第06講拓展一：平面向量的拓展應用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：典型例題剖析 1高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題 1角度1：兩個向量所成角為銳角 1角度2：兩個向量所成角為鈍角 4高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題 7方法一：定義法 7方法二：幾何法 10方法三：三角不等式法 17方法四：坐標法 19方法五：轉化法 24高頻考點三：平面向量數量積最值（或范圍）問題 29方法一：定義法 29方法二：向量數量積幾何意義法 35方法三：坐標法（自主建系法） 41方法四：積化恒等式法 47第一部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題角度1：兩個向量所成角為銳角典型例題例題1．（多選）（2023春·河南·高一河南省實驗中學校考階段練習）設向量若與的夾角為銳角，則實數的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．9例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考階段練習）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.例題3．（2023春·山西運城·高一康杰中學校考階段練習）已知：?是同一平面內的兩個向量，其中=（1，2），(1)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍；(2)求在上投影向量.練透核心考點1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為__．2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學校考階段練習）已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實數m的取值范圍．3．（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐標．（2）已知，若的夾角為銳角，求的取值范圍.角度2：兩個向量所成角為鈍角典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二校聯考階段練習）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學校考階段練習）已知，則向量與向量的夾角為鈍角時的取值范圍是__________．例題3．（2023·河南南陽·高三南陽中學校考階段練習）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是______．練透核心考點1．（2023春·江蘇·高一校聯考階段練習）已知，，若的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023春·天津和平·高一校考階段練習）已知，若與的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍為___________.3．（2023春·江蘇徐州·高一校考階段練習）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為_________．高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形中，，點，分別為邊，上的動點，，其中，點，分別為，的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）在中，，，點滿足，，則的最小值為______.例題3．（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習）已知向量，滿足：，，，則______；若為非零實數，則的最小值為______．例題4．（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯考階段練習）已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實數，則的最小值為____________．練透核心考點1．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學校考階段練習）已知平面向量，的夾角為，且，，，其中，則的最小值為______．3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）設向量滿足.與的夾角為60°，則的取值范圍是____.方法二：幾何法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學校考階段練習）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2例題3．（多選）（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中校考階段練習）若均為單位向量，且，，則的值可能為（

）A．－1 B．1 C． D．2例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是_____________練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2．（多選）（2023秋·廣東·高三校聯考期末）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B．6 C．4 D．3．（多選）（2023·遼寧·高二校聯考開學考試）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B． C．2 D．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考）已知向量，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為________.方法三：三角不等式法向量模的三角不等式來求解：.典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知為等邊三角形，，所在平面內的點滿足，的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三對口高考）設為單位向量，若向量滿足，則的最大值是____________．練透核心考點1．（2023·安徽安慶·高一安慶一中校考）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.2．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中校考）已知向量，滿足，，則的最小值是______，最大值是______．3．（2023·浙江寧波·高三校聯考階段練習）已知向量，，滿足，，，，若，則的最小值為__________，最大值為____________．方法四：坐標法典型例題例題1．（2023·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學校考階段練習）已知邊長為1的正方形位于第一象限，且頂點，分別在，的正半軸上（含原點）滑動，則的最大值是（

）．A．1 B．2 C．3 D．例題2．（2023·四川資陽·統考模擬預測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.例題3．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，為坐標原點，的坐標為，點為動點，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為________．例題4．（2023·貴州銅仁·高一校考階段練習）已知向量，，其中，.(1)當時，求的取值范圍；(2)當時，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥東縣第二中學校考階段練習）已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是___________2．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考）已知平面直角坐標系中，向量，.(1)若，求x；(2)當時，求的最小值3．（2023·浙江寧波·高一寧波市北侖中學校考）已知，向量，，是坐標平面上的三點，使得，.(1)若，的坐標為，求；(2)若，，求的最大值.4．（2023·安徽宣城·高一校考階段練習）已知向量，．（1）求的坐標以及與之間的夾角；（2）當時，求的取值范圍．方法五：轉化法典型例題例題1．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學校考）已知向量滿足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·陜西西安·高一陜西師大附中校考）已知向量，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學校考）已知平面向量滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題4．（2023·廣東·高三統考階段練習）若向量，，，且，則的最小值為_________．練透核心考點1．（2023·浙江杭州·高一校聯考）已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽銅陵·高三銅陵一中校聯考階段練習）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．3．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江舟山·高三舟山中學校考階段練習）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

高頻考點三：平面向量數量積最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯考階段練習）如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點在圓上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇南京·高一金陵中學校考階段練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是__________.例題3．（2023春·重慶·高一校聯考階段練習）如圖，在四邊形中，，且，若，則的最大值為_____________．練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習）在中，已知，，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－33．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考階段練習）如圖所示，扇形的弧的中點為，動點分別在上（包括端點），且，，，則的取值范圍______．4．（2023春·江蘇宿遷·高一校考階段練習）在中，，點是邊上的一點（包括端點），點是的中點，則的取值范圍是__________.5．（2023·全國·高一專題練習）在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設，求的值；(2)若且，求的最小值.方法二：向量數量積幾何意義法典型例題例題1．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第三十一中學校聯考）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形邊上的一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）如圖，為外接圓上一個動點，若，，，則的最大值______.例題3．（2023·湖南衡陽·高一統考）剪紙藝術是一種中國傳統的民間工藝，它源遠流長，經久不衰，已成為世界藝術寶庫中的一種珍藏．某學校為了豐富學生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學在觀看了2022年北京冬奧會的節目《雪花》之后，被舞臺上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，為該平面圖形上的一個動點（含邊界），六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，則的最大值為________．練透核心考點1．（2023·海南·高一統考）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍是__________．2．（2023·上海浦東新·高一上海市建平中學校考）已知平面上兩定點A、B滿足，動點P、Q分別滿足，則的取值范圍是___．3．（2023·廣東深圳·高一福田外國語高中校考）如圖，邊長為2的正三角形ABC的邊AC落在直線l上，AC中點與定點O重合，頂點B與定點P重合.將正三角形ABC沿直線l順時針滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在l上，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續.當滾動到時，頂點B運動軌跡的長度為___________；在滾動過程中，的取值范圍為___________.方法三：坐標法（自主建系法）典型例題例題1．（2023·天津·校聯考一模）如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·河南新鄉·統考二模）剪紙是中國古老的傳統民間藝術之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學校考階段練習）如圖，在平面四邊形中，，，，若點為邊上的動點，則的最小值為______．例題4．（2023春·江蘇常州·高一校聯考階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形中，若，則的值為________；若正八邊形的邊長為2，是正八邊形八條邊上的動點，則的最小值為______.練透核心考點1．（2023·北京東城·統考一模）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南開封·統考二模）已知等邊的邊長為，P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）如圖，在四邊形中，，且.(1)求實數的值；(2)若是線段上的動點，求的取值范圍.方法四：積化恒等式法典型例題例題1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）在中，，，，，是平面上的動點，，是邊上的一點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，是邊長為8的等邊三角形，點為邊上的一個動點，長度為6的線段的中點為點，則的取值范圍是___________.練透核心考點1．（2023·全國·模擬預測）在邊長為2的等邊三角形中，為邊上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學校考階段練習）在三角形中，是的中點．(1)求在上的投影向量；(2)若，求的取值范圍．第06講拓展一：平面向量的拓展應用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：典型例題剖析 1高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題 1角度1：兩個向量所成角為銳角 1角度2：兩個向量所成角為鈍角 4高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題 7方法一：定義法 7方法二：幾何法 10方法三：三角不等式法 17方法四：坐標法 19方法五：轉化法 24高頻考點三：平面向量數量積最值（或范圍）問題 29方法一：定義法 29方法二：向量數量積幾何意義法 35方法三：坐標法（自主建系法） 41方法四：積化恒等式法 47第一部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題角度1：兩個向量所成角為銳角典型例題例題1．（多選）（2023春·河南·高一河南省實驗中學校考階段練習）設向量若與的夾角為銳角，則實數的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】BC【詳解】，則.當與同向時，，由于與的夾角為銳角，則且故選：BC例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考階段練習）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1），，解得：或，當時，，；當時，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當時，，，此時同向；當時，，，此時反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.例題3．（2023春·山西運城·高一康杰中學校考階段練習）已知：?是同一平面內的兩個向量，其中=（1，2），(1)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍；(2)求在上投影向量.【答案】(1)；(2).【詳解】（1），又與的夾角為銳角，且與不平行，，解得且，實數的取值范圍是（2）由題得，，在上的投影向量為.練透核心考點1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為__．【答案】【詳解】根據題意，向量與的夾角為銳角，則且、不共線，即，解可得且，則的取值范圍為．故答案為：2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學校考階段練習）已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，∵，∴，∴．（2）若，則，，∵與的夾角為銳角，∴，且與不共線，∴，解得且，∴m的取值范圍是．3．（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐標．（2）已知，若的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意可得：，向量在方向上的投影向量為：；（2）因為的夾角為銳角，所以，解得：，又當與共線時，可得：，解得：，此時，此時與同向，需排除，所以的取值范圍是：.角度2：兩個向量所成角為鈍角典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二校聯考階段練習）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，令與共線，則，即，即，解得，此時，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學校考階段練習）已知，則向量與向量的夾角為鈍角時的取值范圍是__________．【答案】且【詳解】因為，向量與向量的夾角為鈍角則，所以，且向量與向量不共線，即，解得且.故答案為：且.例題3．（2023·河南南陽·高三南陽中學校考階段練習）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以，當與的夾角為平角時，則有，則有，因為，所以，所以x的取值范圍是，故答案為：練透核心考點1．（2023春·江蘇·高一校聯考階段練習）已知，，若的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】夾角為鈍角，且不共線，即且，解得：且，的取值范圍為.故選：B.2．（2023春·天津和平·高一校考階段練習）已知，若與的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍為___________.【答案】且【詳解】若與的夾角為鈍角,則，且與不共線，即，得且.故答案為：且.3．（2023春·江蘇徐州·高一校考階段練習）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為_________．【答案】且【詳解】由題意得，向量與向量的夾角為鈍角，即，且向量與向量不共線，則，且，故，且，解得且，故答案為：且高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形中，，點，分別為邊，上的動點，，其中，點，分別為，的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，則，而，，而的對稱軸為，故當時，，故選：B例題2．（2023春·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）在中，，，點滿足，，則的最小值為______.【答案】3【詳解】∵，∴，則當時，，∴.故答案為：3例題3．（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習）已知向量，滿足：，，，則______；若為非零實數，則的最小值為______．【答案】

【詳解】，，兩式作差可得，所以，，所以，所以．，當，即時不等式等號成立，所以的最小值為．故答案為：；．例題4．（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯考階段練習）已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實數，則的最小值為____________．【答案】

【詳解】由題意，平面向量，其中，的夾角是，可得，則，所以，又由，所以當時，的最小值為.故答案為：；.練透核心考點1．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設向量，的夾角為，則，易知，即所以，所以，即.故選：D.2．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學校考階段練習）已知平面向量，的夾角為，且，，，其中，則的最小值為______．【答案】【詳解】，，當時，有最小值為，故的最小值為.故答案為：3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）設向量滿足.與的夾角為60°，則的取值范圍是____.【答案】【詳解】由題意可得：，則，當時，等號成立，所以的取值范圍是.故答案為：.方法二：幾何法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在平面內一點，作，，，則，則，因為，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點，則，所以，，所以，，因為，所以，，則，所以，.當且僅當、同向時，等號成立，故的最大值為.故選：B.例題2．（2023春·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學校考階段練習）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】向量,向量均為單位向量，,.如圖，設.則是等邊三角形.向量滿足與的夾角為,.因為點在外且為定值,所以的軌跡是兩段圓弧,是弦AB所對的圓周角.因此：當AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故選：D例題3．（多選）（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中校考階段練習）若均為單位向量，且，，則的值可能為（

）A．－1 B．1 C． D．2【答案】AB【詳解】由，即，而，又，即，由上圖，，，則在劣弧上，易知：，當共線時等號成立，所以，即，故只有A、B符合.故選：AB例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是_____________【答案】[11，13]【詳解】解：因為，所以、、三點在以為圓心，1為半徑的圓上，又，所以，所以，所以是圓的直徑，所以，所以，設、的夾角為，則，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故答案為：練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】因為，所以，可得，因為，所以，如圖所示：在平面直角坐標系中，，，不妨設，，延長到使得，則，點為平面直角坐標系中的點，，則，，則滿足題意時，，結合點，為定點，且，由正弦定理可得：，可得，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的優弧上，當三點共線，即點位于圖中點位置時，取得最大值，其最大值為，故選：A.2．（多選）（2023秋·廣東·高三校聯考期末）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B．6 C．4 D．【答案】AC【詳解】解：設，，，由向量滿足，，，所以，所以.①

當時，，即,即四點共圓，由余弦定理可得：，設四邊形的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又點在優弧上（不含端點），則，則有，則；②當時，，則在以為圓心的圓上運動，其中點在優弧上（不含端點），則，綜合①②可得，故選：AC.3．（多選）（2023·遼寧·高二校聯考開學考試）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】BC【詳解】設，，，因為，，所以，又因為，則①，②，第①種情況，可得點，，，四點共圓，如圖所示：因為，，所以圓的半徑為1，那么；第②種情況，點在以為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示：此時，；綜上所述：.故選：BC.4．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考）已知向量，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為________.【答案】##【詳解】因為，所以，又，，如圖，向量的終點在以A點為圓心1為半徑的圓上，又，所以的最大值為，即的最大值為.故答案為：.方法三：三角不等式法向量模的三角不等式來求解：.典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知為等邊三角形，，所在平面內的點滿足，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以，，由平面向量模的三角不等式可得.當且僅當與方向相反時，等號成立.因此，的最小值為.故選：C.例題2．（2023·全國·高三對口高考）設為單位向量，若向量滿足，則的最大值是____________．【答案】【詳解】試題分析：因為向量滿足，所以，當所以＋≤＝，當且僅當＝，即時等號成立，所以的最大值．練透核心考點1．（2023·安徽安慶·高一安慶一中校考）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.【答案】##【詳解】設，則，所以，，由二次函數性質可得，，即：所以，所以的最小值為故答案為：2．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中校考）已知向量，滿足，，則的最小值是______，最大值是______．【答案】

6

【詳解】解：，且，，當且僅當與反向時取等號.此時的最小值為6.，，當且僅當時取到等號，所以的最大值為2.故答案為：6；2.3．（2023·浙江寧波·高三校聯考階段練習）已知向量，，滿足，，，，若，則的最小值為__________，最大值為____________．【答案】

##1.4

5．【詳解】設，則，所以，，由二次函數性質可得，，即：所以,且，所以的最小值為，最大值為.故答案為：；方法四：坐標法典型例題例題1．（2023·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學校考階段練習）已知邊長為1的正方形位于第一象限，且頂點，分別在，的正半軸上（含原點）滑動，則的最大值是（

）．A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【詳解】解：當與重合時，，此時，；當與不重合時，設，，因為，所以，，，，，，所以當，即時，取得最大值3.綜上可知的最大值為3.故選：C.例題2．（2023·四川資陽·統考模擬預測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.【答案】【詳解】設，，，，，，則，，整理得：，所以，則，解得：，所以，故答案為：.例題3．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，為坐標原點，的坐標為，點為動點，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為________．【答案】##【詳解】設點，由已知可得，則，化簡可得，,，因為點在以點為圓心，半徑為的圓上，由可得，即，不妨設，其中，，則，故，當且僅當時，取最小值，令，其中，則，，所以，，因為函數的最小值為，則，所以，的最大值為.故答案為：.例題4．（2023·貴州銅仁·高一校考階段練習）已知向量，，其中，.(1)當時，求的取值范圍；(2)當時，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，因為，所以，即，所以，即的取值范圍為.（2）當時，，所以，因為，所以，即，即，所以的取值范圍為.練透核心考點1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥東縣第二中學校考階段練習）已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是___________【答案】【詳解】因，則，設，的夾角為，于是得，而，因此，，即，所以的取值范圍是.故答案為：2．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考）已知平面直角坐標系中，向量，.(1)若，求x；(2)當時，求的最小值【答案】(1)或(2)最小值為3(1)，，即，解得或；(2)，則當且僅當即，時取等號，故最小值為3.3．（2023·浙江寧波·高一寧波市北侖中學校考）已知，向量，，是坐標平面上的三點，使得，.(1)若，的坐標為，求；(2)若，，求的最大值.【答案】(1)(2)12(1)由題意，，∴，，∴由，則?，故；(2)由題意，，∴，，∴由，則?，即，∴當時，的最大值為12；4．（2023·安徽宣城·高一校考階段練習）已知向量，．（1）求的坐標以及與之間的夾角；（2）當時，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因為，，所以，設與之間的夾角為，則，因為，所以與之間的夾角為.（2），因為，所以，故的取值范圍是.方法五：轉化法典型例題例題1．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學校考）已知向量滿足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：，，，以為y軸，為x軸，建立直角坐標系設，，，所以，由，可得，化簡可得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，原點到的距離為，所以的取值范圍是，即故選：C．例題2．（2023·陜西西安·高一陜西師大附中校考）已知向量，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，設，點在軸上，設點在第一象限，，設，則，則，整理得，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設圓心為，又，當直線過點且垂直于軸時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：D.例題3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學校考）已知平面向量滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，，，因為，所以，設，，，，，所以，即，所以點在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點與定點的距離，所以的最小值為，故選：D.例題4．（2023·廣東·高三統考階段練習）若向量，，，且，則的最小值為_________．【答案】【詳解】由題設，，，又，∴，則，又，則，∴要求的最小值，即求定點到直線的距離，∴.故答案為：練透核心考點1．（2023·浙江杭州·高一校聯考）已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意設，，，，，，所以，，，設，，由得，即點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，點在直線上，所以的最小值是圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即．故選：B．2．（2023秋·安徽銅陵·高三銅陵一中校聯考階段練習）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【詳解】解：不妨設，設，向量滿足，，，所以，所以的終點在以為圓心，以為半徑的圓上.，設，，則，．又是單位向量，所以，所以，所以或，所以，如圖所示，的最小值為，最大值為，所以的最大值與最小值之和是.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據題意，令，，則，即，因此在為圓心，4為半徑的圓上，易知，故，即.故選：C.4．（2023·浙江舟山·高三舟山中學校考階段練習）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

【答案】D【詳解】由題意知，，則，由可得，即，設，則，所以，所以表示以，半徑為1的圓，表示圓C上的點到定點B(-2，0)的距離，而的最小值即為圓心到定點B(-2，0)的距離減去半徑，如圖所示，又，所以.故選：D高頻考點三：平面向量數量積最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯考階段練習）如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點在圓上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設與的夾角為，則，，因為，所以，故選：C例題2．（2023春·江蘇南京·高一金陵中學校考階段練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】，且.即設與的夾角為，則.因為，所以.故答案為：例題3．（2023春·重慶·高一校聯考階段練習）如圖，在四邊形中，，且，若，則的最大值為_____________．【答案】【詳解】設，則，作，交的延長線于點，由余弦定理得：，，即，，，，即，，，，，，則當，即時，，.故答案為：.練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習）在中，已知，，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．【答案】D【詳解】設三角形外接圓半徑為，則，所以的外接圓半徑為1，為鈍角時，取到負值；如圖，為的中點，在上的投影向量為；由可知當在上的投影長最長時，即與圓相切時，可取到最小值；，當時，，所以的最小值為.故選：D2．（2023·全國·高一專題練習）四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－3【答案】D【詳解】延長交于，因為，，∴，為等邊三角形，設，則，∴，所以當時，的最小值為.故選：D.3．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考階段練習）如圖所示，扇形的弧的中點為，動點分別在上（包括端點），且，，，則的取值范圍______．【答案】【詳解】如圖所示，連接、和，因為且為的中點，可得為平行四邊形，所以，設，其中，因為，可得，，在中，可得，在中，可得，又因為且，所以，所以，設，根據二次函數的性質，可得函數的對稱軸為，且在在上單調遞減，在在上單調增，所以當時，函數取得最小值，最小值為，又由，即函數的最大值為，所以的取值范圍.故答案為：.4．（2023春·江蘇宿遷·高一校考階段練習）在中，，點是邊上的一點（包括端點），點是的中點，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】依題意，過點作交的延長線于點，因為，，所以，，，所以，又因為點是的中點，所以是的中位線，則，，所以，因為點是邊上的一點（包括端點），過點作于，則，結合圖形可知：當點在點位置時，最小，最小為0，此時；當點在點位置時，最大，最大值與相等，此時；綜上，的取值范圍是.故答案為：.5．（2023·全國·高一專題練習）在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設，求的值；(2)若且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，所以，所以，即（2）解：因為，所以記因為，所以，設，則所以，，所以所以，當時，取得最小值，最小值為，又因為，所以，所以，即的最小值為方法二：向量數量積幾何意義法典型例題例題1．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第三十一中學校聯考）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形邊上的一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】過點作直線的垂線，垂足為點，觀察圖形可知，當點在線段上時，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C.例題2．（2023·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）如圖，為外接圓上一個動點，若，，，則的最大值______.【答案】【詳解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得外接圓半徑，解法1：設d是在上的投影，即，則，過點O作交圓于點P，且作于，于，如圖所示，此時在上的投影最大，即最大易得四邊形是矩形，所以則，所以的最大值為；解法2：連接，，所以，，因為，所以所以的最大值為，故答案為：例題3．（2023·湖南衡陽·高一統考）剪紙藝術是一種中國傳統的民間工藝，它源遠流長，經久不衰，已成為世界藝術寶庫中的一種珍藏．某學校為了豐富學生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學在觀看了2022年北京冬奧會的節目《雪花》之后，被舞臺上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，為該平面圖形上的一個動點（含邊界），六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，則的最大值為________．【答案】##【詳解】可以是與在上投影向量的數量積．如圖，把題中圖2的平面圖形順時針旋轉，設正六邊形的中心為，連接，，連接，交于點，易得，在上，．過作，垂足為點，過作，垂足為點．由題意得，，所以，，所以，所以．易證四邊形為矩形，所以．易得，所以．所以當與重合時，．故答案為：練透核心考點1．（2023·海南·高一統考）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】解：由，可知點P在以AB為直徑的圓O上運動，設線段CO與圓O交于點D，延長CO與圓O交于點E，則，，．則當點P與D重合時，在上的投影向量的模最小，此時；當點P與E重合時，在方向上的投影向量的模最大，此時．所以的取值范圍是．故答案為：2．（2023·上海浦東新·高一上海市建平中學校考）已知平面上兩定點A、B滿足，動點P、Q分別滿足，則的取值范圍是___．【答案】[－6,6]【詳解】若，由題意知：在以為圓心，1為半徑的圓上；在以為圓心，2為半徑的圓上.又，，則：最大時，同向，此時，最小時，反向，此時，綜上，的范圍為[－6,6].故答案為：[－6,6]3．（2023·廣東深圳·高一福田外國語高中校考）如圖，邊長為2的正三角形ABC的邊AC落在直線l上，AC中點與定點O重合，頂點B與定點P重合.將正三角形ABC沿直線l順時針滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在l上，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續.當滾動到時，頂點B運動軌跡的長度為___________；在滾動過程中，的取值范圍為___________.【答案】

##

【詳解】由題設，到過程中，B運動軌跡為兩段半徑為2，圓心角為的圓弧，所以B運動軌跡的長度為，軌跡如下圖示：所以當在軸上時最小，當與對應圓弧的圓心連線垂直于軸時最大，故的范圍為.故答案為：，.方法三：坐標法（自主建系法）典型例題例題1．（2023·天津·校聯考一模）如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案