專題08圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4常見證明的方法：1）補短法：如圖2，如圖，延長DB至F，使BF=BA；2）截長法：如圖3，在CD上截取DG=DB；3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。1．（2023·山西·九年級專題練習(xí)）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．例2．（2023·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點M是上的點，MD⊥BC于點D，延長MD交弦AB于點E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長為(

)A． B． C． D．例3．（2023·山東濟寧·校考二模）阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子，在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．【定理內(nèi)容】一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．【定理模型】如圖①，已知AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是的一條折弦），，M是的中點，那么從M向弦BC作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．下面是運用“補短法”證明的部分證明過程：如圖②，延長DB至點F，使，連接MF，AB，MC，MA，AC，…【定理證明】按照上面思路，寫出剩余部分的證明過程．【問題解決】如圖③，內(nèi)接于，已知，D為上一點，連接AD，DC，，，求的周長．例4．（2022上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點．若，則______；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點是的中點，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點；【變式探究】（3）如圖4，若點是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點為上一定點，點為上一動點，且滿足，若，，則______________．例5．（2023·江蘇·九年級期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．

模型2.婆羅摩笈多（定理）模型【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀(jì)時的印度數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點。圖1圖2圖3如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線AC和BD垂直相交，交點為E，過點E作BC的垂線EF，延長FE與AD交于點G；則點G是AD的中點。如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長線于點H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點。2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長線取點H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點，則AG⊥BE。例1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．布拉美古塔定理婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個定理的已知和求證．已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對角線，垂足為P，過點P作的垂線分別交，于點H，M．求證：M是的中點．任務(wù)：(1)請你完成這個定理的證明過程．(2)該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個命題：若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊請判斷此命題是命題．（填“真”或“假”）。(3)若，求的長．例2．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點F，則AF＝FD．證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°∴∠CBD＝∠CME∵______，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF…任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：______；（2）下面是“布拉美古塔定理”的逆命題，請證明該命題的正確性：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點，直線FM交BC于點E，F(xiàn)A=FD．求證：FE⊥BC．課后專項訓(xùn)練1．（2023山東·校考二模）阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．請應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點，，于點，則的周長是．

2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖：已知點A、B、C、D順次在圓O上，，，垂足為M．證明：．（阿基米德折弦定理）

3．（2023·山東威海·九年級統(tǒng)考期末）阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯（973年~1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖①，已知和是的兩條弦（即折線是的一條折弦），是的中點．那么從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明思路：證明：如圖②，在上截取，連接，…………【定理證明】按照上面的思路，寫出剩余部分的證明過程．【問題解決】如圖③，等邊內(nèi)接于為上一點，．求的周長．4．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）閱讀與思考；婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負數(shù)及加減法運算僅晚于中國九章算術(shù)而他的負數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對角線AC⊥BD于點M，ME⊥BC于點E，延長EM交CD于F，求證：MF=DF證明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中點．（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，對角線AC⊥BD于點M，F(xiàn)是AD中點，連接FM并延長交BC于點E，求證：ME⊥BC（2）已知如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD交BC于點P，作ON⊥CD于點N，延長NP交AB于點M，求證PM⊥BA并求PN的長．5．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦．阿基米德從中看出了玄機并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論．某數(shù)學(xué)興趣小組對此進行了探究，如圖1，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，是的中點，過點作，垂足為，小明通過度量、、的長度，發(fā)現(xiàn)點平分折弦，即．小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)仍然成立，于是三位同學(xué)都嘗試進行了證明：小軍采用了“截長法”（如圖2），在上?取，使得，……小麗則采用了“補短法”（如圖3），延長至，使，……小明采用了“平行線法”（如圖4），過點作，交圓于點，過點作，……(1)請你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；(2)如圖5，在網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，內(nèi)接于（A、B、C均是格點），點A、D關(guān)于對稱，連接并延長交于點，連接．①請用無刻度的直尺作直線，使得直線平分的周長；②求的周長．6．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運用】如圖1，、是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．7．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運用“截長法”和三角形全等來證明CD＝AB+BD，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC，…(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，求BDC的周長．8．（2022秋·北京昌平·九年級統(tǒng)考期末）已知：對于平面直角坐標(biāo)系中的點和，的半徑為4，交軸于點A，，對于點給出如下定義：過點的直線與交于點，，點為線段的中點，我們把這樣的點叫做關(guān)于的“折弦點”．(1)若，①點，，中是關(guān)于的“折弦點”的是______；②若直線（）上只存在一個關(guān)于的“折弦點”，求的值；(2)點在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點”，直接寫出的取值范圍．9．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為點，直線，垂足為點，并且交直線于點，則．證明：∵，，∴∴，．∴．∵，∴．（依據(jù)）又∵，∴．∴．……任務(wù)：（1）上述證明過程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過程補充完整；（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為點，直線交于點，交于點．若，則．請證明該命題．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．11．（2023·山西太原·九年級山西大附中校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點F，則AF＝FD．證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°∴∠CBD＝∠CME∴，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF…任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：；（2）請用符號語言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補充完整，并證明該逆命題的正確性：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點，直線FM交BC于點E，①．求證：②．證明：12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為，用a．c和θ表示△ABC的面積為．材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．定理：如圖3，M為弦PQ的中點，過M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點E和F，則ME＝MF．證明：設(shè)∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)由即化簡得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB則有：,又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，∴，即即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．請運用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：如圖4，B、C為線段PQ上的兩點，且BP＝CQ，A為PQ外一動點，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．13．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．14．（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）閱讀下面的材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務(wù)：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關(guān)系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務(wù)（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=G