PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第2課時直線和雙曲線【核心考點·分類突破】考點一直線與雙曲線的位置關系[例1](1)(一題多法)直線3x-4y=0與雙曲線y29-x2A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.方法一:聯立直線3x-4y=0與雙曲線y29-x216=1的方程,y29方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以雙曲線的漸近線方程為3因為直線3x-4y=0是雙曲線y29-x(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C的漸近線方程為y=±bax,結合漸近線的特點,只需0<ba≤2,即b2a2≤4,可滿足條件“直線y=2x與C無公共點”,所以e=ca=答案:2(答案不唯一,滿足1<e≤5皆可)解題技法直線與雙曲線位置關系的判斷方法(1)聯立方程,消元化為關于x(或y)的一元方程;(2)討論最高次數項系數是否為零求解;(3)依據方程解的個數,判斷交點的個數.設直線l:y=kx+m,雙曲線x2a2-y2b聯立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0時,-ba<k<bk≥ba,k≤-ba,或②m≠0時,若b2-a2k2=0,k=±ba若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直線與雙曲線相交于2點;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直線與雙曲線相切于1點;Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直線與雙曲線相離.對點訓練1.(2024·哈爾濱模擬)雙曲線x29-y24=1與直線y=-23x+m(mA.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】選C.因為雙曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=±23x,所以,當m=0時,直線l:y=-23當m≠0時,直線l與雙曲線的一條漸近線平行,此時直線l與雙曲線有一個交點.2.(2024·南通模擬)已知雙曲線x2-y2a2=1,若過點(2,2)能作該雙曲線的兩條切線,則該雙曲線離心率e【解析】過(2,2)能作兩條切線說明該點在雙曲線外部,故4-4a2<1,故a2<所以e2=1+a2<73,所以e<213,又點不在該雙曲線漸近線上,故a≠1,即e≠綜上,e∈(1,2)∪(2,213)答案:(1,2)∪(2,213【加練備選】(2024·吉林模擬)已知直線L:y=12x+m與曲線C:y=12|4-A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】選C.由題意得曲線C:y=12|4-x2|,即2y=|4-當4-x2≥0時得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);當4-x2<0時得到x24-y由以上可得曲線C的圖象如圖所示,易知直線L:y=12x+m與雙曲線x24-y2=1的一條漸近線y=把直線y=12x即y=12x+1與曲線C有兩個交點,此時m繼續向上平移至與半橢圓相切前有3個交點.當直線與橢圓的上半部分相切時,聯立直線與橢圓的方程y=12x+mx24+y2=1代入整理得2x2+4mx+4m2-4=0,Δ=16m2-8(4綜上可知1<m<2.考點二直線與雙曲線相交的有關問題考情提示直線與雙曲線相交問題是近幾年高考命題的熱點,它常與函數、方程、不等式相結合考查弦長、中點弦等內容.角度1弦長問題[例2](1)若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x+2)2+y2=4所截得的弦長為2A.3 B.233 C.2 D【解析】選B.由題意,雙曲線C的一條漸近線方程為bx-ay=0,又由圓(x+2)2+y2=4的圓心為(-2,0),半徑為r=2,因為一條漸近線被圓(x+2)2+y2=4所截得的弦長為23,可得(|-2b|a2+b2)2+(3)2=4,所以a2=3b2,即a所以e=ca=2(2)(2024·寶雞模擬)設動點P(x,y)與點F(10,0)之間的距離和點P到直線l:x=102的距離的比值為2,記點P的軌跡為曲線①求曲線C的方程;【解析】①由動點P(x,y)與點F(10,0)之間的距離和點P到直線l:x=102的距離的比值為2可得(x-10)2+y即曲線C的方程為x25-y②若O為坐標原點,直線y=12x+1交曲線C于A,B兩點,求△OAB的面積【解析】②聯立方程組y=12x+1x設A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×又由點O到直線y=12x+1的距離d=11+14=25=12|AB|·d=12×2953×角度2中點弦問題[例3]已知雙曲線方程為2x2-y2=2,則以點A(2,3)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為()A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0【解析】選A.設以點A(2,3)為中點的雙曲線的弦的端點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),可得2x12-y12=2,2x22-y22=2,相減可得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),且x1+x則弦所在直線的斜率k=y1-y2x1-x2=2(x1+x2)解題技法1.解決直線與雙曲線相交有關問題的解題策略(1)解決弦長問題,可聯立直線與雙曲線方程,消元轉化為關于x(或y)的一元方程,利用弦長公式即可求解;(2)解決中點弦問題,常常采用點差法求解,但一定要注意直線是否與雙曲線相交的判斷.2.相交弦AB的弦長公式AB=1+k2x或AB=1+1k2對點訓練1.(2023·全國乙卷)設A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】選D.設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點M(x1+x可得kAB=y1-y2x1-因為A,B在雙曲線上,則x1兩式相減得(x12-x22)-y12-y2對于選項A:可得k=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯立方程y=9消去y得72x2-2×72x+73=0,此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤;對于選項B:可得k=-2,kAB=-92則AB:y=-92x-52,聯立得方程組消去y得45x2+2×45x+61=0,此時Δ=(2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故B錯誤;對于選項C:可得k=3,kAB=3,則AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤;對于選項D:k=4,kAB=94,則AB:y=94x-聯立得方程組y=94x-74x2-y29=1,消去2.已知焦點在x軸上的雙曲線Γ經過點M(6,2),N(-23,-6).(1)求雙曲線Γ的離心率e;【解析】(1)設雙曲線Γ的方程為x2a2-y2b2=1(解得b2=2a2=3,所以c2=a2+b2=5,e(2)若直線l:y=33x-1與雙曲線Γ交于A,B兩點,求弦長|AB|【解析】(2)由(1)得雙曲線Γ的方程為x23-設A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,|AB|=(1+k2故弦長|AB|為8.考點三雙曲線的綜合問題[例4](多選題)(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,以F2為圓心,4為半徑的圓與C的一條漸近線切于點P,過F1的直線l與C交于A,B兩個不同的點,若C的離心率A.|PF1|=213B.|AB|的最小值為32C.若|AF2|=7,則|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,則直線l的斜率k∈(-∞,-43)∪(4【解析】選ACD.對于A選項,設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=bax,即bx-ay=0,則F2(c,0)到直線bx因為以F2為圓心的圓與l相切于點P,所以|PF2|=b=4,因為e=53,即ca=53,則c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=4在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|所以|PF1|=213,故A正確;對于B選項,當直線l的斜率為0時,A,B兩點分別為雙曲線的頂點,則|AB|=2a=6,又因為6<323,即|AB|的最小值不可能為32對于C選項,因為|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正確;對于D選項,當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x+5),設點A(x1,y1),B(x2,y2),聯立y=k(x+5)x29-y216=1,可得(16-9k2)所以16-解得k<-43或k>43解題技法雙曲線的綜合問題(1)當與圓、橢圓有關時,常常結合圓、橢圓的方程或性質,構造函數解決問題;(2)當與直線有關時,常常聯立直線與雙曲線的方程,消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數的關系構造相關數量關系求解.(3)當與向量知識結合時,注意運用向量的坐標運算,將向量間的關系轉化為點的坐標問題,再根據根與系數的關系,將所求問題與條件建立聯系求解.對點訓練(多選題)(2024·玉溪模擬)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點相同,雙曲線E的左右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線與雙曲線E的右支交于P,Q兩點,PF1與y軸相交于點A,△PAF2A.雙曲線E的離心率為2B.雙曲線E的方程為x2-y2C.若PF1⊥PF2,則△PAF2的內切圓面積為3πD.過點(1,1)與雙曲線E有且僅有一個交點的直線有3條【解析】選ACD.如圖,設PF1,PF2與△PAF2的內切圓分別相切于M,N兩點,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因為2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點相同,所以c2=b2+所以雙曲線E的方程為x2-y2對于C,若PF1⊥PF2,設|PF2|=m,則|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|解得|PM|=4-73,即內切圓的半徑為r則△PAF2的內切圓面積為4-對于D,當過點(1,1)的直線與x軸垂