12.3角平分線的性質

學習目標：

1．會用尺規作一個角的平分線，知道作法的合理性．

2．探索并證明角的平分線的性質．3．能用角的平分線的性質解決簡單問題．

從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線1、角平分線的定義：回顧舊知：AOBC下圖中能表示點P到直線L的距離的是線段垂線段的長度，叫做點到直線的距離

2、從直線外一點到這條直線的PC

的長度問題在紙上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？

用量角器度量，也可用折紙的方法．情景導入追問2如圖是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線。你能說明它的道理嗎？ADBCE追問3

借鑒角平分儀的原理，你能用直尺和圓規作一個角的平分線嗎在△ABC和△ADC中AB=ADBC=DCAC=AC（公共邊）∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠CAB=∠CAD（全等三角形的對應角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）③畫射線OC①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于M，OB于點NOAB已知:∠AOB求作∠AOB的平分線②

分別以點M、N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C探究活動一射線OC即為所求。3.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等A練課本50頁第1題（1）在探究活動一中我們作出∠AOB的平分線OC，請在OC上任取一點P，過點P向兩邊畫垂線段PD、PE，垂足為點D、E（2）量得PD長為

PE長為發現PD

PE

探究活動二OAB求證角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等這是個用文字描述的幾何命題，得先搞清楚“題設”和“結論”，然后畫出圖形，把命題轉化為用符號表示的形式.題設：角的平分線上一點到角的兩邊的距離結論：距離相等命題證明：角平分線上的點到角兩邊的距離相等證明：∵OC是∠AOB的角平分線

∴∠AOC=∠BOC∵PE⊥OA，PF⊥OB∴∠PEO=∠PFO=90°在△EOP和△FOP中∠AOC=∠BOC

∠PEO=∠PFOOP=OP∴△EOP≌△FOP（AAS)∴PE=PF

已知：OC是∠AOB的角平分線，點P在OC上，OABEFPCPE⊥OA,PF⊥OB求證：PE=PF角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等性質幾何語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE推理的理由有“一角平分，兩垂直”，共三個條件，必須寫完全，不能少了任何一個。角的平分線的性質定理的作用是什么？

主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方

法相比，運用此性質不需要先證兩個三角形全等．明確命題中的題設和結論;根據題意，畫出圖形,寫出已知和求證;經過分析，寫出證明過程.123由角的平分線的性質的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？例1(1)下面四個圖中,點P都在∠AOB的平分線上,則圖形()中一定有PD＝PE.解決簡單問題

（2）如圖，∵點P

在OC

上，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于點E，∴PD

=PE．ABOPCDE（×）判斷：解決簡單問題

1、如圖，OC

平分∠AOB，點P

在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD

=3，則點P

到OB

的距離為

．ABOPCD練習E例題如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求證：BE=CF.AD平分∠BACDE⊥AB，DF⊥ACBD=CDDE=DFRt△DBE≌Rt△DCFBE=CF分析證明：∵AD是∠BAC的平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°在Rt△DBE和Rt△DCF中

DE=DF

BD=CD∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴BE=CF如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求證：BE=CF.例1ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.由垂直平分線的性質，可知，PD=PC=4，=典例精析例

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．（1）本節課學習了哪些主要內容？（2）本節課是通過什么方式探究角的平分線的性質的？（3）角的平分線的性質為我們提供了證明什么的方法？

在應用這一性質時要注意哪些問題？

課堂小結角平分線尺規作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質定理一角平分：角平分線上的點；二垂直：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向一邊或兩邊作垂線段ABCNMPDEF證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=