高級中學名校試卷PAGEPAGE3貴州省遵義市2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教B版必修第一冊至第四冊占20%，選擇性必修第一冊占30%，第二冊占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以．故選：D2.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以其在復平面內對應的點坐標為，則對應的點位于第二象限．故選：B.3.已知函數的最小正周期為，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因為，所以，故．故選：A.4.已知拋物線上的點到其準線的距離為4，則（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因為點到C的準線的距離為4，所以，解得．故選：C5.若是不等式成立的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為或，故或，故或，解得或．故選：D.6.二項式的展開式中僅有第5項系數最大，則的展開式中x的系數為（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因為二項式的展開式中僅有第5項系數最大，所以，因為的通項，所以，當時，，或，此時，，所以的展開式中x的系數為．故選：A.7.第33屆夏季奧林匹克運動會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦．假設這屆奧運會將新增2個競賽項目和4個表演項目，現有三個場地A，B，C承辦這6個新增項目的比賽，每個場地至少承辦其中1個項目，且A場地只能承辦競賽項目，則不同的安排方法有（）A.60種 B.74種 C.88種 D.120種〖答案〗B〖解析〗當A場地承辦1個競賽項目時，分和兩種情況，共有種安排；當A場地承辦2個競賽項目時，分和兩種情況，有種安排．故不同的安排方法共有種．故選：B.8.已知函數，若，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由，所以定義域為，，所以在定義域上為奇函數，又在上單調遞增，故在上單調遞增，而在上單調遞增，在上單調遞減，所以在定義域上單調遞增，所以等價于．由，解得，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.下列選項中正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A選項，因為，所以A錯誤；B選項，因為，所以，故B正確；C選項，因為，所以C正確；D選項，因為，所以，故D正確．故選：BCD10.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，則（）A.的外接圓半徑為 B.C. D.為銳角三角形〖答案〗BC〖解析〗對于A，因為，所以．因為，所以，所以的外接圓半徑為，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，即．因為，所以，故C正確；對于D，由選項C，，因為，即，所以角是鈍角，所以為鈍角三角形，故D不正確．故選：BC.11.“新高考”后，普通高考考試科目實行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學、生物學這4門科目中選擇2門作為再選科目．甲、乙兩名同學各自從這4門科目中任意挑選2門科目學習．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，所以B與C不相互獨立，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經過橢圓的左焦點作直線交橢圓于，兩點，是右焦點，則的周長為________.〖答案〗20.〖解析〗因為橢圓方程，所以，根據橢圓的定義：，，的周長為.故〖答案〗為：2013.杭州亞運會秉持“綠色、智能、節儉、文明”的辦賽理念，本次亞運會火炬傳遞線路的籌劃聚焦簡約、規模適度．某路段的傳遞活動由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從A，B中產生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且A，C兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數為____________．〖答案〗114〖解析〗當A完成第一棒時，有種不同的傳遞方案；當B完成第一棒時，有種不同的傳遞方案．故共有種不同的傳遞方案．故〖答案〗為：114.14.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續下去，直到滾到底板的一個格子內為止．現從入口處放進一個白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號為X，則隨機變量X的期望與方差分別為____________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由題意可知：白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數，可知，，又因，所以，.故〖答案〗為：3；1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點，為的中點.（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設為在底面的射影，連接，則平面.因為平面ABC，所以又為BC的中點，，所以因為平面平面，∴平面.又為的中點，且，所以四邊形平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個法向量，因為，且，所以.設平面的法向量為，則即設，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.16.隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用越來越廣泛．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．該人機交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結果如下表．回答正確回答錯誤問題中存在語法錯誤100300問題中沒有語法錯誤500100結果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據測試結果，用頻率近似概率，解決下列問題．（1）測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；（2）現輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數為X，求X的分布列與數學期望．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測試結果知，所以．記“測試的2個問題都回答正確”為事件，“測試的2個問題中恰有1個存在語法錯誤”為事件．則，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列為X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽車保有量如下表．年份20192020202120222023年份編號12345保有量(萬輛)1820232529（1）請用相關系數說明與的線性相關程度；（2）求關于的回歸直線方程，并預測2025年該地新能源汽車保有量．附：相關系數．在回歸直線方程中，．取．解：（1）因為，，所以，，，所以．因為的值越接近1，隨機變量之間的線性相關程度越強，所以與的線性相關程度較強．（2）因為，，，，所以，，所以回歸直線方程．當時，，所以預測2025年該地新能源汽車保有量為萬輛．18.2023年10月26日，神舟十七號載人飛船把三名航天員送入太空．空間站開展的公益活動是與大眾比較接近的．為了解學生對空間站開展的公益活動是否感興趣，某學校從全校學生中隨機抽取300名學生進行問卷調查，得到如下列聯表中的部分數據．對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計男生150女生50合計已知從這300名學生中隨機抽取男生和女生各1人，抽到的2名學生都對此項活動感興趣的概率為．（1）將上述列聯表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為學生對此項活動感興趣與性別有關；（2）該學校對參與問卷調查的學生按性別采用分層隨機抽樣的方法，從對空間站開展的公益活動感興趣的學生中抽取8人，組成一個宣傳小組，從這8人中任選3人擔任宣傳小組的主講人，設隨機變量X表示這3人中男生的人數，求X的分布列及數學期望．附表及公式：．0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）設抽取的300名學生中男生的人數為x，則女生的人數為．因為抽到的2名學生都對此項活動感興趣的概率為，所以，解得或（舍去），所以抽取的300名學生中男生有200人，女生有100人，所以列聯表為對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計男生15050200女生5050100合計200100300因為，所以有99.9%的把握認為學生對該項目感興趣與性別有關．（2）用分層隨機抽樣方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，所以隨機變量X可能的取值為1，2，3，則，X的分布列為X123P故．19.已知雙曲線的離心率為，虛軸長為．（1）求雙曲線C的方程；（2）若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且分別與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點，O為坐標原點，證明：的面積為定值．解：（1）因為虛軸長為，所以，因為，且，所以，故雙曲線C的方程為．（2）當直線l的斜率不存在時，l的方程為，此時，當直線l斜率存在時，不設直線，且，聯立方程組得，由，得，不妨設l與的交點為P，則，得，同理可得，所以，因為原點O到直線l的距離，所以，因為，所以，綜上，的面積為定值，定值為．貴州省遵義市2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教B版必修第一冊至第四冊占20%，選擇性必修第一冊占30%，第二冊占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以．故選：D2.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以其在復平面內對應的點坐標為，則對應的點位于第二象限．故選：B.3.已知函數的最小正周期為，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因為，所以，故．故選：A.4.已知拋物線上的點到其準線的距離為4，則（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因為點到C的準線的距離為4，所以，解得．故選：C5.若是不等式成立的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為或，故或，故或，解得或．故選：D.6.二項式的展開式中僅有第5項系數最大，則的展開式中x的系數為（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因為二項式的展開式中僅有第5項系數最大，所以，因為的通項，所以，當時，，或，此時，，所以的展開式中x的系數為．故選：A.7.第33屆夏季奧林匹克運動會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦．假設這屆奧運會將新增2個競賽項目和4個表演項目，現有三個場地A，B，C承辦這6個新增項目的比賽，每個場地至少承辦其中1個項目，且A場地只能承辦競賽項目，則不同的安排方法有（）A.60種 B.74種 C.88種 D.120種〖答案〗B〖解析〗當A場地承辦1個競賽項目時，分和兩種情況，共有種安排；當A場地承辦2個競賽項目時，分和兩種情況，有種安排．故不同的安排方法共有種．故選：B.8.已知函數，若，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由，所以定義域為，，所以在定義域上為奇函數，又在上單調遞增，故在上單調遞增，而在上單調遞增，在上單調遞減，所以在定義域上單調遞增，所以等價于．由，解得，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.下列選項中正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A選項，因為，所以A錯誤；B選項，因為，所以，故B正確；C選項，因為，所以C正確；D選項，因為，所以，故D正確．故選：BCD10.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，則（）A.的外接圓半徑為 B.C. D.為銳角三角形〖答案〗BC〖解析〗對于A，因為，所以．因為，所以，所以的外接圓半徑為，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，即．因為，所以，故C正確；對于D，由選項C，，因為，即，所以角是鈍角，所以為鈍角三角形，故D不正確．故選：BC.11.“新高考”后，普通高考考試科目實行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學、生物學這4門科目中選擇2門作為再選科目．甲、乙兩名同學各自從這4門科目中任意挑選2門科目學習．記事件A表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學”，事件B表示“甲、乙兩人都選擇了生物學”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件D表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，則（）A.B與C相互獨立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，所以B與C不相互獨立，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經過橢圓的左焦點作直線交橢圓于，兩點，是右焦點，則的周長為________.〖答案〗20.〖解析〗因為橢圓方程，所以，根據橢圓的定義：，，的周長為.故〖答案〗為：2013.杭州亞運會秉持“綠色、智能、節儉、文明”的辦賽理念，本次亞運會火炬傳遞線路的籌劃聚焦簡約、規模適度．某路段的傳遞活動由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從A，B中產生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且A，C兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數為____________．〖答案〗114〖解析〗當A完成第一棒時，有種不同的傳遞方案；當B完成第一棒時，有種不同的傳遞方案．故共有種不同的傳遞方案．故〖答案〗為：114.14.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續下去，直到滾到底板的一個格子內為止．現從入口處放進一個白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號為X，則隨機變量X的期望與方差分別為____________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由題意可知：白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數，可知，，又因，所以，.故〖答案〗為：3；1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點，為的中點.（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設為在底面的射影，連接，則平面.因為平面ABC，所以又為BC的中點，，所以因為平面平面，∴平面.又為的中點，且，所以四邊形平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個法向量，因為，且，所以.設平面的法向量為，則即設，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.16.隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用越來越廣泛．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．該人機交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結果如下表．回答正確回答錯誤問題中存在語法錯誤100300問題中沒有語法錯誤500100結果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據測試結果，用頻率近似概率，解決下列問題．（1）測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；（2）現輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數為X，求X的分布列與數學期望．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測試結果知，所以．記“測試的2個問題都回答正確”為事件，“測試的2個問題中恰有1個存在語法錯誤”為事件．則，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列為X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽車保有量如下表．年份20192020202120222023年份編號12345保有量(萬輛)1820232529（1）請用相關系數說明與的線性相關程度；（2）求關于的回歸直線方程，并預測2025年該地新能源汽車保有量．附：相關系數．在回歸直線方程中，．取．解：（1）因為，，所以，，，所以．因為的值越接近1，隨機變量之間的線性相關程度越強，所以與的線性相關程度較強．（2）因為，，，，所以，，所以回歸直線方程．當時，，所以預測2025年該地新能源汽車保有量為萬輛．18.2023年10月26日，神舟十七號載人飛船把三名航天員