專題6.2一次函數的圖象與性質（一）【十大題型】 【蘇科版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數的概念辨析】 1【題型2待定系數法求一次函數解析式】 2【題型3一次函數圖象上點的坐標特征】 2【題型4一次函數解析式與三角形面積問題】 2【題型5根據實際問題列一次函數解析式】 3【題型6判斷一次函數的圖象】 5【題型7判斷一次函數的增減性或經過的象限】 7【題型8根據一次函數的性質求參數的范圍】 7【題型9根據一次函數的增減性求自變量的變化情況】 8【題型10根據一次函數的增減性比較函數值大小】 8【知識點1一次函數和正比例函數的概念】一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。【題型1一次函數的概念辨析】【例1】（2023春·山東菏澤·八年級統考期末）下列函數中，是一次函數但不是正比例函數的是（

）A．y=?x2 B．y=?2x C．【變式1-1】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）若函數y=a?2xa?1+4A．?2 B．±2 C．2 D．0【變式1-2】（2023春·全國·八年級期中）在下列函數中，x是自變量，y是因變量，則一次函數有，正比例函數有．（將代號填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x【變式1-3】（2023春·廣東東莞·八年級校考期中）已知函數y=k?2(1)若該函數是一次函數，求k的取值范圍．(2)若該函數是正比例函數，求k的值．【知識點2正比例函數和一次函數解析式的確定】確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。【題型2待定系數法求一次函數解析式】【例2】（2023春·河南新鄉·八年級統考期中）已知y與x+3成正比例，且當x=1時，y=?8．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)設點(m，2)在（1）中函數的圖象上，求【變式2-1】（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）已知一次函數的圖象過點(6,?4)與(12,4)．(1)求這個一次函數的解析式；(2)直接寫出這個一次函數的圖象與兩坐標軸的交點坐標．【變式2-2】（2023春·江蘇南通·八年級校考期中）若y?2與2x+3成正比例，且當x=1時，y=12．(1)求y與x的函數解析式．(2)求當y=4時，x的值．【變式2-3】（2023春·江蘇南通·八年級統考期末）在平面直角坐標系中有A?1,4，B?3,2，(1)求過A，B兩點的直線的函數解析式；(2)判斷A，B，C三點是否在同一條直線上？并說明理由．【題型3一次函數圖象上點的坐標特征】【例3】（2023春·山西長治·八年級校考期中）如果點P2,k在直線y=?2x+2上，那么點P到x軸的距離為（

A．?2 B．2 C．?4 D．4【變式3-1】（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）下面哪個點在函數y=?3x+4的圖象上（

）A．5,13 B．?1,1 C．3,0 D．1,1【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）已知點P(a?2,b)在一次函數y=3x?2的圖像上，則10?3a+b=．【變式3-3】（2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考期末）一次函數y=kx+k圖象一定經過點（

）A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．?1,0【題型4一次函數解析式與三角形面積問題】【例4】（2023春·江蘇南通·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（6，4）．若直線l經過點（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數解析式是（）A．y＝x+1 B．y=13x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝【變式4-1】（2023春·湖南長沙·八年級校聯考期中）一次函數經過點1，2、點(1)求這個一次函數的解析式；(2)求這個一次函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【變式4-2】（2023春·江西上饒·八年級統考期末）一次函數的圖象經過點A?3,5和B(1)求出該一次函數的表達式；(2)若直線AB與x軸交于點C，求△AOC的面積．【變式4-3】（2023春·山東聊城·八年級統考期末）把8個邊長為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標系中，經過原點O的直線l將這8個正方形分成面積相等的兩部分，則該直線的函數表達式是（

）A．y=910x B．y=109x【題型5根據實際問題列一次函數解析式】【例5】（2023春·廣東佛山·八年級佛山市華英學校校考期中）在某一階段，某商品的銷售量與銷售價之間存在如表關系：銷售價/元90100110120130140銷售量/件908070605040設該商品的銷售價為x元，銷售量為y件，估計：當x=115時，y的值為（

）A．85 B．75 C．65 D．55【變式5-1】（2023春·山東東營·八年級東營市東營區實驗中學校考期末）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/時，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數關系及自變量的取值范圍是（）A．S=120?30t0≤t≤4 B．C．S=120?30tt>0 D．【變式5-2】（2023春·貴州貴陽·八年級統考期中）甲、乙兩地相距120km，現有一列火車從乙地出發，以80km/h的速度向甲地行駛．設x（h）表示火車行駛的時間，y（km）表示火車與甲地的距離．（1）寫出y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數；（2）當x=0.5時，求y的值．【變式5-3】（2023春·云南文山·八年級期末）藝術節前夕，為了增添節日氣氛，某校決定采購大小兩種型號的氣球裝扮活動場地，計劃購買4盒大氣球，x盒小氣球（x>4）．A、B兩個商場中，兩種型號的氣球原價一樣，都是大氣球50元/盒，小氣球10元/盒，但給出了不同的優惠方案：A商場：買一盒大氣球，送一盒小氣球；B商場：一律九折優惠；（1）分別寫出在兩個商場購買時需要的花費y（元）與x（盒）之間的關系式；（2）如果學校最終決定購買10盒小氣球，那么選擇在哪個商場購買比較合算？【知識點3一次函數與正比例函數的圖象與性質】1、正比例函數的圖象與性質解析式y=kx自變量取值范圍全體實數圖象形狀過原點的一條直線k的取值k>0k<0示意圖位置經過一、三象限經過二、四象限趨勢從左向右上升從左向右下降函數增減性y隨x的增大而增大，即：當x1>y隨x的增大而減小即：當x1>2、一次函數的圖象與性質解析式y=kx+b自變量取值范圍全體實數圖象形狀過0，b和?bk、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0示意圖位置經過一、二、三象限經過一、三、四象限經過一、二、四象限經過二、三、四象限趨勢從左向右上升從左向右下降函數增減性y隨x的增大而增大，即：當x1>y隨x的增大而減小即：當x1>3、截距定義直線y=kx+b與y軸相交于（0，b）,b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡稱截距舉例直線y=?2x?3的截距是?3【題型6判斷一次函數的圖象】【例6】（2023春·湖南懷化·八年級統考期末）一次函數y=kx?k（k為常數，k≠0）與正比例函數y=?kx的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【變式6-1】（2023春·重慶榮昌·八年級統考期末）已知函數y=kx的圖象如圖所示，那么函數y=kx?k的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式6-2】（2023春·山東濟南·八年級統考期末）已知點k,b在第四象限內，則一次函數y=?kx+b的圖象大致是（

）A． B． C． D．【變式6-3】（2023春·河北承德·八年級統考期末）在同一平面直角坐標系中，函數y=ax?b和y=bx+a的圖象可能是（

）A． B． C． D．【題型7判斷一次函數的增減性或經過的象限】【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級統考期末）一次函數y=kx+bk≠0中，y隨x的增大而減小，b<0，則這個函數的圖象不經過第【變式7-1】（2023春·山東威海·八年級統考期末）關于一次函數y=?3x?2，下列說法錯誤的是（

）A．函數圖像與y軸的交點坐標為0,?2B．函數圖像經過二、三、四象限C．函數圖像與x軸的交點在x軸的負半軸D．y的值隨x的值的增大而增大【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級期末）一次函數y=kx+b（k，b為常數）的圖像經過點P（－2，－1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級統考期末）關于一次函數y=(k?1)x+1?k，下列說法：①當k>1時，圖象從左向右上升，y隨x的增大而增大；②當k<1時，圖象經過第二、三、四象限；③函數圖象一定過點(1,0)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【題型8根據一次函數的性質求參數的范圍】【例8】（2023春·湖南永州·八年級校考期中）已知一次函數y=(m+2)x+(m?3)，若y隨x的增大而增大，且此函數圖象與y軸的交點在x軸下方，則m的取值范圍是．【變式8-1】（2023春·江西九江·八年級統考期中）若一次函數y=kx?4的函數值y隨x的增大而增大，則k的值可能是（

）A．3 B．-12 C．-4 D．0【變式8-2】（2023春·湖北咸寧·八年級統考期末）已知A(x1,y1)，B(x2,【變式8-3】（2023春·福建福州·八年級校考期中）若點（x1，y1）、（x2，y2）是一次函數y＝ax+2圖象上不同的兩點，記m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），當m＜0時，a的取值范圍是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1【題型9根據一次函數的增減性求自變量的變化情況】【例9】（2023春·浙江湖州·八年級統考期末）已知點A2，y1和點Ba，yA．?3 B．?2 C．1 D．3【變式9-1】（2023春·陜西西安·八年級統考期末）已知點x1,?5x2,2都在直線y=?2x+b上，則xA．x1>x2 B．x1【變式9-2】（2023春·湖南邵陽·八年級統考期末）在平面直角坐標系中，已知點Ax1,22，點Bx2,1A．x1>x2 B．x1<【變式9-3】（2023春·湖北恩施·八年級統考期末）已知點Am,2,Bn,?3在一次函數y=?k2?1x+b的圖象上，則【題型10根據一次函數的增減性比較函數值大小】【例10】（2023春·全國·八年級期末）已知點Ax1,y1，Bx2,y2，CxA．y1>y2>y3 B．【變式10-1】（2023春·河南安陽·八年級統考期末）已知，一次函數y=?1專題6.2一次函數的圖象與性質（一）【十大題型】 【蘇科版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數的概念辨析】 1【題型2待定系數法求一次函數解析式】 3【題型3一次函數圖象上點的坐標特征】 6【題型4一次函數解析式與三角形面積問題】 7【題型5根據實際問題列一次函數解析式】 11【題型6判斷一次函數的圖象】 15【題型7判斷一次函數的增減性或經過的象限】 18【題型8根據一次函數的性質求參數的范圍】 20【題型9根據一次函數的增減性求自變量的變化情況】 21【題型10根據一次函數的增減性比較函數值大小】 23【知識點1一次函數和正比例函數的概念】一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。【題型1一次函數的概念辨析】【例1】（2023春·山東菏澤·八年級統考期末）下列函數中，是一次函數但不是正比例函數的是（

）A．y=?x2 B．y=?2x C．【答案】C【分析】根據一次函數和正比例函數的概念解答即可．【詳解】解：A．是一次函數，也是正比例函數，故選項不符合題意；B．不是一次函數，故選項不符合題意；C．是一次函數，但不是正比例函數，故選項符合題意；D．不是一次函數，故選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查一次函數和正比例函數的概念：若兩個變量x和y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）；一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如y=kx（k為常數，且k≠0）的函數，那么y就叫做x的正比例函數．【變式1-1】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）若函數y=a?2xa?1+4A．?2 B．±2 C．2 D．0【答案】A【分析】根據一次函數y=kx+b的定義可知，k、b為常數，k≠0，自變量的次數為1，即可求解．【詳解】解：∵y=a?2xa∴a?1=1，且∴a=2，且∴a=±2且a≠2，∴a=?2．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義和性質是解題的關鍵．【變式1-2】（2023春·全國·八年級期中）在下列函數中，x是自變量，y是因變量，則一次函數有，正比例函數有．（將代號填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x【答案】①③④③【分析】根據一次函數及正比例函數的定義，即可一一判定．【詳解】解：①y=3②y=x③y=5x是正比例函數，因為正比例函數一定是一次函數，所以還是一次函數；④y=1?4x是一次函數；⑤y=1故答案為：①③④，③．【點睛】本題考查了一次函數及正比例函數的定義，熟知正比例函數是一次函數的特例是解決本題的關鍵．【變式1-3】（2023春·廣東東莞·八年級校考期中）已知函數y=k?2(1)若該函數是一次函數，求k的取值范圍．(2)若該函數是正比例函數，求k的值．【答案】(1)k≠2(2)k=?2【分析】（1）根據一次函數的定義，即可進行解答；（2）根據正比例函數的定義，即可進行解答．【詳解】（1）解：∵函數y=k?2∴k?2≠0，解得：k≠2；（2）解：∵函數y=k?2∴k?2≠0k解得：k=?2．【點睛】本題主要考查了一次函數和正比例函數的定義，解題的關鍵是掌握一般形如y=kx+b的是一次函數（k，b是常數，k≠0），其中x是自變量，y是因變量．形如y=kx的是正比例函數k≠0，其中x是自變量，y是因變量．【知識點2正比例函數和一次函數解析式的確定】確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。【題型2待定系數法求一次函數解析式】【例2】（2023春·河南新鄉·八年級統考期中）已知y與x+3成正比例，且當x=1時，y=?8．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)設點(m，2)在（1）中函數的圖象上，求【答案】(1)y=?2x?6(2)?4【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；（2）把點Mm,2【詳解】（1）解：根據題意：設y與x之間的函數解析式為y=kx+3把x=1，y=?8代入得：?8=k1+3解得：k=?2．則y與x函數關系式為y=?2x+3即y與x之間的函數解析式為y=?2x?6；（2）解：把點Mm,2代入y=?2x?6得：2=?2m?6，解得m=?4．【點睛】本題考查了正比例函數、待定系數法求一次函數的表達式、一次函數圖象與函數關系式；其中熟練運用待定系數法求參數的值，是解決本題的關鍵．【變式2-1】（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）已知一次函數的圖象過點(6,?4)與(12,4)．(1)求這個一次函數的解析式；(2)直接寫出這個一次函數的圖象與兩坐標軸的交點坐標．【答案】(1)y=(2)(9,0)，(0,?12)【分析】（1）設出一次函數的解析式是y=kx+b，然后把經過的點的坐標代入，求解得到k、b的值即可得解；（2）根據一次函數的解析式即可求出圖象與兩坐標軸的交點坐標．【詳解】（1）設一次函數為y=kx+b，∵一次函數的圖象過點(6,?4)與(12,4)，∴6k+b=?412k+b=4解得k=4∴所求的解析式為y=4（2）令x=0，則y=?12，令y=0，則43x?12=0，解得∴這個一次函數的圖象與兩坐標軸的交點為(9,0)，(0,?12)．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特點，待定系數法是求函數解析式常用的方法之一，需要熟練掌握．【變式2-2】（2023春·江蘇南通·八年級校考期中）若y?2與2x+3成正比例，且當x=1時，y=12．(1)求y與x的函數解析式．(2)求當y=4時，x的值．【答案】(1)y=4x+8(2)x【分析】（1）設y?2=k2x+3，把x=1，y=12代入可得k=2（2）把y=4代入函數解析式求解x即可．【詳解】（1）解：設y?2=k2x+3把x=1，y=12代入得12?2=5k，解得k=2，所以y?2=22x+3所以y與x之間的函數關系式為y=4x+8；（2）當y=4時，4x+8=4，解答x=?1．【點睛】本題考查的是成正比例的含義，利用待定系數法求解函數解析式，求解函數自變量的值，理解成正比例的含義是解本題的關鍵．【變式2-3】（2023春·江蘇南通·八年級統考期末）在平面直角坐標系中有A?1,4，B?3,2，(1)求過A，B兩點的直線的函數解析式；(2)判斷A，B，C三點是否在同一條直線上？并說明理由．【答案】(1)y=x+5(2)A，B，C三點在同一條直線上，詳見解析【分析】（1）根據點A、B坐標，利用待定系數法求解函數解析式即可；（2）將點C坐標代入（1）中解析式中，判定是否符合函數解析式即可作出判斷．【詳解】（1）解：設過A，B兩點的直線的函數解析式y=kx+b，則?k+b=4?3k+b=2，解得k=1∴直線AB的函數解析式為y=x+5（2）解：A，B，C三點在同一條直線上，理由：當x=0時，y=5，∴點C0,5在直線AB即A，B，C三點在同一條直線上．【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式、判定點是否在直線上，熟練掌握一次函數圖象上的點的坐標特征是解答的關鍵．【題型3一次函數圖象上點的坐標特征】【例3】（2023春·山西長治·八年級校考期中）如果點P2,k在直線y=?2x+2上，那么點P到x軸的距離為（

A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】把點P2,k代入直線y=?2x+2求出k，即可點P到x【詳解】解：把點P2,k代入直線y=?2x+2k=?2×2+2=?2，∴點P到x軸的距離為|?2|=2．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數圖像上點的坐標特征，準確分析計算是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）下面哪個點在函數y=?3x+4的圖象上（

）A．5,13 B．?1,1 C．3,0 D．1,1【答案】A【分析】將點的橫坐標代入解析式，進行求解后判斷即可．【詳解】解：A、當x=5時，y=?3×5+4=?11，故5,13不在函數圖象上；B、當x=?1時，y=?3×?1+4=7，故C、當x=3時，y=?3×3+4=?5，故3,0不在函數圖象上；D、當x=1時，y=?3×1+4=1，故1,1在函數圖象上；故選D．【點睛】本題考查一次函數圖象上的點的特征．熟練掌握一次函數圖象上的點的橫縱坐標滿足函數解析式，是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）已知點P(a?2,b)在一次函數y=3x?2的圖像上，則10?3a+b=．【答案】2【分析】將點P(a?2,b)代入一次函數y=3x?2中即可得出結果．【詳解】∵點P(a?2,b)在一次函數y=3x?2的圖象上，∴b=解得3a?b=810?3a+b=10?8=2．故答案為：2．【點睛】本題考查一次函數圖像上點的坐標特點．熟練掌握整體代入是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考期末）一次函數y=kx+k圖象一定經過點（

）A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．?1,0【答案】A【分析】當x=?1時，y=0，由此解答即可．【詳解】解：y=kx+k=kx+1當x=?1時，y=0，∴一次函數y=kx+k圖象一定經過點?1,0．故選：D．【點睛】此題主要考查了一次函數圖象上的點，解答此題的關鍵是理解一次函數圖象上的點都滿足一次函數的解析式，滿足一次函數解析式的點都在一次函數的圖象上．【題型4一次函數解析式與三角形面積問題】【例4】（2023春·江蘇南通·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（6，4）．若直線l經過點（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數解析式是（）A．y＝x+1 B．y=13x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝【答案】A【分析】首先根據條件l經過點D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，求出E點坐標，然后設出函數關系式，再利用待定系數法把D，E兩點坐標代入函數解析式，可得到答案．【詳解】解：設D（1，0），∵線l經過點D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，∴OD＝BE＝1，∵頂點B的坐標為（6，4）．∴E（5，4）設直線l的函數解析式是y＝kx+b，∵圖象過D（1，0），E（5，4），∴k+b=05k+b=4解得：k=1∴直線l的函數解析式是y＝x﹣1．故選D．【點睛】此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是求出E點坐標．【變式4-1】（2023春·湖南長沙·八年級校聯考期中）一次函數經過點1，2、點(1)求這個一次函數的解析式；(2)求這個一次函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)y=?2x+4(2)4【分析】（1）利用待定系數法，求一次函數解析式即可；（2）先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后再求出三角形的面積即可．【詳解】（1）解：設這個一次函數的解析式為y=kx+b，將點1，2，k+b=2?k+b=6解得k=?2b=4∴這個一次函數的解析式為y=?2x+4；（2）解：設這個一次函數與x軸交于點A，與y軸交于點B，把y=0代入得?2x+4=0，解得：x=2，把x=0代入得：y=4，∴A2,0，B∴S△AOB【點睛】本題主要考查了求一次函數解析式，一次函數圖象與坐標軸圍成的圖形面積，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法．【變式4-2】（2023春·江西上饒·八年級統考期末）一次函數的圖象經過點A?3,5和B(1)求出該一次函數的表達式；(2)若直線AB與x軸交于點C，求△AOC的面積．【答案】(1)y=?x+2(2)5【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）先求出點C的坐標，再根據三角形的面積公式求解．【詳解】（1）設一次函數解析式為y=kx+b，∵圖象經過A?3,5，B∴5=?3k+b2=b解得：k=?1，b=2

∴一次函數解析式為y=?x+2；（2）當y=0時，0=?x+2，∴x=2，∴C2,0∴S△AOC答：△AOC的面積為5．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，以及三角形的面積，熟練掌握待定系數法是解答本題的關鍵．【變式4-3】（2023春·山東聊城·八年級統考期末）把8個邊長為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標系中，經過原點O的直線l將這8個正方形分成面積相等的兩部分，則該直線的函數表達式是（

）A．y=910x B．y=109x【答案】A【分析】設直線l和八個正方形的最上面交點為A，過A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標即可得到該直線l的解析式．【詳解】解：如圖，設直線l和八個正方形的最上面交點為A，過A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，∵經過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，∴S△AOB而OB＝3，∴12ABAB＝103∴A點坐標為（103設直線方程為y＝kx，則3＝103k∴k＝910∴直線l解析式為y＝910x故選：A．【點睛】此題考查了面積相等問題、用待定系數法求一次函數的解析式，此題難度較大，解題的關鍵是作AB⊥y軸，作AC⊥x軸，根據題意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面積公式求出AB的長．【題型5根據實際問題列一次函數解析式】【例5】（2023春·廣東佛山·八年級佛山市華英學校校考期中）在某一階段，某商品的銷售量與銷售價之間存在如表關系：銷售價/元90100110120130140銷售量/件908070605040設該商品的銷售價為x元，銷售量為y件，估計：當x=115時，y的值為（

）A．85 B．75 C．65 D．55【答案】C【分析】該商品的銷售價每增加10元，銷售量就減少10件，所以可以分析出銷售量y與銷售價x符合一次函數關系，再設出函數解析式，代入表格中的數據求出解析式，再把x＝115代入求y的值即可．【詳解】解：由圖表可以看出y與x符合一次函數關系，設y＝kx＋b（k≠0），把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，90k+b=90100k+b=80，解得：k=?1則y＝?x＋180，當x＝115時，y＝?115＋180＝65．故選：C．【點睛】本題主要考查了函數的表示方法，根據題目中的條件分析函數關系是關鍵的一步，并且要熟練掌握待定系數法求解析式．【變式5-1】（2023春·山東東營·八年級東營市東營區實驗中學校考期末）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/時，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數關系及自變量的取值范圍是（）A．S=120?30t0≤t≤4 B．C．S=120?30tt>0 D．【答案】A【分析】根據汽車距天津的距離＝總路程?已行駛路程列函數關系式，再根據總路程判斷出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵汽車行駛的路程為：30t，∴汽車距天津的路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數關系為：S=120?30t，∵120÷30=4，∴自變量t的取值范圍是0≤t≤4，故選：A．【點睛】本題考查了列一次函數關系式，解決本題的關鍵是理解剩余路程的等量關系．【變式5-2】（2023春·貴州貴陽·八年級統考期中）甲、乙兩地相距120km，現有一列火車從乙地出發，以80km/h的速度向甲地行駛．設x（h）表示火車行駛的時間，y（km）表示火車與甲地的距離．（1）寫出y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數；（2）當x=0.5時，求y的值．【答案】（1）y=120?80x0<x≤1.5，y是x的一次函數；（2）【分析】（1）根據題意，首先計算得出y與x之間的關系式，再根據一次函數的性質分析，即可得到答案；（2）根據（1）的結論，將x=0.5代入到一次函數并計算，即可得到答案．【詳解】（1）根據題意，火車與乙地的距離表示為：80x（km）∵甲、乙兩地相距120km∴火車與甲地的距離表示為：120?80x（km），即y=120?80x；當火車到達甲地時，即80x=120∴x=1.5，即火車行駛1.5h到達甲地∴y=120?80xy是x的一次函數；（2）根據（1）的結論，得：y=120?80x=120?80×0.5=80．【點睛】本題考查了一次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握一次函數的性質，從而完成求解．【變式5-3】（2023春·云南文山·八年級期末）藝術節前夕，為了增添節日氣氛，某校決定采購大小兩種型號的氣球裝扮活動場地，計劃購買4盒大氣球，x盒小氣球（x>4）．A、B兩個商場中，兩種型號的氣球原價一樣，都是大氣球50元/盒，小氣球10元/盒，但給出了不同的優惠方案：A商場：買一盒大氣球，送一盒小氣球；B商場：一律九折優惠；（1）分別寫出在兩個商場購買時需要的花費y（元）與x（盒）之間的關系式；（2）如果學校最終決定購買10盒小氣球，那么選擇在哪個商場購買比較合算？【答案】（1）A：y=10x+160，B：y=9x+180；（2）A商場更合算【分析】（1）利用購買大氣球盒數×單價+小氣球去掉贈送的還需購買的盒數×單價列函數關系得出A商場花費，用購買大氣球盒數×單價+小氣球購買的盒數×單價之和九折列函數關系得出B商場花費即可；（2）先求A、B兩商場花費函數的值，比較大小即可．【詳解】解：（1）A：y=50×4+10（B：y=（（2）當x=10時，A：10×10+160=260元，B：9×10+180=270元，∵260＜∴選擇在A商場購買比較合算．【點睛】本題考查列函數解析式，函數值，比較大小，掌握列函數解析式的方法，求函數值的注意事項是解題關鍵．【知識點3一次函數與正比例函數的圖象與性質】1、正比例函數的圖象與性質解析式y=kx自變量取值范圍全體實數圖象形狀過原點的一條直線k的取值k>0k<0示意圖位置經過一、三象限經過二、四象限趨勢從左向右上升從左向右下降函數增減性y隨x的增大而增大，即：當x1>y隨x的增大而減小即：當x1>2、一次函數的圖象與性質解析式y=kx+b自變量取值范圍全體實數圖象形狀過0，b和?bk、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0示意圖位置經過一、二、三象限經過一、三、四象限經過一、二、四象限經過二、三、四象限趨勢從左向右上升從左向右下降函數增減性y隨x的增大而增大，即：當x1>y隨x的增大而減小即：當x1>3、截距定義直線y=kx+b與y軸相交于（0，b）,b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡稱截距舉例直線y=?2x?3的截距是?3【題型6判斷一次函數的圖象】【例6】（2023春·湖南懷化·八年級統考期末）一次函數y=kx?k（k為常數，k≠0）與正比例函數y=?kx的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分k>0、k<0兩種情況找出函數y=?kx及函數y=kx?k的圖象經過的象限，對照四個選項即可得出結論．【詳解】解：當k>0時，正比例函數y=?kx的圖象經過第二、四象限，一次函數y=kx?k的圖象經過第一、三、四象限；當k<0時，正比例函數y=?kx的圖象經過第一、三象限，一次函數y=kx?k的圖象經過第二、三、四象限．故選：D．【點睛】本題考查了正比例函數的圖象及一次函數的圖象，分k>0、k<0兩種情況找出兩函數圖象經過的象限是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·重慶榮昌·八年級統考期末）已知函數y=kx的圖象如圖所示，那么函數y=kx?k的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據正比例函數y=kx的圖象經過第二、四象限可判斷出k的符號，進而可得出結論．【詳解】解：∵正比例函數y=kx的圖象經過第二、四象限，∴k<0，∴?k>0，∴一次函數y=kx?k的圖象經過第一、二、四象限．故選C．【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，一次函數的圖象與系數的關系，先根據題意判斷出k的符號是解答此題的關鍵．【變式6-2】（2023春·山東濟南·八年級統考期末）已知點k,b在第四象限內，則一次函數y=?kx+b的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知條件“點(k,b)為第四象限內的點”推知k、b的符號，由它們的符號可以得到一次函數y=?kx+b的圖象所經過的象限．【詳解】解：∵點(k,b)為第四象限內的點，∴k>0，b<0，∴?k<0，∴一次函數y=?kx+b的圖象經過第二、三、四象限，觀察選項，A選項符合題意，B、C、D選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查一次函數圖象在坐標平面內的位置與k、b的關系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關系．k>0時，直線必經過一、三象限；k<0時，直線必經過二、四象限；b>0時，直線與y軸正半軸相交；b=0時，直線過原點；b<0時，直線與y軸負半軸相交．【變式6-3】（2023春·河北承德·八年級統考期末）在同一平面直角坐標系中，函數y=ax?b和y=bx+a的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對于每個選項，先確定一個解析式所對應的圖象，根據一次函數圖象與系數的關系確定a、b的符號，然后根據此符號看另一個函數圖象的位置是否正確.【詳解】解：A、若函數y=ax?b圖象經過第一、三、四象限，則a>0，b>0，此時函數y=bx+a的圖象應經過第一、二、三象限；若函數y=ax?b圖象經過第一、二、四象限時，則a<0，b<0時，此時函數y=bx+a的圖象應經過第二、三、四象限，故選項A錯誤，不符合題意；B、若函數y=ax?b圖象經過第一、二、四象限時，則a<0，b<0時，此時函數y=bx+a的圖象應經過第二、三、四象限，故選項B錯誤，不符合題意；C、若函數y=ax?b圖象經過第一、二、三象限，則a>0，b<0，此時函數y=bx+a的圖象應經過第一、二、四象限；若函數y=ax?b圖象經過第二、三、四象限時，則a<0，b>0時，此時函數y=bx+a的圖象應經過第一、三、四象限，故選項C錯誤，不符合題意；D、若函數y=ax?b圖象經過第一、二、三象限，則a>0，b<0，此時函數y=bx+a的圖象應經過第一、三、四象限；若函數y=ax?b圖象經過第一、三、四象限時，則a>0，b>0時，此時函數y=bx+a的圖象應經過第一、二、三象限，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了一次函數的圖象與性質，正確記憶一次函數圖象經過象限與系數關系是解題關鍵.【題型7判斷一次函數的增減性或經過的象限】【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級統考期末）一次函數y=kx+bk≠0中，y隨x的增大而減小，b<0，則這個函數的圖象不經過第【答案】一【分析】先根據一次函數的增減性判斷出k的符號，再由一次函數的圖像與系數的關系即可得出結論.【詳解】解：∵一次函數y=kx+b中y隨x增大而減小∴k＜0∵b＜0∴此函數的圖像經過第二、三、四象限，不經過第一象限故答案為：一.【點睛】本題主要考查了一次函數的性質，熟知一次函數的增減性是解題的關鍵.【變式7-1】（2023春·山東威海·八年級統考期末）關于一次函數y=?3x?2，下列說法錯誤的是（

）A．函數圖像與y軸的交點坐標為0,?2B．函數圖像經過二、三、四象限C．函數圖像與x軸的交點在x軸的負半軸D．y的值隨x的值的增大而增大【答案】A【分析】根據一次函數的性質對選項進行判斷即可．【詳解】解：令x=0，則y=?2，∴函數圖像與y軸的交點坐標為0,?2，故選項A正確，不符合題意；函數圖像經過二、三、四象限，故選項B正確，不符合題意；令y=0，則x=?2∴函數圖像與x軸的交點坐標為(?2∵k=?3<0，∴y的值隨x的值的增大而減小，故選項D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的性質以及一次函數與坐標軸的交點問題，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵．【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級期末）一次函數y=kx+b（k，b為常數）的圖像經過點P（－2，－1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據題意分別求得k<0和b<0，再進行判斷即可．【詳解】∵一次函數y=kx+b的圖象經過點P(?2,?1)，∴?1=?2k+b，∴b=2k?1，∵一次函數y=kx+b中y隨著x的增大而減小，∴k<0，∴b=2k?1＜∵k<0，b＜∴該圖像不經過的象限是第一象限，故答案為：A．【點睛】本題考查了一次函數的問題，掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級統考期末）關于一次函數y=(k?1)x+1?k，下列說法：①當k>1時，圖象從左向右上升，y隨x的增大而增大；②當k<1時，圖象經過第二、三、四象限；③函數圖象一定過點(1,0)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據一次函數的增減性質可對①作出判斷；根據k－1及1－k的符號即可對②作出判斷；計算當x=1時的函數值即可對③作出判斷，從而可對結果作出判斷．【詳解】當k>1時，k－1>0，從而一次函數的圖象從左往右上升，且y隨x的增大而增大，故①正確；當k<1時，k－1<0，圖象必過第二、四象限；又1－k>0，圖象必過第一象限，所以圖象過第一、二、四象限，故②錯誤；當x=1時，y=k－1+1－k=0，所以函數圖象過點(1，0)，故③正確；故選：B．【點睛】本題考查了一次函數的圖象與性質，點與直線的位置關系等知識，掌握一次函數的圖象與性質是關鍵．【題型8根據一次函數的性質求參數的范圍】【例8】（2023春·湖南永州·八年級校考期中）已知一次函數y=(m+2)x+(m?3)，若y隨x的增大而增大，且此函數圖象與y軸的交點在x軸下方，則m的取值范圍是．【答案】?2<m<3【分析】先利用一次函數的性質得m+2>0，再利用一次函數與y軸交點得到m?3<0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】∵一次函數y=m+2x+m?3，y∴m+2>0，∵函數圖象與y軸的交點在x軸下方，∴m?3<0，則：m+2>0m?3<0解得：?2<m<3，故答案為：?2<m<3．【點睛】此題考查了一次函數的圖象及其性質，解題的關鍵是熟練掌握一次函數的圖象及其性質的應用．【變式8-1】（2023春·江西九江·八年級統考期中）若一次函數y=kx?4的函數值y隨x的增大而增大，則k的值可能是（

）A．3 B．-12 C．-4 D．0【答案】A【分析】根據一次函數的性質，若y隨x的增大而增大，則比例系數大于0．【詳解】解：∵y=kx?4的函數值y隨x的增大而增大，∴.k>0，而四個選項中，只有A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數的性質，要知道，在直線y=kx+b中，當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小．【變式8-2】（2023春·湖北咸寧·八年級統考期末）已知A(x1,y1)，B(x2,【答案】a<1【分析】首先根據已知條件判斷出y1?y2與【詳解】解：∵y1∴y1?∴在一次函數y=(a?1)x+1中，y隨x的增大而減小，∴a?1<0，解得a<1，故答案為：a<1．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數的增減性是解題的關鍵．【變式8-3】（2023春·福建福州·八年級校考期中）若點（x1，y1）、（x2，y2）是一次函數y＝ax+2圖象上不同的兩點，記m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），當m＜0時，a的取值范圍是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1【答案】B【分析】根據題意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2與y1﹣y2異號，即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵點（x1，y1）、（x2，y2）是一次函數y＝ax+2圖象上不同的兩點，m＝（x1﹣x2）（y1﹣