分類討論，作出截面計算周長即得.【詳解】由正方體的性質可得，AC⊥BD，AC⊥，，∴AC⊥平面，平面，∴AC⊥，同理，又，∴平面，故截面與平面平行或在平面內，當點E與或重合時，截面為正或正，周長為；一般地，設，則，∴，，∴，同理可得：，，故截面圖形的周長為定值.故答案為：.【典例1-2】已知直三棱柱的側棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.【詳解】如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，，為的中點，則，平面，平面，，，平面，、分別為、的中點，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設平面交于點，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，設平面平面，平面，所以，，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點，延長交于點，，所以，，，又，所以，，，為的中點，因為平面平面，平面平面，平面平面，，，，，，為的中點，，，則，為的中點，，則，同理，因為直棱柱的棱長為，為的中點，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分別為、的中點，則，，由勾股定理可得，同理.因此，截面的周長為.故選：C.【變式1-1】如圖，正三棱柱的高為4，底面邊長為，D是的中點，P是線段上的動點，過BC作截面于E，則三棱錐體積的最小值為（

）A．3 B． C． D．12【答案】C【解析】因為則當取最大值時，三棱錐體積有最小值，建立坐標系求得當點的高為3時，問題得解.【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設點，依題意得，則，因為過BC作截面于E，所以則，故所以，當時又因為所以三棱錐體積的最小值故選：C【變式1-2】在下面四個正方體中，點、、均為所在棱的中點，過、、作正方體截面，則下列圖形中，平面不與直線垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷BCD選項，利用假設法推出矛盾，可判斷A選項.【詳解】對于A選項，連接，假設平面，在正方體中，平面，平面，，所以，為直角三角形，且為銳角，因為、分別為、的中點，則，所以，與不垂直，這與平面矛盾，故假設不成立，即與平面不垂直；對于B選項，連接、，如下圖所示：因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，，、分別為、的中點，則，可得，同理可證，，平面；對于C選項，連接、、、、，取的中點，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，，、分別為、的中點，，，在正方形中，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，易得，所以，四邊形為菱形，所以，，，平面；對于D選項，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，，、分別為、的中點，則，，同理可證，，平面.故選：A.【變式1-3】已知正方體的邊長為，為邊上靠近的三等分點，過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接、、、、，證明出平面，設過點且與直線垂直的平面分別交、于點、，可得出平面平面，推導出是邊長為的等邊三角形，利用等邊三角形的面積公式即可得解.【詳解】連接、、、、，如下圖所示：四邊形為正方形，，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，，平面，設過點且與直線垂直的平面分別交、于點、，平面，平面，所以，平面平面，平面平面，平面平面，，，，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，所以，是邊長為的等邊三角形，所以，.故選：A.題型15動點型截面【典例1-1】（2023上·北京海淀·高三北京交通大學附屬中學校考）如圖，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個動點，給出下列四個結論：①三棱錐的體積為定值；②存在點使得平面：③的最小值為；④對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得平面；⑤M是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為其中正確結論的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】對于①，，底面積和高均為定值，可判斷；對②，若存在點，使得平面，可得，易找出矛盾；對③，將側面與側面展開鋪平可求解；對④，當點在點時，不存在點符合要求；對⑤，推導出，由余弦定理、三角形面積公式，結合二次函數的最值求出結果.【詳解】對于①，，顯然是定值，因為平面，所以是定值，所以三棱錐的體積是定值，①正確；對于②，若存在點，使得平面，又平面，可得，所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯誤；對于③，如圖，將側面與側面展開鋪平，則的最小值，③錯誤；對于④，當點在點時，平面即是平面，此時與平面相交，故不存在點符合要求，④錯誤；對于⑤，如圖，在正方體中，可得，，且，是平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，，因為是上的動點，且過點的截面垂直，所以截面過點，截面交與，交于，設，則，，在中，可得，，則該截面的面積為，因為，所以當時，，此時，分別是和的中點，當是中點時，，即，所以平面，滿足題意，⑤正確.故選：A.【典例1-2】（2023下·北京密云·高三統考）如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列四個結論，其中正確的是（

）

A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得平面C．是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為D．對每一個點，在棱上總存在一點，使得平面【答案】C【分析】對于A，由得平面，從而點到平面的距離為，再由，由此能求出三棱錐的體積；對于B，若存在點，使得平面，由平面，得，可得，與矛盾；當點與點重合時，利用線面垂直的判定定理可證得平面；對于C，推導出，由余弦定理、三角形面積公式，結合二次函數的最值求出結果；對于D，當與點重合時，無論點在何位置，直線與平面相交.【詳解】對于A，如圖，在棱長為1的正方體中，平面平面，平面，點是棱上的一個動點，點到平面的距離為，又，三棱錐的體積，故A錯誤；對于B，若存在點，使得平面，由平面，得，則為正方形，，與矛盾，故B錯誤；對于C，根據題意，過點的截面與棱分別交于，可得為平行四邊形，如圖，正方體中，平面，平面，，設，則，又，則中，，，則該截面面積，，當時，，故C正確；對于D，當與點重合時，無論點在何位置，直線與平面相交，故D錯誤；故選：C．【變式1-1】（2023·河南·校聯考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個動點（不包含邊界），若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】找到的軌跡為，的最小值為到的距離，由垂直關系求出答案.【詳解】若，則在平面上的投影在上，所以的軌跡為，

的最小值為到的距離，連接，過點作于點，因為，且，所以，故的最小值為.故選：C【變式1-2】（2023·河南·校聯考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，M是截面上的一個動點（不包含邊界），，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷出點的軌跡，然后根據平面中，兩點的距離求得的最小值.【詳解】連接，如下圖所示，由于，所以在平面上的投影在上，而在平面上的投影為，所以M的軌跡為，將平面翻折到與平面重合，如圖所示，，，，所以，所以，（翻折后），所以的最小值為．故選：C【變式1-3】（2023·江西·統考模擬預測）如圖，直三棱柱中，，點分別是棱的中點，點在棱上，且，截面內的動點滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】設點在平面內的投影為、點在線段上且，根據題意和線面垂直的判定定理與性質可知點的軌跡是正方形的對角線，將與展開，如圖，則的最小值是，結合余弦定理計算即可求解.【詳解】由題意知，，，又平面，所以平面.設點在平面內的投影為，則點在線段上，且，即，所以，設點在線段上，且，則四邊形是一個正方形，點的軌跡是其對角線.將與展開到一個面內，得到如圖圖形，因此的最小值是，由余弦定理，得，所以.故選：C.高考練場1.．用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形.【詳解】3如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，3因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，不可能為七邊形，故選:D.2.棱長為6的正方體中，點E是線段的中點，點F在線段上，，則正方體被平面所截得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】延長交直線AF于Q，連接EQ交于N，得N是的中點，延長直線EN于P，連接AP交于M，作出截面AFNEM，利用即可求解面積.【詳解】延長交直線AF于Q，因為,所以,連接EQ交于N，得N是的中點，延長直線EN于P，連接AP交于M，作出截面AFNEM如下圖所示，則中，，故的面積=，四邊形ENFM中，，高為四邊形ENFM的面積。，故所求截面面積為.故選:B.3.在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，則過點B，P，Q的截面形狀是______.【答案】菱形【分析】取中點，證明四邊形是截面，確定其形狀后可得．【詳解】連接，取中點，連接，則在正方體中，，所以是平行四邊形，與平行且相等，同樣由與平行且相等得是平行四邊形，與平行且相等，從而與平行且相等，所以是平行四邊形，這就是過點B，P，Q的截面，又，因此四邊形是菱形．故答案為：菱形．4.已知正方體的棱長為1，點分別為的中點，則過點的截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用線面平行的判定和性質作兩面交線，由此能求出結果．【詳解】由EF∥BC1，知過點的截面為等腰梯形∵正方體的棱長為1，∴截面周長為：EF+FB+BC1+C1E＝故選：A．5.在正方體中，，E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】先作出平面截正方體的截面，再求出截面的高，由梯形面積公式得出截面面積.【詳解】取的中點為M，連接EM，，則，且，則．又正方體中，，所以，，因此，所以平面截正方體所的截面為等腰梯形，因此該等腰梯形的高為，所以該截面的面積為故選：D．6.如圖，棱錐的高，截面平行于底面，與截面交于點，且.若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為（

）A．12 B．16 C．4 D．8【答案】C【解析】根據高的比可得四邊形與四邊形相似比,結合與面積比的關系即可得解.【詳解】由題意可知,四邊形與四邊形相似,則四邊形與四邊形的相似比為根據相似比與面積比關系可得四邊形的面積為.故選:C7.（2022上·遼寧沈陽·高三階段練習）棱臺上下底面面積分