第16講第三章一元函數的導數及其應用（提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習）設函數在R上可導，則（

）

A． B． C．3 D．以上都不對2．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）點P在曲線上移動，設點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（

）A．[0， B． C． D．[0，3．（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．24．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知是函數圖象上的任意一點，是直線上的動點，則之間的最短距離是（

）A． B． C． D．5．（2023春·浙江金華·高二?？茧A段練習）設三次函數的導函數為，函數的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（

）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為6．（2023春·安徽六安·高二?？茧A段練習）已知偶函數在上存在導函數，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．（2023春·河南·高二校聯考階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．8．（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學校考階段練習）若關于x的不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023春·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學?？奸_學考試）設是函數的導數，若，且，，則下列各項正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023春·河北保定·高二河北省唐縣第二中學?？茧A段練習）已知定義在區間[a,b]上的函數，是的導函數，若存在，使得．則稱ξ為函數f（x）在[a,b]上的“中值點”．下列函數，其中在區間上至少有兩個“中值點”的函數為（

）A． B．C． D．11．（2023·全國·高三專題練習）e是自然對數的底數，，已知，則下列結論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．（2023·吉林·統考二模）如圖，函數的圖象稱為牛頓三叉戟曲線，函數滿足有3個零點，，，且，則（

）A． B． C． D．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中?？茧A段練習）已知函數，則________．14．（2023·云南紅河·統考二模）若是函數的極小值點，則函數在區間上的最大值為______．15．（2023·山東濟南·一模）機器學習是人工智能和計算機科學的分支，專注于使用數據和算法來模仿人類學習的方式．在研究時需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式．兩點的閔氏距離為，其中為非零常數．如果點在曲線上，點在直線上，則的最小值為_____________．16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其單調增區間為_______；若對于，都有，則的取值范圍是______.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知函數.(1)求的極值；(2)設函數，討論的零點個數.18．（2023春·天津東麗·高二天津市第一百中學?？茧A段練習）已知函數，，（是自然對數的底數）(1)若在點處的切線方程為，求實數a的值(2)求的單調區間(3)若恒成立，求實數a的取值范圍19．（2023春·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學校考階段練習）已知函數，.(1)求函數的單調區間；(2)若函數有最小值，求a的取值范圍.20．（2023·陜西安康·統考二模）已知，(1)討論的單調性；(2)當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍（為自然對數的底數）21．（2023春·江西贛州·高三統考階段練習）已知函數.(1)當時，討論的單調性.(2)證明：①當時，；②，.22．（2023春·上海寶山·高三統考階段練習）已知函數，其中實數，，．(1)時，求函數的極值點；(2)時，在上恒成立，求b的取值范圍；(3)證明：，且時，經過點作曲線的切線，則切線有三條．第16講第三章一元函數的導數及其應用（提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習）設函數在R上可導，則（

）

A． B． C．3 D．以上都不對【答案】A【詳解】因為，所以.故選：A.2．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）點P在曲線上移動，設點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（

）A．[0， B． C． D．[0，【答案】D【詳解】因為，所以，因為，所以，又，所以，故選：D.3．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】.故選：B.4．（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）已知是函數圖象上的任意一點，是直線上的動點，則之間的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設為函數上一點，且以點為切點的直線與直線平行，由，則，由已知有，解得或(舍去)，則之間的最短距離為點到直線的距離，由點到直線的距離公式，故選：A.5．（2023春·浙江金華·高二?？茧A段練習）設三次函數的導函數為，函數的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（

）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為【答案】D【詳解】當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；故三次函數在上單調遞增，在上單調遞減，可得的極大值為，極小值為.故選：D.6．（2023春·安徽六安·高二校考階段練習）已知偶函數在上存在導函數，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，由于為偶函數，則，因為，所以為奇函數，所以，因為當時，，即，即，所以當時，，所以在上單調遞增，因為在上為奇函數且在上具有導函數，所以在內單調遞增，因為，所以，又等價于，所以，解得或，綜上所述，的取值范圍為.故選：B.7．（2023春·河南·高二校聯考階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設，，則有，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以，，即有，．令，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以，即，故，，令，有，可得函數單調遞增，故有，可得，可得，故，綜上所述，．故選：B．8．（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學校考階段練習）若關于x的不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據題意知，，即，令，則在上恒成立，由，在上；在上，所以在上遞增；在上遞減，且，在上，上，而，當時，，成立；當時，根據在上單調遞增，在上恒成立，綜上所述：只需滿足，即，令，則在上恒成立，即在上遞增，故，綜上所述：a的取值范圍為．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023春·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學?？奸_學考試）設是函數的導數，若，且，，則下列各項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由知，在R上單調遞增，則,故A正確；恒有，即，所以的圖象是向上凸起的，如圖所示，由導數的幾何意義知，隨著x的增加，的圖象越來越平緩，即切線斜率越來越?。ㄐ甭蕿檎?，故B正確，設，則，所以由圖象知，故D正確，C錯誤，故選：10．（2023春·河北保定·高二河北省唐縣第二中學?？茧A段練習）已知定義在區間[a,b]上的函數，是的導函數，若存在，使得．則稱ξ為函數f（x）在[a,b]上的“中值點”．下列函數，其中在區間上至少有兩個“中值點”的函數為（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】對于A選項，，，由，所以，，當時，，如下圖所示：由圖可知，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，A選項滿足條件；對于B選項，，，由，所以，，因為函數在上單調遞增，故方程在上不可能有兩個根，B不滿足條件；對于C選項，，，由，可得，解得，故函數在上只有一個“中值點”，C選項不滿足條件；對于D選項，，，由，可得，故函數在上有兩個“中值點”，D滿足條件.故選：AD.11．（2023·全國·高三專題練習）e是自然對數的底數，，已知，則下列結論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【詳解】原式變形為，構造函數，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調遞減，在上單調遞增，對于A：取，則∵在上單調遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.12．（2023·吉林·統考二模）如圖，函數的圖象稱為牛頓三叉戟曲線，函數滿足有3個零點，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】，令，則；令，則且；的增區間為：，減區間為：與，對于A選項：且有三個零點，，即A選項正確；對于B選項：當時，，即，，，在上單調遞減，，即，即B選項錯誤；對于C選項：令，.，在上遞減，即.，，.，，又在上單調遞增，，即，即C選項正確；對于D選項：，，即，，，，令，，則，令，則，令，解得，令，解得，即在上單調遞減，在上單調遞增，則在上的最小值為，故，故D選項正確.故選：ACD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中校考階段練習）已知函數，則________．【答案】【詳解】解：由題意知，令，解得．故答案為：-114．（2023·云南紅河·統考二模）若是函數的極小值點，則函數在區間上的最大值為______．【答案】##【詳解】由，得，因為是函數的極小值點，所以，即，即，解得或．當時，，當或時，，當時，，所以，在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，不符合題意；當時，，當或時，，當時，，所以在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值點，是函數的極大值點，故又因為，，所以函數在的最大值為．故答案為：．15．（2023·山東濟南·一模）機器學習是人工智能和計算機科學的分支，專注于使用數據和算法來模仿人類學習的方式．在研究時需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式．兩點的閔氏距離為，其中為非零常數．如果點在曲線上，點在直線上，則的最小值為_____________．【答案】【詳解】設，，則，令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，；即；當時，；當時，；當時，；綜上所述：的最小值為.故答案為：.16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其單調增區間為_______；若對于，都有，則的取值范圍是______.【答案】

【詳解】，，令，得出，故的單調增區間為.時，，單調遞減，設，即可轉化為，令，在上單調遞增，不等式才能恒成立，則，解得.令，時單調遞增，時單調遞減，，.故答案為：，.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知函數.(1)求的極值；(2)設函數，討論的零點個數.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2)詳見解析.【詳解】（1）因為，則，由，可得，由，可得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處有極大值，極大值為，無極小值；（2）因為，所以，由，可得或，由，可得，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數有極大值，當時，函數有極小值，當時，，當時，∴當或，即或時，有一個零點，當或，即或時，有兩個零點，當且，即，有三個零點，綜上：當或時，有一個零點；或時，有兩個零點；，有三個零點.18．（2023春·天津東麗·高二天津市第一百中學校考階段練習）已知函數，，（是自然對數的底數）(1)若在點處的切線方程為，求實數a的值(2)求的單調區間(3)若恒成立，求實數a的取值范圍【答案】(1)(2)當時，函數的單調遞增區間為，無減區間；當時，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.(3)【詳解】（1）因為，定義域為，所以，所以，又直線的斜率為，由導數幾何意義得，解得.（本問也可直接把點代入直線方程直接求解）（2）因為函數的定義域為，且，當時，，所以函數的單調遞增區間為，無減區間；當時，令，得，令，得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；綜上，當時，函數的單調遞增區間為，無減區間；當時，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）因為恒成立，即恒成立，則恒成立，所以恒成立，記，則，令，得，令，得，令，得，列表如下：↗↘所以函數的極大值也是最大值為，由恒成立得，所以.19．（2023春·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學?？茧A段練習）已知函數，.(1)求函數的單調區間；(2)若函數有最小值，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1），令，即，，當，即時，，即，所以函數在上是增函數，當，即時，方程的解為，當或時，，當時，，所以函數的單調增區間為，減區間為，綜上所述，當時，函數在上是增函數；當時，函數的單調增區間為，減區間為；（2）由（1）可得當時，函數在上是增函數，所以當時，函數沒有最大值，當時，函數的單調增區間為，減區間為，所以，，當時，且，當時，，因為函數有最小值，所以，即，解得，所以a的取值范圍為.20．（2023·陜西安康·統考二模）已知，(1)討論的單調性；(2)當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍（為自然對數的底數）【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1），當時，，所以在上單調遞增，當時，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在