高級中學名校試卷PAGEPAGE3內蒙古自治區名校聯盟2022-2023學年高二下學期期末考試數學試題考生注意：1、本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題〖答案〗填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內容；高考全部內容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式得，函數的值域為，所以，所以.故選：C.3.“”是“方程表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A4.曲線的一條對稱軸方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得．故選：B.5.某高校現有400名教師，他們的學歷情況如圖所示，由于該高校今年學生人數急劇增長，所以今年計劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學歷的比例進行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數為（）A.100 B.120C.200 D.240〖答案〗B〖解析〗設招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹苗棵．故選：B6.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域為，因為，所以是奇函數，排除C，D．當時，，則，，所以，排除B．故選：A．7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是長為3，寬為2的矩形，俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三視圖可知，該幾何體是四分之一個圓柱（高為2，底面半徑為3），其體積．故選：D.8.等差數列的前項和為，若，，則（）A.6 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗設，則，，因為為等差數列，所以，，也成等差數列，則，解得．故選：C9.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（）A.9 B.10 C.11 D.〖答案〗D〖解析〗由方程可知，所以，所以，，，漸近線方程為，如圖，由雙曲線的對稱性，點到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，在直角中，．由余弦定理，可得，所以．故選：D10.已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則該零件表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，得該圓錐的母線長，設圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，由，得，所以，圓錐PO內切球的半徑等于內切圓的半徑，設的內切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.故選：A.11.弘揚國學經典，傳承中華文化，國學乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經”是國學經典著作，“五經”指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學習“五經”，現安排連續四天進行學習且每天學習一種，每天學習的書都不一樣，其中《詩經》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學習，《周易》不能安排在第一天學習，則不同安排的方式有（）A.32種 B.48種C.56種 D.68種〖答案〗D〖解析〗①若《周易》不排，先將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經》與《禮記》只安排一個，先在《詩經》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D12.設，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，設函數，，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以，故．故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則______．〖答案〗1或〖解析〗因為，所以，解得或．故〖答案〗為：或．14.若x，y滿足約束條件則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗畫出可行域，當目標函數經過可行域內的交點時，z取得最大值．故〖答案〗為：.15.數列滿足，，則的前2023項和______.〖答案〗1351〖解析〗因為，所以，則從第3項起以3為周期的周期數列，所以.故〖答案〗為：135116.已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為______．〖答案〗〖解析〗不妨設，且．拋物線的焦點，因為的面積為，所以，代入拋物線方程可得，則．直線AB的方程為．由得，所以，于是有．直線MN的方程為，同理可得．因為，所以四邊形AMBN的面積為．故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明．證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題．考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.甲、乙兩名大學生參加面試時，10位評委評定的分數如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一個最高分和一個最低分后再計算平均分，通過計算比較甲、乙面試分數的平均分的高低．（2）在（1）前提下，以面試的平均分作為面試的分數，筆試分數和面試分數的加權比為，已知甲、乙的筆試分數分別為92，94，綜合筆試和面試的分數，從甲、乙兩人中錄取一人，你認為應該錄取誰？說明你的理由．解：（1）依題意，設甲、乙面試分數的平均分分別為，，，因為，所以甲的面試分數的平均分更高.（2）因為筆試分數和面試分數的加權比為，所以甲的綜合分數為，乙的綜合分數為，因為，所以乙的綜合分數更高，故應該錄取乙.18.如圖，在圓的內接四邊形ABCD中，，，的面積為．（1）求的周長；（2）求面積的最大值．解：（1）因為，所以．在中，由余弦定理可得，解得．故的周長為．（2）由，，，四點共圓可得：，在中，由余弦定理可得

，當且僅當時，等號成立．所以，所以．故面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點.（1）證明：.（2）求二面角的余弦值.解：（1）因為平面，平面，所以.又，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.因為為的中點，，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.（2）因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則，令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，且橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程．（2）設、是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，在橢圓上，且點異于、兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．解：（1）設點為橢圓上任意一點，其中，易知點，，所以，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為，又因為橢圓的離心率為，所以，，，則，因此，橢圓的標準方程為.（2）設點，，，，，則直線的方程為，直線的方程為，聯立，消去并整理可得，因為點在橢圓上，則直線與橢圓必有公共點，所以，，同理可得所以，，所以，，化簡可得，當時，則，此時，；當時，、、三點重合，此時，.綜上所述，，即為定值.21.已知函數，（1）當，求曲線在處的切線方程；（2）若，證明：．解：（1）當時，，，，，曲線在處的切線方程為，即．（2）因為，當時，由，解得，由，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，要證，即證，即，令函數，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，所以，即得證，故得證．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于M，N兩點，已知點，求.解：（1）由（參數），變形得到，平方相加得，故曲線的普通方程為.因為及，得直線的直角坐標方程為.（2）由于在直線方程中，且直線的斜率為3，故直線的參數方程為（為參數），將其代入曲線的普通方程得，則，，由于，所以在曲線外部，故23.已知函數.（1）若，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，所以.當時，原不等式轉化為，解得；當時，原不等式轉化為，解得；當時，原不等式轉化為，解得，綜上所述，不等式解集為.（2）因為，所以恒成立等價于恒成立，顯然，當時，則，解得或；當時，則，解得或，故的取值范圍為.內蒙古自治區名校聯盟2022-2023學年高二下學期期末考試數學試題考生注意：1、本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題〖答案〗填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內容；高考全部內容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式得，函數的值域為，所以，所以.故選：C.3.“”是“方程表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A4.曲線的一條對稱軸方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得．故選：B.5.某高校現有400名教師，他們的學歷情況如圖所示，由于該高校今年學生人數急劇增長，所以今年計劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學歷的比例進行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數為（）A.100 B.120C.200 D.240〖答案〗B〖解析〗設招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹苗棵．故選：B6.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域為，因為，所以是奇函數，排除C，D．當時，，則，，所以，排除B．故選：A．7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是長為3，寬為2的矩形，俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三視圖可知，該幾何體是四分之一個圓柱（高為2，底面半徑為3），其體積．故選：D.8.等差數列的前項和為，若，，則（）A.6 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗設，則，，因為為等差數列，所以，，也成等差數列，則，解得．故選：C9.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（）A.9 B.10 C.11 D.〖答案〗D〖解析〗由方程可知，所以，所以，，，漸近線方程為，如圖，由雙曲線的對稱性，點到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，在直角中，．由余弦定理，可得，所以．故選：D10.已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則該零件表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，得該圓錐的母線長，設圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，由，得，所以，圓錐PO內切球的半徑等于內切圓的半徑，設的內切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.故選：A.11.弘揚國學經典，傳承中華文化，國學乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經”是國學經典著作，“五經”指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學習“五經”，現安排連續四天進行學習且每天學習一種，每天學習的書都不一樣，其中《詩經》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學習，《周易》不能安排在第一天學習，則不同安排的方式有（）A.32種 B.48種C.56種 D.68種〖答案〗D〖解析〗①若《周易》不排，先將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經》與《禮記》只安排一個，先在《詩經》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D12.設，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，設函數，，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以，故．故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則______．〖答案〗1或〖解析〗因為，所以，解得或．故〖答案〗為：或．14.若x，y滿足約束條件則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗畫出可行域，當目標函數經過可行域內的交點時，z取得最大值．故〖答案〗為：.15.數列滿足，，則的前2023項和______.〖答案〗1351〖解析〗因為，所以，則從第3項起以3為周期的周期數列，所以.故〖答案〗為：135116.已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為______．〖答案〗〖解析〗不妨設，且．拋物線的焦點，因為的面積為，所以，代入拋物線方程可得，則．直線AB的方程為．由得，所以，于是有．直線MN的方程為，同理可得．因為，所以四邊形AMBN的面積為．故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明．證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題．考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.甲、乙兩名大學生參加面試時，10位評委評定的分數如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一個最高分和一個最低分后再計算平均分，通過計算比較甲、乙面試分數的平均分的高低．（2）在（1）前提下，以面試的平均分作為面試的分數，筆試分數和面試分數的加權比為，已知甲、乙的筆試分數分別為92，94，綜合筆試和面試的分數，從甲、乙兩人中錄取一人，你認為應該錄取誰？說明你的理由．解：（1）依題意，設甲、乙面試分數的平均分分別為，，，因為，所以甲的面試分數的平均分更高.（2）因為筆試分數和面試分數的加權比為，所以甲的綜合分數為，乙的綜合分數為，因為，所以乙的綜合分數更高，故應該錄取乙.18.如圖，在圓的內接四邊形ABCD中，，，的面積為．（1）求的周長；（2）求面積的最大值．解：（1）因為，所以．在中，由余弦定理可得，解得．故的周長為．（2）由，，，四點共圓可得：，在中，由余弦定理可得

，當且僅當時，等號成立．所以，所以．故面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點.（1）證明：.（2）求二面角的余弦值.解：（1）因為平面，平面，所以.又，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.因為為的中點，，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.（2）因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則，令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，且橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程．（2）設、是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，在橢圓上