第4章

幾何圖形初步

4.5角的比較與補（余）角課程導入

課程講授習題解析歸納總結第1課時

角的比較與補（余）角成功永遠屬于肯攀高峰的

人選擇從哪一面上山會感覺到舒緩呢？合作探究

類比線段長短的比較方法，你認為該如何比較兩個角的大??？角的大小比較：度量法、疊合法比較角的大小疊合法結論OBAO'CDOBAO'CDOBAO'CD1.若射線

O'C與射線

OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.2.若射線

O'C在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.3.若射線O'C在∠AOB內部，那么∠DO'C___∠AOB.=><O'CD

1.角的大小與兩邊畫出部分的長短是否相關？2.一個30°

的角用能放大3倍的放大鏡觀看，看到的角度有何變化？

議一議角的大小與兩邊畫出部分的長短無關.不變.結論：角的兩邊張開越大，角就越大，與所畫邊的長短無關.典例精析

例1

如圖，求解下列問題：(1)試比較∠AOC與∠BOC，∠BOD與∠COD的大??；(2)將∠AOC寫成兩個角的和與兩個角的差的式．解：(1)由圖可看出：∠AOC＞∠BOC，(OB在∠AOC內)；∠BOD＞∠COD(OC在∠BOD內).(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOC=∠AOD-∠DOC.OABCD例2

根據下圖，回答下列問題：(1)試比較∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大小，并找出其中的銳角、直角、鈍角、平角；(2)在圖中找出角的三個等量關系．[解析]∠AOB是平角，∠AOC是鈍角，∠AOD是直角，∠AOE是銳角，于是就可找到這幾個角的大小關系．解：(1)由圖可知，∠AOB是平角，∠AOC是鈍角，

∠AOD是直角，∠AOE是銳角，

所以∠AOB＞∠AOC＞∠AOD＞∠AOE.(2)等量關系：∠COE＝∠EOD＋∠COD，∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE＋∠BOE，∠DOB＝∠COD＋∠BOC等．做一做如圖，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD與∠BOC的關系是(

)A.∠AOD＞∠BOC

B.∠AOD＜∠BOCC.∠AOD＝∠BOC

D.無法確定C

如圖，借助三角尺畫

15°、75°

的角.用一副三角尺，你還能畫哪些度數的角？試一試！DOC∠ABC

=

75°∠DOC

=

15°ABC45°30°E∠AEC

=

135°趣味三角板ABCACO∠ABC

=

105°∠AOC

=

120°∠EFG

=

150°EGF

活動：大家在練習本上畫一個角，然后把角的兩邊對折，展開以后你會發現折痕把角分成了兩個角，這兩個角有什么關系呢，它們又和原來的角有著怎樣的等量關系？觀察思考角平分線

在角的內部，以角的頂點為端點的一條射線把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.角平分線的定義因為

OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC

＝∠BOC=∠AOB或∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.幾何語言OBAC例3如圖，點

O為直線

AB上一點，OM，ON分別是∠AOC，∠BOC的平分線，求∠MON的度數．[解析]首先應確定∠MON的轉化問題：∠MON＝∠MOC＋∠CON，再結合角平分線的定義，易得到∠MOC＋∠CON＝∠AOB.

在有關角的計算中，幾何圖形與等式的性質同時使用，問題會迎刃而解．解：因為點

A，O，B在一條直線上，所以∠AOB＝180°.因為∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，所以∠AOC＋∠BOC＝180°.又因為

OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC.所以∠MOC＋∠CON＝(∠AOC＋∠BOC)

＝×180°＝90°.又因為∠MON＝∠MOC＋∠CON，所以∠MON＝90°.做一做如圖，∠AOB＝90°，OE，OC分別是∠AOD，∠DOB的平分線，則∠EOC＝________°.4521

如果兩個角的和等于一個直角，就說這兩個角互為余角(簡稱互余).如圖，可以說∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.定義余角和補角圖中給出的各角，哪些互為余角？15°24°66°75°46.2°43.8°試一試34

如果兩個角的和等于一個平角，就說這兩個角互為補角(簡稱互補).如圖，可以說∠3是∠4的補角或∠4是∠3的補角.定義圖中給出的各角，哪些互為補角？10°30°60°80°100°120°150°170°試一試思考：∠1與∠2，∠3都互為補角，∠2與∠3的大小有什么關系？12同角(等角)的補角相等結論：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等類似可得：∠α∠α

的余角∠α

的補角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°觀察與思考(90－x)°(180－x)°觀察可得結論：銳角的補角比它的余角大_____.90°例3如圖，∠1＝∠3，∠1與∠2互補，∠3與∠4互補，那么∠2與∠4有什么關系？

解：因為∠1與∠2互補，所以∠2＝180°

-

∠1.因為∠3與∠4互補，所以∠4＝180°

-

∠3.又因為∠1＝∠3，所以∠2＝∠4.1432例4如圖所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOB＝40°，求∠COD的度數．解：因為∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°.所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角.所以∠AOB＝∠COD.因為∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°.例5一個角的補角比它的余角的2倍多12°，求這個角的度數.

解：設這個角的度數為

x°，則所以它的補角為(180-

x)°，它的余角為(90-

x)°.依題意，得180-

x=2(90-

x)+12.解方程，得x=12.答：這個角的度數為12°.

如圖，將長方形

ABCD沿

EF折疊，C點落在

C′處，D點落在

D′處.若∠EFC＝119°，則∠BFC′為（）A.58°B.45°

C.60°D.42°解析：∵將長方形

ABCD沿

EF折疊，C點落在

C′處，D點落在

D′處，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°.A拓展提升1.如圖，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，則∠AOC＝___°.252.如圖，∠1＝∠3，那么（

）A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3C.∠AOC＝∠BOD D.∠1＝COABCD3.如圖，直線

AB，CD

相交于點

O，OA

平分∠EOC，∠EOC＝70°，則∠BOD等于(

)A．30° B．35°C．20° D．40°B

4.若一個角的補角等于它的余角的4倍，求這個角的度數.解：設這個角是

x°，則它的補角是(180°－x°)，余角是(90°－x°).根據題意，得180°－x°=4(90°－x°).

解得x=60.答：這個角的度數是60°.角的比較角的比較角平分線互余與互補度量法疊合法概念與角有關的和、差、倍、分的計算互余：兩角之和為直角互補：兩角之和為平角性質：同(等)角的補(余)相等謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上?！岸紫律碜雍蛯W生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師