2024年湖北云學部分重點高中高二年級9月聯考數學試卷命題學校：鐘祥市第一中學命題人：王金濤?張倩?邵琪審題人：范德憲考試時間：2024年9月11日15：00：00時長：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡得，根據題意列出不等式組求解即可.【詳解】解：因為，又因為此復數在第二象限，所以，解得.故選：B.2.平行六面體中，為與的交點，設，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行六面體的性質和空間向量的線性運算即可求解；【詳解】如圖：由平行六面體的性質可得，故選：D.3.被譽為“湖北烏鎮，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個莫愁村最高的建筑，登樓遠跳，可將全村風景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（）A.2400 B.1520 C.1530 D.2410【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用棱臺的體積公式，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，正四棱臺上底面邊長約為8米，下底面邊長約為12米，高約為15米，可得正四棱臺的上底面面積為平方米，下底面面積為平方米，則塔樓主體的體積約為立方米.故選：B.4.某同學參加學校組織的化學競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學參加這兩項測試的結果相互不受影響.若該同學在筆試中結果為優秀的概率為，在實驗操作中結果為優秀的概率為，則該同學在這次測試中僅有一項測試結果為優秀的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.【詳解】根據題意可得該同學在這次測試中僅有一項測試結果為優秀的概率為：．故選：C.5.已知，若不能構成空間一個基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結果.【詳解】若不能構成空間的一個基底，共面，存在，使，即，解得，故選：.6.設的內角的對邊分別為，且，若角的內角平分線，則的最小值為（）A.8 B.4 C.16 D.12【答案】A【解析】【分析】先根據，結合余弦定理求，再根據，結合面積公式得到，進而求出的最小值，再根據數量積定義求.【詳解】因為，所以，所以，

由，所以，化簡得到，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以的最小值為.故選：A．7.拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數，若用表示紅色骰子的點數，用表示綠色骰子的點數，用表示一次試驗結果，設事件；事件：至少有一顆點數為5；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立【答案】D【解析】【分析】分別寫出事件、、、所包含的基本事件，根據互斥事件的定義判斷A，B；根據獨立事件的定義判斷C，D.【詳解】解：由題意可知；；；；對于A，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于B，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于C，因為，，，所以事件與事件不相互獨立，故錯誤；對于D，因為，，，所以事件與事件相互獨立，故正確.故選：D.8.現有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內壁爬行，一只從點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達點，另一只從沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達點，則此時線段長（單位：厘米）為（）A. B. C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】根據已知條件建系結合弧長得出角及點的坐標，最后應用空間向量兩點間距離計算.【詳解】應用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，過向圓作垂線垂足為，，設圓半徑為，所以，所以，則，同理，過向圓O作垂線垂足為P1，則，所以.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據，其平均數?中位數?標準差?極差分別記為.由這組數據得到新樣本數據，其中，其平均數?中位數?標準差?極差分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據新舊數據間樣本的數字特征的關系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，平均數，中位數，標準差，極差，所以ACD選項正確，B選項錯誤.故選：ACD10.設是空間內正方向兩兩夾角為的三條數軸，向量分別與軸?軸.軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序實數組稱為向量在斜坐標系（為坐標原點），記作，則下列說法正確的有（）A.已知，則B.已知，則向量C.已知，則D.已知，則三棱錐的外接球體積【答案】AB【解析】【分析】先明確，.根據求，判斷A的真假；根據判斷B的真假；計算判斷C的真假；判斷三棱錐的形狀，求其外接球半徑及體積，判斷D的真假.【詳解】由題意：，.對A：因為，所以.故A正確；對B：因為，，所以，所以.故B正確；對C：，，因為，故C錯誤；對D：由題意，三棱錐是邊長為1的正四面體.如圖：過作平面，垂足為，則在的中線上，且，因為，，所以，.設正四面體外接球球心為，則點在上，且亦為正四面體內切球球心，設，.則，所以正四面體外接球的體積為：.故D錯誤.故選：AB11.在圓錐中，為高，為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為，母線長為，點為的中點，圓錐底面上點在以為直徑的圓上（不含兩點），點在上，且，當點運動時，則（）A.三棱錐的外接球體積為定值B.直線與直線不可能垂直C.直線與平面所成的角可能為D.【答案】AD【解析】【分析】由條件結合線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明點為三棱錐的外接球球心，判斷A，證明平面，由此證明，判斷B；證明平面，由此可得為直線與平面所成的角，解三角形求其正弦，判斷C，證明，解三角形求，結合基本不等式求其范圍，判斷D.詳解】連接，對于A，易知平面，平面，所以，因為點在以為直徑的圓上（不含、），所以，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，為的中點，，所以，所以點為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的半徑為r=1，所以三棱錐的外接球體積為定值，A正確；由已知，，，，所以所以為等腰三角形，連接，又為的中點，故，又，，平面，平面，則平面，又平面，所以，故B錯誤．因為平面，又平面，所以，又，，平面，平面，則平面，所以在平面上的射影為，所以為直線與平面所成的角，設，則，又，所以，所以，令，則，解得，即，與矛盾，C錯誤；對于D中，因為平面，平面，所以，又，，所以，所以，，由基本不等式可得，即，所以，D正確.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：解決多面體的外接球問題的關鍵在于由條件確定其外接球的球心的位置，由此確定外接球的半徑.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是關于的實系數方程的一個根，則實數的值為__________.【答案】【解析】【分析】將代入方程求解即可.【詳解】代入方程，得，化簡得，故，解得，故填：13.已知向量滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】先利用坐標運算求解，根據數量積的運算律結合模的公式列式求得，從而利用數量積的定義求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，所以.故答案為：14.的內角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.【詳解】由可得，即，由于，故，由于，故，因此，故，，的面積為，故，由于，，故，將代入可得，化簡得，將其代入，且可得，則，解得，或，（舍去）故最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由可得有實數根，利用判別式求解.四?解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若點在上，且滿足，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結合三角形內角的取值范圍、特殊角的三角函數值求解即可；（2）利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小問2詳解】，，，又，，，，當且僅當時，等號成立，的面積，即面積的最大值為.16.某地區有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網絡“防溺水”網絡知識問答，現用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據頻率分布直方圖，估計該地區所有學生中知識問答成績的平均數和眾數；（2）成績位列前10%的學生平臺會生成“防溺水達人”優秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的成績至少為多少分；（3）已知落在60,70內的平均成績為67，方差是9，落在內的平均成績是73，方差是29，求落在內的平均成績和方差.（附：設兩組數據的樣本量?樣本平均數和樣本方差分別為：.記兩組數據總體的樣本平均數為，則總體樣本方差）【答案】（1）平均數為，眾數為.（2）.（3）平均數為，方差為.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數是最高矩形橫坐標的中點，據此求解.（2）依題意可知題目所求是第分位數，先判斷第分位數落在哪個區間再求解即可；（3）先求出每組的比例，再根據分層隨機抽樣的平均數及方差求解即可.【小問1詳解】一至六組的頻率分別為，平均數.由圖可知，眾數為.以樣本估計總體，該地區所有學生中知識問答成績平均數為分，眾數為分.【小問2詳解】前4組頻率之和為，前5組的頻率之和為，第分位數落在第5組,設為x，則，解得.“防溺水達人”的成績至少為分.【小問3詳解】)的頻率為，)的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設內的平均成績和方差分別為，依題意有，解得，解得，所以內的平均成績為，方差為.17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】（1）（2）當時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【解析】【分析】（1）以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，當點在棱的中點時，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；【小問2詳解】設，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，令，則，當時，取得最小值，最小值為.18.甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規定每局中：①三人出現同一種手勢，每人各得1分；②三人出現兩種手勢，贏者得2分，輸者負1分；③三人出現三種手勢均得0分.當有人累計得3分及以上時，游戲結束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.（1）求甲在一局中得2分的概率；（2）求游戲經過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；（3）求游戲經過兩局就結束的概率.【答案】（1）13（2）（3）【解析】【分析】（1）根據題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；（2）游戲經過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一局乙丙得負一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；（3）游戲經過兩局就結束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分，④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.【小問1詳解】根據題意，畫出樹狀圖，如圖：所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.【小問2詳解】游戲經過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：則乙第一局得負1分，第二局得1分；則丙第一局得負1分，第二局得1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）此時概率為種情況，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負1分，則乙第一局得1分，第二局得負1分；則丙第一局得1分，第二局得負1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、此時概率為，綜上所述：游戲經過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.【小問3詳解】游戲經過兩局就結束總共有4種情況：①僅1人得3分，記事件為A，則；②有2人得分為3分，記事件為B，③僅1人得4分，記事件C：一人得4分，另兩人各負2分：，一人得4分，一人得負2分，一人得1分：，一人得4分，另兩人各1分：，；④有2人分別得4分，記為事件D：則綜上所述：游戲經過兩局就結束的概率.19.在空間直角坐標系中，己知向量，點.若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平