七種零點問題

i.轉化思想在函數零點問題中的應用

方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉

化為函數值域問題.

2.判斷函數零點個數的常用方法

⑴通過解方程來判斷.

(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.

⑶將函數y=f(x)—g(x)的零點個數轉化為函數y=/)與y=g(x)圖象公共點的個數來判斷.

3.正弦型函數的零點個數問題，可先求出零點的一般形式，再根據零點的分布得到關于整數%的不等式組，

從而可求相應的參數的取值范圍.

4.涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性、最值等，結合零點存在性定理，借助

數形結合思想分析解決問題.

5.函數零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令yu)=o,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間m，切上是連續不斷的曲線，且火編十力〈0,還必須結

合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不

同的值，就有幾個不同的零點.

6.對于復合函數丫=的零點個數問題，求解思路如下：

(1)確定內層函數u=g(x)和外層函數y=f(u);

⑵確定外層函數y=/(“)的零點冒==1,2,3,…,n)；

a

(3)確定直線u==1,2,3,…，〃)與內層函數u=g(x)圖象的父點個數分別為四、a2'<z3'n'則

函數y=/'S(x)]的零點個數為生+a2+a3+???+an-

Q能力拓展

題型一：零點存在定理法判斷函數零點所在區間

一、單選題

1.(2022?河南河南?三模(理))若實數8Zrc滿足Q=[0gl4,/=7,，則()

A.a<b<cB.b<c<a

c.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【分析1結合對數函數、函數零點存在性定理等知識求得正確答案.

,

【詳解】a=iogi4<logil=0

aa

b3=7<23,l<b<2'

對于函數/㈤=g_2>0)，

/1(%)在(0,+8)上遞增‘=in2-i<0,/(e)=i-i>o'

所以f(x)存在唯一零點x=c，ce(2,e)，使〃c)=0，

所以對于ac=2,有cw(2,e)，

r

所以a<b<c.

故選：A

2.(2022?黑龍江?雙鴨山一中高三期末(理))函數〃八_v12的零點所在的區間為()

j(X)=ZulX---------J

Cln2K0.693,Zn3?1.099,Zn5?1.609；

A-63,4；B-64,59C-65,6；D'68,9J

【答案】B

【分析】根據零點存在定理，先判斷函數的單調性，再計算函數在端點處的函數值，即可得到答案.

【詳解】1Q,由對數函數和基函數的性質可知，

J(X)=LIIIX---------0

函數在*e(0,+功時為單調增函數，

/(3)=21n3-i-3a2x1.099-J-3<0'f(4)=41n2—：一324x0.693--3=—0.478<O'

/(5)=21n5-i-3%2X1.609-1-3=0.018>0'

/(6)=21n6-i-3=2(ln2+Zn3)a2X1.792-i-3=0.414>O'

因為/'(x)在x€(0,+8)內是遞增，故f(8)>0J(9)>0，

函數是連續函數，由零點判斷定理知，的零點在區間(4,5)內，

故選：B.

3.(2022?北京密云?高三期末)心理學家有時使用函數“D=A(I一e-kt)來測定在時間r(加〃)內能夠記憶的

量L，其中A表示需要記憶的量，k表示記憶率.假設一個學生有200個單詞要記憶，心理學家測定在5min

內該學生記憶20個單詞.則記憶率卜所在區間為()

A?(哈B.(.熹

c.(總今)D.C，1)

【答案】A

【分析】先根據題意解方程，解出。_弘_9,在和端點值比較大小，由函數單調性和函數連續得到結果.

6---

10

【詳解】將4=200,t=5,L=2/弋入L(￡)=4(1_6-內)，解得：g-5&=2，其中y=單調遞減，而

10

(二)一4，(9)-4_10000v/而y=%-4在(0,+8)上單調遞減，所以/9，結合單調性可

知」119，HP±±5X士「9，而。-5X0_。0_1>9，其中y=e-5x為連續函

sx5Xc

e2<e3<e4<——e10<eis<e20V——c—e———y

in1010

數，故記憶率k所在區間為(0，/).

故選：A

4.(2022?河南焦作?一模(理))設函數〃x)=2》+工的零點為與，則”。e()

A-(-4,-2)B-(-2,-1)C.(i,2)D.(2,4)

【答案】B

【分析】根據零點存在性定理進行求解.

【詳解】易知/■(%)在R上單調遞增且連續.由于〃_4)=±<o"(-2)=三二v0,/(-1)=A-1>0,

當*>0時，/(x)>01所以Xoe

故選：B

5.(2021?江蘇?泰州中學高三階段練習)已知。=logz3,函數〃出=短+5％_4的零點為加

8門卜/-；--光的極小值點為c，則()

A-〃a)>f(b>>f(c)B-f(b}>f(a}>f(c)

C-f(b)>f(c)>f(a)D-/(c)>/-(?)>/⑻

【答案】A

【分析】求出c的值，利用零點存在定理得出￡(1三)，然后比較a、6c的大小關系，結合函數的單

調性可得出結論.

【詳解】因為f(x)的定義域為(0,+8)，/(切=/+乙>0'則函數"X)在其定義域上為增函數，

.1?3>16,則、4，貝以,3.>

,ee/工。ez>4f-62+In--4>0n

因為/6=e-4<0,由零點存在定理可知萬￡(］三)，

2,

由g'Q)=3x-x-l=0可得Xi=i+回X2=

當VV1-E或、.>1+E時>g'(x)>0;當vYV1+尺時'g'(x)<0-

￡￡￡6

所以，1+V13,..

=log22>/2<a=log23<log24-2'所以，0<c<1<b<a，故f(a)>f?>f(c>

故選：A.

6.(2022?安徽?安慶一中高三期末(理))函數f(x)=x+log2》的零點所在的區間為()

AG)B.仔|)C.?D.由)

【答案】B

【分析】依據函數零點存在定理去判斷〃x)=x+bg2》的零點所在的區間即可.

【詳解】fa)=X+bg2#為(0,+8)上的遞增函數，

/^=riog2-=--log23<--log22=--<0>

/(I)-7+^°92^-—~<0>

(y\725I1

^k.3j=3+1°§23=3-1O823=3^5_31O823^3^Og232-1Og227)>0

則函數〃x)=x+Eog2》的零點所在的區間為

故選：B

二、多選題

7.(2022?湖北?荊州中學高三開學考試)函數/(x)=《e4'-1)-&cosx在區間(09的最小值為-1,且在

區間G,唯一的極大值點X。.則下列說法正確的有()

Aj=lB.海已巧

CD.小。)<1

【答案】ACD

【分析】由題可得,(%)=_ae4-x+y/2sinx,由/'(三)=_1可知，/(E)=0，進而可求a=1，然后再證

明即得；再利用數形結合可得/(X)在行、上存在唯一的零點，利用零點存在定理及三角函數的性質即得.

匕，町

Cj\

【詳解】：f(x)=4e4'-1-6,COSX,

"fM=—ae4-x+^2sinx'

又函數f(x)=ae4X-1-0cosx在區間(0p)的最小值為-i,

函數在區間(0，上不單調，

/7tJt\

又f(￡)=ae44-1-V2cosy=-1,

44

_”時，函數在區間心n上取得最小值，

可得原條件的一個必要條件尸6)=0,

"f'(^)=-ae*-4+V2sinj=-a+1=0'即a=1'

下面證明充分性：

當a=l時，f(x)=e4-x—1—y/2cosx'f(x)=—e~x+y/2sinx'

々g(x)=-e+y/2sinx'則g'(x)=e'*~x+y/lcosx>0T

，函數/'(x)在(09上單調遞增，又/(0)=-><0J'c|)=-eR+&>0,

二函數/(x)在(03上存在唯一的零點”=X且在(0,5上尸(行＜。在>0-

函數〃”)在區間(°,的最小值為/￡)=_r

綜上，a=1故A正確；

*f(x)=-e4~x+\l2sinx"

々尸(x)=-e4-x+\/2sinx=0,得e~^~x-\/2sinx9

由函數圖象可知y='}"J=奩S。＞在區間(二百上只有一個交點，

即存在唯一X。屋㈤，使得e

34--34

又「『一…"…：4<0,故，3r

%。€(71，兀)

且當xeC，xo)時'尸G)>當*eQo,兀)時'f'M<0,

在區間C兀)上，唯一的極大值點10,

/(%)=-1-cosx0=5/2sinx0-1-\[2cosx0

=2sin(x0-^)-11

"Xn€f—7TYX——F(——9

%0tzi「叮Xn。4亡匕，J

f(x())—2sin[o-m)-1<2-1=1

故CD正確.

故選：ACD.

8.(2022?全國?高三專題練習)設函數)，=/(x)的定義域為上如果存在常數r(T#0),對于任意xeR,都

有f(x+?)=T"(a則稱函數y=/(x)是“類周期函數”，T為函數y=/(x)的''類周期".現有下面四個

命題，正確的是()

A.函數〃*)=3：是“類周期函數”

B.函數/(x)=d是“類周期函數”

C.如果函數f(x)=COS3X是“類周期函數”，那么"3=k兀，kez”

D.如果“類周期函數"y=/(x)的“類周期''為-1,那么它是周期為2的周期函數

【答案】ACD

【分析】根據類周期函數的定義，分別進行判斷即可.

【詳解】解：對于A,若函數f(x)=3一是“類周期函數”，

則存在非零常數7，使f(x+T)=T?/(%)，

即3_#一7=T,3-x,

即(T_3-7)?3r=0，即T-3T=0，

令g(T)=T-3-T，

因為g(0)=o-1=-1<0,5(1)=1-；=；>0,且函數g(T)在(0,1)上連續，

所以函數g(乃=T-3-7在(0,1)上存在零點，即方程7-3-r=0在(0,1)上有解，

即存在常數7(740),對于任意xeR,都有f(x+T)=TJ(X)，

所以函數〃*)=3：是''類周期函數”，故A正確；

對于B,若函數〃x)=x3是“類周期函數”，

則存在非零常數7，使f(x+T)=T.

即a+7)3=7,3,則_a+r)3,

r3

即將=匯工=]+工對任意的％恒成立，

xr

則T=0,矛盾，所以不存在常數7(7片0)，對于任意xeR,都有〃%+門=T.f(%)，

所以函數/(x)=d不是“類周期函數”，故B錯誤.

對于C,若函數〃x)=cos3”是“類周期函數”，

則存在非零常數T，使〃x+7)=T,/,(%)-

即cos((i)X+d)T)=Tcos(i)xi

故T=i或7=-i>

當T=1時，cos(a)x+to)=coso)x'由誘導公式得3=2kjrk6Z!

當T=—1時，cos(3X+3)=—cos3JC由誘導公式得3=(2k+l);rkEZ;

故"3=k兀，kez”，故c正確；

對于D,如果“類周期函數"y="*)的“類周期”為-】，

則〃4一1)=-f(xy即/(xTh-faxT-Ax+DX/a+i)；

故它是周期為2的周期函數；故D正確.

故選：ACD.

9.(2021?江西?模擬預測)已知實數mv〃<1，設方程(%_m)(x-n)+(x-m)(x-1)+(x-n)(x-1)=0

的兩個實數根分別為“1,七(不<處>則下列結論正確的是()

A.不等式(#一m)(x-n)+(x-m)(x-1)+(x-n)(x-1)<0的解集為(七,不)

B?不等式(%_；n)(x-n)+(x-rn)(x—1)+(x-n)(x-1)<0的解集可能為空集

CXi<m<x2<n<1

D-<Xi<n<x2<1

【答案】AD

【分析】構造二次函數=(X_m)(x-n)+(X-m)(x-l)+(x-n)(x-iy分析函數f(x)的圖象特

征即可判斷作答.

【詳解】令/'(x)=(x-m)(x-n)+(x-m}(x-1)+(x-/i)(x-1),xeRf

因m<n<1,則函數的圖象對稱軸x_m+n+lc(m])，且f(x)在(_8m+n+1)上遞減,在(m+n+1+②)

上遞增，

又/'(m)=(m-n)(?n-1)>0'f(n)=(n-m)(n-1)<0，f(l)=(1-m)(l-n)>0T

,

于是得函數/'(x)有兩個零點Xi,*2(Xi<x2y且滿足m<x1<n<x2<l不等式f(x)<0的解集為

所以A正確，B不正確，C不正確，D正確.

故選：AD

三、填空題

10.(2022?全國,高三專題練習)下列命題中，正確的是.(寫出所有正確命題的編號)

①在△48c中，A>8是sinA>sin3的充要條件；

②函數第一射工2,的最大值是1+2及；

③若命題“我eR，使得a/+(a-3)x+1W0”是假命題，則l<a<9；

①若函數〃*)=。/+歷：+*<2>0)，/(1)=_3則函數在區間?2)內必有零點.

【答案】①③④

【分析】①利用大邊對大角和正弦定理可證；②變形后利用基本不等式進行求解最大值；③先把命題否定，

得到對VxeR，a/+(a_3)x+i>o恒成立，分a=0與a蕓0兩種情況求出a的取值范圍；④先根據

得到得到〃2)=a-c，接下來分c>0與c<0,利用零點存在性定理得到答案?

【詳解】在△48C中，因為A>3,所以I『I,由正弦定理得：a_b，所以sinA>sinB,同理可證，

A^inR

當sinA>sin3時，，A>B9故在△ABC中，A>3是sinA>sin5的充要條件，①正確；因為％v1，所以

X-1<°,三V所以y=*_]+三+1=-[(1-x)+2]+1W-2V2+1,9且僅當(1_%)=E'

即x=l時，等號成立，所以函數y=x+二-(xV1)的最大值是1一2a，②錯誤；命題'\xeR，使

得a/+(a-3)x+1<0”是假命題，則對vxe/?-ax2+(a-3)x+1>0恒成立，當&=。時--3x+1>0

不恒成立，當&豐o時，只需(a>0>解得：1<a<9，綜上：若命題eR，使得a/+g-3)x+1W0”

14Vo

是假命題，貝"1<a<9；③正確；/(])=a+°+?=_￡，所以匕=_K_c'因為/(°)=。，

f(2)=4a+2b+c=4a+2(-苧—c)+c=a—c'與>°時’f(0)=c>0，因為a>0，所以

〃1)=_2<0,故外0)〃1)<0，由零點存在性定理得：在區間(。,1)上，至少存在一個零點，當cwo，

f(2)=a-c>0>〃2)〃1)<0,由零點存在性定理得：在區間(1,2)上至少存在一個零點，綜上：函數

在區間(0,2)內必有零點，④正確.

故答案為：①③④

11.(2022,全國?高三專題練習)已知函數〃均=(ax+2)ex-x，且a>-2,f'(x)為〃x)的導函數，下列

命題：

①存在實數a,使得導函數尸(%)為增函數；

②當a>0時，函數不單調；

③當一2<aW-l時，函數人均在R上單調遞減；

④當a=1時，函數〃%)有極值.

在以上命題中，正確的命題序號是.

【答案】①②③④

【分析】求尸(X),令a=0可判斷①；根據零點存性定理可判斷次0e(_2-20)使得「(%0)=0'可判斷

②；令g(x)=求g'(x)，由g，(x)的符號判斷g(x)的單調性，可求得g(x)<0恒成立即廣(X)<0恒成

立可判斷③；求尸(X)的單調性，根據零點存在性定理可知€(0,1)，使得f'(Xo)=0可判斷④，進而可得

正確答案.

【詳解】由/'(X)=(ax+2)ex—x可得/''(x)=(ax+a+2)ex-V

對于①，若a=0時，f'(x)=2ex_l為增函數，故①對；

對于②，若a>0時，尸(_2，)=_ae-2q_i<cff'(0)=a+l>0，

孔。6(_2_三,0)'使得廣("。)=0'所以函數〃%)不單調，故②對；

對于③，令g(x)=(ax+a+2)e*-1，則g'(x)=(ax+2a+2)e*，

當-2VaW-l時，由丁⑺>0得由gU)<0得x>-(2+|)

所以g(x)在卜°,-2-1)上單調遞增,在1上單調遞減,

從而g(x)e-(2+；)帚

要使“-(2+3-1W0,則令“一Q+9嗎=/所以e±+l，

，?n(t)=1-1(-1<t<0)<?n(t)=ef-

則6(t)在(_10J)單調遞減，在(也3°)單調遞增，

而皿-1)=乙+%-1<0'加(°)=—0—1=0所以血⑴W°怕成乂，從而g(x)e-(2+￡)即f'(*)W0

恒成立，即打燈在R上單調減.故③正確；

對于④，當。=1時，/=(%+3)e*-1，f"(x)=(%+4)靖，可知尸(%)=(x+3)e*-1在(一8,-4)單

調遞減，在(_4,+幻單調遞增，

因為尸(0)=2>0,

3x06(0,1)'使得尸(%)=0,所以函數〃%)有極值，故④對?

綜上所述：①②③④都正確，

故答案為：①②③④.

12.(2021?福建,三明一中高三學業考試)已知函數打")=2》_*_3的零點/€(卜/+1)化€2)，則

k=-------

【答案】-3或2

【分析】對函數f（x）求導，借助導數探討其單調性，再用零點存在性定理分析計算即得.

【詳解】對函數〃*）=2*-丫-3求導得：f'（x'）=2xln2-1-由/''（x）=0得2工=log?e，解得

x=log2（log2ep

當x<1。92（1。92e）時，f'（x）<0，當%>logzQo&e）時，f'（x）>0?于是得“x）在（—8,log?（log?e））上

遞減,在（Yog2（log?e）,+s）上遞增，

顯然，/（_3）=：>0j（_2）=_：vo'則函數在區間（一3「2）上存在一個零點，

又/'（2）=-1<0J（3）=2>0>即函數f（x）在區間（2,3）上存在一個零點，

因函數〃x）=2丫一%-3的零點/e（k.k+l^kezy則上=-3或4=2-

所以&=-3或k=2-

故答案為：-3或2

13.（2022.全國.高三專題練習）已知〃方均為正實數，且滿足「丫，廠則下面四個

u2

a⑺=log2a-logio

判斷：①①（a-/f）>0；②2-a<1；④log2a>0>】og2b.其中一定成立的有一（填序號即可）.

nh

【答案】②③④

【分析】令/（x）=（；）'-log2X,利用零點存在性定理可得ae（l,夜），be（03,從而可得<夜，然后

利用不等式的性質和函數的單調性逐個分析判斷

【詳解】令/（?=（3）*-108/,則f（x）在（o,+8）上單調遞減，

因為f⑴⑵=G）隹-32在=自叫<0，G）a=l°g2（J>

所以ae（l,夜）.

I.],,]i

岡，b>0，Inq..。￡（0,5）,

?-<a-b<\/2,

"2

①：?.?5（Q—b）可能小于等于0，.??①錯誤，

②：???b—QV0，/.zj<2°=1，，②正確，

③：?.?a>b>0,.*.11,o11,...③正確，

ahnh

（4）：vaed,^）,log,a>0,

,.,be（0,；）,loga<0,.1log2a>0>log2b....④正確，

故答案為：②③④.

14.（2020?湖南邵陽?三模（理））在數學中，布勞威爾不動點定理是拓樸學里一個非常重要的不動點定理，

它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，簡單來講就是對于滿足一定條件的連續函數〃”）,

存在一個點x°，使〃X。）=%,那么我們稱該函數〃X）為“不動點”函數，給出下列函數:①〃x）=*2+2*_4；

②_(2x2,x<1③/'(x)=e*+2。—1)；?f(x)=ax-Inx-a0<a<1⑤f(x)=x+?；其

f(x)=(|3-2x|,x>1r

中為“不動點”函數的是.（寫出所有滿足條件的函數的序號）

【答案】①②③④

【分析】對于選項①②⑤，直接代入求解即可判斷；對于選項③④，先根據條件構造函數，判斷函數的單

調性，利用零點存在性定理判斷即可.

【詳解】?f(x)=x2+2x-4=X,

得2,4-1+g或-1-g滿足條件，

X2+X_4=Qn^X=___X=—^

故①滿足題意；

②〃赤=[2x2,x<1>

/W-(|3-2x|.x>l

當x<1時，2x2=xnx=0或％—

當x>1時，|3-2x|=x=>(3-2x)2=x2=>x=1或x=3,即x=3;

滿足條件，故②滿足題意；

③=靖+2(x-1)=》，

令g(x)=e*+x-2，易知g(x)為"上的增函數，

又g(0)=e°+0-2<0,g(l)=e1+1-2>0，

由零點存在性定理得g(X)在區間(0,1)存在唯一的零點.

故③滿足題意；

④/'(x)=ax-Inx-a(。<。<1)，

ax-Inx-a=x=>Inx+(1—a)x+a=0，

令h(x)=Inx+(1-a)x+cr

Xo<a<l,則i_a>0，

易知似x)為(0,+8)上的增函數，

‘h(：)-In：+—a)+a――2，n2+ja+；v0,力(1)=In1+1—a+a-1>0

由零點存在性定理得/〈X）在區間G0存在唯一的零點.

故④滿足題意；

⑤“乃二”+:二^一::^無實數解，

故⑤滿足題意；

故答案為：①②③④.

【點睛】本題主要考查了對布勞威爾不動點定理的理解，考查了零點存在性定理；考查學生的邏輯推理能

力，運算求解能力.屬于中檔題.

15.(2020?全國?高三專題練習(理))函數火x)=l+x--+《，^(x)=l-x+^-—,若函數F(x)=/(x+

73T3

3)g(x—4),且函數F(x)的零點均在［a,h］(a<hta,Z?￡Z)內，則b—。的最小值為.

【答案】10

【分析】分別求出7U)、g(x)零點所在區間，即可得到次x+3)、g(x—4)的零點所在區間，結合題意，即可得

到b—a的最小值.

【詳解】；/(x)=1+X-/+4，

T3

?,f(x)=1一%+%2，

.fG)=1-X+/=(X_今2+：>0怛成立，

.W)=l+x—/+二在R上是單調遞增函數.

73

?"0)=1>0,"1)=5"

--《U

￡

，兀0在區間［―1,0］上存在唯一零點，

.\/(x+3)在區間［―4,一刃上存在唯一零點；

又?/g(x)=1—x+/一二，

T3

."dM=—1+x—x2'

=-l+x-x2=-(x-i)2-；<o恒成立，

，g(x)=l—x+*z—土在R上是單調遞減函數，

T3

；g(2)=_三<0,?1)=2>0，

R￡

.?.g(x)在區間［1,2］上存在唯一零點，

???g(x—4)在區間［5,6］上存在唯一零點，

由F(x)=/(x+3)g(x-4)=0,得犬x+3)=0或g(x-4)=0,

故函數尸(x)的零點均在［—4,6］內，

則b-a的最小值為10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查利用導數判斷函數的單調性、函數零點與方程，考查分析理解，求值計算的能力，屬中

檔題.

四、解答題

16.(2022?陜西西安?高三階段練習(文))已知函數〃刈=2-2*_&-(e為自然對數的底數，。eR).

(1)若a=_l，求證：f'(x)在區間(0/)內有唯一零點；

(2)若〃")在其定義域上單調遞減，求a的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析；⑵02e].

【分析】(I)把a=_1代入，求出f(x)并探討其單調性，再結合零點存在性定理判斷作答.

(2)利用給定單調性建立不等式，再分類分離參數，構造函數，討論求解作答.

(1)當a=—1時，/(%)=e~2x+x2'求導得:f'(x)=-2e~2x+2x'<p(.x)=—2e~2x+2xf

則W'(x)=4e-2x+2>0,則函數0(為在R上單調遞增，即函數/(%)在R上單調遞增，

而r(0)=_2<0,r(i)=_2eT+2=2(l—之)>0'由函數零點存在性定理知，存在唯一工。€(0,1)，

有f'(%)=0'

所以f'(x)在區間(0,1)內有唯一零點.

(2)函數〃%)=?-2*_的定義域是R,依題意，vx€R，f'(x)=-2e-2x_2axW0成立，

當x=0時，一2M湃立，aWR，

當x>0時，&2-三^^g(x)=--x>0，g'(x)=竽卷>0'即函數g(x)在(0,+力)上單調遞增，

又當x>0時，g(x)<。恒成立，于是得aNO，

2x

當X<0時，e->令人，、e-2K,X<0,.2x+l,當v々1時，〃(x)<(),當1,

a<---九(x)=---=-；<x<0

力’(x)>0)

因此，Mx)在/“1、上單調遞減，在,1的上單調遞增，當v1時，，于是得a<2e，

(_oo__)(--,0)X=h{x)-eminaaze

綜上得：0WaW2e，

所以a的取值范圍是[■0,2e].

【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以探討函數的最值，借助函數最值轉化解決問題.

17.(2022?貴州遵義?高三開學考試(理))已知函數〃*)=(/_3、+3沖-"2+以-2>。)-

(1)討論〃X)的導函數尸(劃零點的個數；

(2)若〃x)的最小值為e，求。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析；(2%<6_2e.

【分析】⑴對/■(%)求導有尸(x)=(x—l)(rex-d)(x>0>再研究g(%)=xex-a(x>0)的單調性,結

合尸(1)=0及零點存在性定理，討論〃的范圍判斷尸(%)零點的個數?

(2)討論a<O'0<a<e'a=e、a>e結合/(%)的符號研究/'(*)的單調性并結合f(i)=e求參數a

的范圍.

(Df'(x)=(x2—x)ex—a(x—1)=(x—l)(xex—a)(x>0)，

令g(x)=xe*—a(x>0)，則g'(x)=(x+l)e*>0，故g(x)在(0,+8)上單調遞增，而/1'(1)=0，

當a<。時，xe*=a無解；

當0<a<e時，由g(°)=—“<°，,g(l)=e_a>0，故xe^=a有一個在(°,1)上的解；

當a=e時，山g(l)=0，故xe*=a的解為1；

當a>e時，由g⑴=e-a<0，g(a)=a(ea-1)>0,故*/=(2有-一個在。，口)上的解；

綜上，當aw湃a=e時，導函數/''(%)只有一個零點.

當0<a<e或a>e時，導函數/(%)有兩個零點?

(2)當.<0時，x/一a>0,則函數在x=1處取得最小值〃1)=e.

當a>0時，由(1)知：g(x)在(0,+8)上單調遞增，則必存在正數x。使得與靖。_。=0

右a>e則X。>1'在(0,1)上右。*。-a<0'則f'(x)>0,在(1,%)上/靖。一a<0,則f'(x)>0,在(x(),+8)

上*0。*。—a>0,則尸(x)<0)

所以〃x)在(0,1)和(Xo,+8)上單調遞增，在(l,x0)上單調遞減，又〃i)=e，不合題意―

若a=e則*0=1，在(0,+8)上r(x)w0，則在(0,+8)上單調遞增，又(⑴=e，不合題意.

若0<a<e則0<x0<1>在W上-a<0,則/(x)>0>在(x(),1)上與靖。—a>0?則/(%)<0>

在(1,+8)上與靖。一a>0，則f'(*)>(?

所以〃*)在(0,七)和上單調遞增，在|可|上單調遞減,則〃o)=3,2〃l)=e'

解得aW6-2"即0<aW6-2e-

綜上，Q<6—2e-

題型二：方程法判斷零點個數

一、單選題

1.(2022?福建福州?三模)已知函數〃亦_絲至，以下結論中錯誤的是()

A.是偶函數B.有無數個零點

C.〃*)的最小值為D.f(x)的最大值為1

【答案】C

【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令f(x)=0可確定B正確；根據〃*)定義域為距〃])=_1,可

知若最小值為則％=1是/'(x)的一個極小值點，根據尸(1)：5to可知C錯誤；由*=0時，cos兀％取得最

大值，/+1取得最小值可確定D正確.

【詳解】對于A,.../'(X)定義域為R，cos(-7TX)_cosnx

f(一%)=(-x)2+lx2+l=f^y

為偶函數，A正確；

對于B，令/1⑺=。，即cos/rx=0，.?.兀X=7+kW)'解得：*;+k(kez)'

...f(x)有無數個零點，B正確；

對于C,若f(x)的最小值為_三，則x=1是〃*)的一個極小值點，則f(1)=0

2

(7rx+7r)sinnx+2xcosnxf2nsinTT+2COSIT1c，

???/'(*)=3+1)2--7#0

-x=I不是f(x)的極小值點，C錯誤；

對于D,...<cosnx<1'x2+1>1!

則當C0S7TX=1，*2+1=1，即x=0時，取得最大值1，D正確.

故選：C.

2.(2022?北京.模擬預測)已知函數〃*)=COS2X+COSX，且xe［0,2兀］，則〃*)的零點個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】解三角方程求得的零點即可解決

【詳解】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx—1=(cosx+1)(2cosx-1)=0

可得cosx=—1或cosx=：'又xe［0,2兀>則x=zr或*=￡，或*=史

則的零點個數為3

故選：C

3.(2022?安徽?蕪湖一中一模(理))聲音是由物體振動產生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數.若

某聲音對應的函數可近似為〃丫、_sinx+%E2￡則下列敘述正確的是()

7

A.丫=2為“工)的對稱軸B.(衛0)為/■(*)的對稱中心

7

C.〃燈在區間［gio］上有3個零點D.在區間［文衛］上單調遞增

【答案】D

【分析】利用/?(%+&)=〃&_*)知〃*)關于直線*=(1對稱的性質驗證人；求得/(巴)=_i#0可判斷B；

化筒f(*)=sin*(1+cosx)，令/'(x)=0，得x=k兀(keZ)，進而判斷C；利用導數研究函數的單調性可

判斷D.

【詳解】對于A,由已知得/(兀-%)=5)(衣一乃+卜加2(兀一%)=5出彳—、力2￡即〃兀一%)羊f(x)，

故f(x)不關于x=￥對稱，故A錯誤；

對于B,rTF.3?r1.，故B錯誤；

f(/3^―\J=sin--^-sinQ3n=-11.0

對于C,利用一倍角公式知=sinx(l+cos%)'令f(x)=0得sizix=0或cosx=—lf即-=kn(keZ>

所以該函數在區間［0,10］內有4個零點，故C錯誤；

對于D,求導尸(x)=cosx+cos2x=2cos2*+COSX-r令I-由xc［空衛］'知tE［二］］'即

g(t)=2r+t-\,利用二次函數性質知g(t)>0,即廣3)2:0,可知〃X)在區間Xe[2X]上單調遞增，故

D正確；

故選：D.

4.(2022?全國.高三專題練習)已知函數(|x|+2x<l，則函數y=/(x)Txl零點個數為()

/)=x+，Nl.’

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】當x<1時和％>1時，分別化簡函數y=/(x)-l*l的解析式可直接判斷零點的個數.

【詳解】當“<1時，y=|x|+2_|x|=2,所以不存在零點；

當X>1時，,_丫+2|“_2,也不存在零點，所以函數y=/(x)-|x|的零點個數為0.

―L—X---X---->U

XY

故選：A.

二、多選題

5.(2022?海南海口.模擬預測)已知函數〃、1x1+1,則()

ra)=

A.的定義域為RB.是奇函數

C./?(%)在(0,+8)上單調遞減D.〃%)有兩個零點

【答案】BC

【分析】根據函數解析式，結合函數性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：/'(x)的定義域為｛x|x于0)，A錯誤；

對B：n閨+1_/對,且定義域關于原點對稱’故f(x)是奇函數，B正確；

對C：當x>0時，〃幻=注=1+2,單調遞減，C正確；

對口：因為x彳0，|x|+1>0，所以/■(*)=()無解，即f(x)沒有零點，0錯誤.

故選：BC

6.(2022?全國?高三專題練習)已知函數”x)=(sEx+cosx).|sEx—cosx|，下列說法正確的是().

A.是周期函數

B-若|f(Xi)|+|f(*2)l=2，則西+馬=修(k€Z)

C.〃%)在區間|_2勺上是增函數

D.函數g(x)=fM+1在區間027rl上有且僅有一個零點

【答案】AB

【分析】寫出f(x)的分段函數形式，A應用正余弦函數的性質判斷的周期性，B由已知可得

\cos2xr\=\cos2x2\=1,則2*i=的兀，2八=心兀(儲,七eZ),即可判斷正誤；根據解析式，應用特殊

值法判斷C、D的正誤.

【詳解】將函數化作分段函數,即_c—cos2x,sinx>cosx^

八-Icos2x.sinx<cosx

A，f(x+2JT)=[sin(x+2zr)+cos(x+2TT)1?\sin(x+2TT)-cos(x+2兀)|=f(x)'

是周期為2兀的函數，對；

B，山|f(》i)|+|f(X2)l=2得=|〃X2)1=「則|cos2%i|=|cos2%2l=「

此時2%1=3小2七=k27r(的,k2WZ)，可得X]?x?—(M+叼加，對；

c,由解析式得,(0)=/6)=-“X)在[_工口上不單調，錯；

D，由解析式知“7r)=/(玄)=_1，即0(%)=〃；0+1在02川上至少有兩個零點，錯?

故選：AB.

7.(2022?全國?高三專題練習)若〃x)和勺口)都是定義在R上的函數，且方程/}(*)]=*有實數解，則下列

式子中可以為gV(x)]的是()

A./+2x*+1

C.ecosxD.ln(|x|+l)

【答案】ACD

【分析】由方程f}(*)]=x有實數解可得gVb(x)]}=g(x)，再用工替代g(x)，即x=g[/(x)]有解，逐個

判斷選項即可得出答案.

【詳解】

由方程fb(x)]=x有實數解可得g{/ba)])=g(x)，再用工替代g(x)，即x=g[/(x)]有解?

對于A,x=x2+2x,即％2+x=0,方程有解，故A正確；

對于B，x=x+i-即0=1，方程無解，故B錯誤；

對于C,當面憐力(x)=es--x,因為〃0)=e>0，=

由零點的存在性定理可知，h(x)在(0,上存在零點，所以方程有解，故選項C正確;

對于D,當|岡]時,%=0為方程的解，所以方程有解，故選項D正確.

故選：ACD.

8.(2022?全國?高三專題練習(理))關于函數f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四個結論，貝U()

A.是偶函數B.的最小值為-1

C.在「2兀,2淚上有4個零點D,〃*)在區間C#單調遞增

【答案】ABC

【分析】對A：根據偶函數的定義即可作出判斷;對B：由有界性O<|C0SX|<i，-i<Sin|x|w1，且*=空

時+|cosx|=-1即可作出判斷；對C：當％E。2兀］時，(sinx+cosx,0<xf可得

/(x)=<sinx-cosx<x<y

ysinx+cosx,§vxv27r

函數〃%）有兩個零點，根據偶函數的對稱性即可作出判斷；對D：當代停,兀）時'

一、.（Try利用三角函數的圖象與性質即可作出判斷.

【詳解】解：對A：因為f（T）=sin|T+|cos（r）|=sin|x|+|co川=f（x）,