2.7.2拋物線的幾何性質

學習目標核心素養

1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準

線等幾何性質.（重點）通過拋物線的幾何性

2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問質的學習，培養直觀

題.（重點'難點）想象、數學運算素養.

3.掌握直線與拋物線相交時與弦長相關的知識.

情境趣味導學情境導學。探新知預習素養感知

畬情境引入?助學助教

如果讓拋物線繞其對稱軸旋轉，就得到一■個旋轉形成的拋物面曲面，旋轉拋

物面的軸上，有一個焦點，任何一條平行于拋物面軸的光（射）線由拋物面上反射

出來之后，其反射光（射）線都通過該點，應用拋物面的這個幾何性質，人們設計

了很多非常有用的東西，如太陽灶、衛星電視天線、雷達等.當然這條性質本身

也是拋物線的一條性質，今天我們就來具體研究一下構成拋物面的線——拋物線

的幾何性質.

1.拋物線的幾何性質

y2=2px(py2=~2px(j)>x2=—

標準方程x1=2py(j}>0)

>0)0)2Pxp>0)

圖形

Z—%X

范圍

性質

對稱軸X軸y軸

頂點(0.0)

離心率e=l

思考1：拋物線f=2pyg>0)有幾條對稱軸？

［提示］有一條對稱軸.

思考2：拋物線的范圍是x?R,這種說法正確嗎？

［提示］拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y2=2pxg>o)的范圍是

xNO,yGR,故此說法錯誤.

思考3：參數p對拋物線開口大小有何影響？

［提示］參數對拋物線開口大小有影響，因為過拋物線的焦點R且

垂直于對稱軸的弦的長度是2p,所以"越大，開口越大.

2.焦點弦

設過拋物線焦點的弦的端點為A(xi,yi),B(X2,y2),則

y2=2px(p>0)\AB\=xi-\-X2~\-p

y2=~2px(p>0)\AB\=p—(xi+%2)

x2=2py(p>0)\AB\=yi+y2~\~p

f=-2py(p>0)\AB\=p—(y\+yi)

E初試身毛」

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)拋物線是中心對稱圖形.()

(2)拋物線的范圍為x?R.()

(3)拋物線關于頂點對稱.()

(4)拋物線的標準方程雖然各不相同，但離心率都相同.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

［提示］(l)x在拋物線中，以一X代X,一丁代y,方程發生了變化.

⑵x拋物線的方程不同，其范圍不同，>2=2e￥(/?>0)中工之0,yGR.

⑶x

(4)V離心率都為1,正確.

2.設拋物線y2=8x上一點P到y軸的距離是6,則點尸到該拋物線焦點R

的距離是()

A.8B.6C.4D.2

A[V拋物線的方程為＞2=8與

其準線/的方程為》=一2,

設點P(xo,yo)到其準線的距離為d,

則d=\PF\,

即[Pf]=d=xo—(―2)=xo+2,

?點P到y軸的距離是6,

??xo=6,

/.|PF|=6+2=8.]

3.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(xi,yi),B(xi,y2),若xi十

X2=6,則|A3|=.

8[y^=4x,2p=4,p=2.

?.?由拋物線定義知：|AF|=xi+l,IBF]=X2+1,

.,.|AB|=XI+X2+〃=6+2=8.]

4.頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方

程是_____

產=2以或V=—24x「.?頂點與焦點距離為6,即?=6,.?.2p=24,又對稱

軸為無軸，二.拋物線方程為＞2=24%或9=—24%.]

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學科素養形成

.類型1~由拋物線的幾何性質求標準方程

【例1】(1)平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,l),若線段。4的垂直

平分線過拋物線＞2=2pxS＞0)的焦點，則該拋物線的標準方程是.

(2)拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9X2+4/=36短軸所在的直線,

拋物線焦點到頂點的距離為3,求拋物線的方程及拋物線的準線方程.

(l)y2=5x[線段的垂直平分線為4x+2y—5=0,與x軸的交點為g,0),

.?.拋物線的焦點為ok其標準方程是y2=5x.]

(2)解：橢圓的方程可化為，+1=1,其短軸在x軸上，.?.拋物線的對稱軸

為x軸，

設拋物線的方程為y=2px或y2=-2px(p>0).

,：拋物線的焦點到頂點的距離為3,

即§=3,:邛=6,

拋物線的標準方程為y2=l2x或y2=~12x,

其準線方程分別為x=—3和x=3.

1.........規律c方法............................

用待定系數法求拋物線方程的步驟

提醒：求拋物線的方程時要注意拋物線的焦點位置.不同的焦點設出不同的

方程.

［跟進訓練］

1.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，其上一點尸到準線及

對稱軸距離分別為10和6,求拋物線方程.

［解］設拋物線方程為y2=2ax(a#0),點P(xo,yo).

因為點P到對稱軸距離為6,所以yo=±6,

因為點P到準線距離為10,所以xo+g=10.①

因為點尸在拋物線上，所以36=2axo.②

由①②,得1〃==92,

ci=-18,ci=-2,

或J或J

Lxo=_1lxo=-9.

所以所求拋物線方程為y2=±4x或y2=±36x.

、類型2拋物線性質的應用

【例2】(1)拋物線廿=以的焦點為R準線為/,點A是拋物線上一點，

且/4歹。=120。(。為坐標原點)，AKM,垂足為K,則△AKR的面積是.

(2)已知正三角形A03的一個頂點。位于坐標原點，另外兩個頂點A,3在

拋物線y2=2pxS>0)上，求這個三角形的邊長.

(1)4小[如圖，設A(xo,yo),

過A作軸于H,

在RtzXAfH中，尸H]=xo-1,

由NARO=120。，得/AFH=60。,

故yo=|A//]=V3(xo—1),

所以A點的坐標為

(xo,小(xo—1)),

將點A坐標代入拋物線方程可得3X6-1OXO+3=O,

解得xo=3或xo=；（舍），故&AKF=TX（3+1）X24=44.]

(2)解：如圖所示，設正三角形。43的頂點A,3在拋物線上，且坐標分別

為A(xi,yi),3(x2,>2),則y?=2/7XI,yi=2px2.

5L\OA\=\OB\,所以才+。=—+於,

即xi+2pxi—2pxi=Q,

整理得(xi—X2)(xi+%2+2p)=0.

Vxi>0,%2>0,2p>0,

/.X1=X2,由此可得|yi|=,

即線段AB關于無軸對稱.

由此得N49x=30。，

.‘A/3

所以yl=2Xi^與?=2pxi聯立，

解得yi=2事p.：.\AB\=2yi=4-y［3p.

利用拋物線的性質可以解決的問題

(1)對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.

(2)焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.

(3)范圍：解決與拋物線有關的最值問題.

(4)焦點：解決焦點弦問題.

提醒：解答本題時易忽略A,3關于x軸對稱而出錯.

IJ

［跟進訓練］

2.已知雙曲線最一，=l(a>0,少>0)的兩條漸近線與拋物線y2=22xS>0)

的準線分別交于A、5兩點，。為坐標原點，若雙曲線的離心率為2,△AOB的

面積為小，求拋物線的標準方程.

［解］由已知得/=2,所以一^2—=4,解得

即漸近線方程為y=土木x,而拋物線準線方程為x=一、,于是

R.坐p),從而AAOB的面積為與=小.

2，

可得p=2,因此拋物線開口向右，所以標準方程為>2=4%.

%類型3焦點弦問題

［探究問題］

以拋物線>2=28。>0)為例，回答下列問題：

(1)過焦點R的弦長|A為如何表示？還能得到哪些結論？

［提示］①|AB|=2(xo+3(焦點弦長與中點關系).

②|AB|=XI+X2+.='^^(6為AB的傾斜角).

2

③A,3兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即xrx2=/，y\-y2=~p.

④S"OB=^.

112

⑤而j+西=1(定值).

(2)以A3為直徑的圓與直線/具有怎樣的位置關系？

［提示］如圖，A3是過拋物線y2=2px(p>0)焦點R的一條弦，設A(xi,yi),

3(x2,yi),AB的中點M(xo,yd),相應的準線為/.

所以以A3為直徑的圓必與準線/相切.

(3)解決焦點弦問題需注意什么？

［提示］栗注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端

點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解.

【例3】已知拋物線方程為y2=2Rg>0),過此拋物線的焦點的直線與拋

物線交于A,3兩點，且履5|=|“，求A3所在直線的方程.

［思路探究］根據弦長求出直線斜率，進而求得直線方程.

［解］,?過焦點的弦長\AB\=^p,

.?.弦所在的直線的斜率存在且不為零，

設直線AB的斜率為左，且A(%i,yi),B(X2,yi).

\*y2=2px的焦點為期,0).

直線方程為外

y=l^x—^\,

由，I2）整理得

y=2px,

Fx2—（Jcp+2p）x+*p2=o（左wo）,

.?心P+2P

??XI十12一產,

,,l<^p+2p1

\AB\=x\+xi+p=記+〃，

又|A5|=|p,

.生母_5.

??F?p-2〃，??左一±2.

.,.所求直線方程為y=21甘）或y=—21一駕.

母題探究1

L（改變問法）本例條件不變，求弦A3的中點M到y軸的距離.

［解］設AB中點為Af（xo,yo）,

3

由例題解答可知2XO=XI+X2=V，

所以A3的中點M到y軸的距離為%.

2.（變換條件）本例中，若43在其準線上的射影分別為Ai,求NAifBi.

［解］由例題解析可知AB的方程為y=A（x—fj,

即

代入'2=2打消%可得y2=與y+p2,即,2—普y—p2=0.*__o

?-yiy2=-p.

由Ai點的坐標為（甘，yij,Bi點的坐標為［一多日，得kAiF=_彳kBiF

P'

：.kAiF-kBiF=^=-l,

P

：.ZAiFBi=90°.

「........規?法............................

解決過焦點的直線與拋物線相交有關的問題時，一是注意直線方程和拋物線

方程聯立得方程組，再結合根與系數的關系解題，二是注意焦點弦長、焦半徑公

式的應用.解題時注意整體代入思想的運用，簡化運算.

課堂知識夯實課堂小結。提素養雙基盲點掃除

必?備素養G

1.討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質，

也可以根據待定系數法求拋物線的方程.

2.解決拋物線的軌跡問題，可以利用拋物線的標準方程，結合拋物線的定

義.

3.拋物線y2=±2px（/?>0）的過焦點的弦長|AB|=xi+尤2+p,其中xi,X2分別

是點A,3橫坐標的絕對值；拋物線-=±20；防>0）的過焦點的弦長履3|=券+券

+p,其中yi,竺分別是點A,3縱坐標的絕對值.

4.求拋物線的方程常用待定系數法和定義法；直線和拋物線的弦長問題、

中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數的關系解決；拋物線的綜合

問題要深刻分析條件和結論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉化.

堂以致用G

1.若拋物線V=2x上有兩點A、3且A3垂直于X軸，若依3|=2啦，則拋

物線的焦點到直線AB的距離為（）

1111

C

A.2-B.4-6-D.8-

拋物線的焦點坐標為0）,則焦點

A［線段A3所在的直線方程為x=l,

到直線AB的距離為1—3=今]

2.在拋物線y2=i6x上到頂點與到焦點距離相等的點的坐標為()

A.(4隹±2)B.(±4隹2)

C.(±2,4也)D.(2,±4^2)

D[拋物線>2=i6x的頂點。(0,0),焦點網4,0),設P(x,y)符合題意，則有

y2=16x,[y2=16x,fx=2,

y+y2=(x—4)2+y2[x=2[y=±4-\[2.

所以符合題意的點為(2,±47