第一單元：位置

1.由于在平面直角坐標(biāo)系中，先畫x軸，而x軸上的坐標(biāo)表達(dá)列。先用小括號將兩個數(shù)

括起來，再用逗號將兩個數(shù)隔開。括號里面日勺數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)。

2.列數(shù)與行數(shù)必須是詳細(xì)日勺數(shù)才能確定一種點(diǎn)，而不能用字母如（X,5）表達(dá)，它表述

一條橫線，（5,Y）它表達(dá)一條豎線，都不能確定一種點(diǎn)。

3.在平面直角坐標(biāo)系中，用數(shù)對來確定物體日勺位置。

第二單元分?jǐn)?shù)乘法

一、分?jǐn)?shù)乘法

（一）分?jǐn)?shù)乘法日勺意義：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法日勺意義相似。都是求幾種相似加數(shù)日勺和日勺簡便運(yùn)算。

例如：§X5表達(dá)求5個號附和是多少？

99

2、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是求一種數(shù)日勺幾分之幾是多少。

例如：號X3表達(dá)求§的之是多少？

9494

（二）、分?jǐn)?shù)乘法日勺計(jì)算法則：

1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘日勺積做分子，分母不變。（整數(shù)和分母約分）

2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘日勺積做分母。

3、為了計(jì)算簡便，能約分時要先約分，再計(jì)算。

注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。

（三）、規(guī)律：（乘法中比較大小時）

一種數(shù)（0除外）乘不小于1的數(shù)，積不小于這個數(shù)。

一種數(shù)（0除外）乘不不小于1日勺數(shù)（0除外），積不不小于這個數(shù)。

一種數(shù)（0除外）乘I,積等于這個數(shù)。

（四）、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算日勺運(yùn)算次序和整數(shù)日勺運(yùn)算次序相似。

（五）、整數(shù)乘法日勺互換律、結(jié)合律和分派律，對于分?jǐn)?shù)乘法也同樣合用。

乘法互換律：aXb=bXa

乘法結(jié)合律：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分派律：（a+b）Xc=ac+bcac+bc=（a+b）Xc

二、分?jǐn)?shù)乘法日勺處理問題

（已知單位“1”日勺量（用乘法）,求單位“1”日勺幾分之幾是多少）

1、畫線段圖：

（1）兩個量日勺關(guān)系：畫兩條線段圖；（2）部分和整體日勺關(guān)系：畫一條線段圖。

2、找單位“1”：在分率句中分率日勺前面;或“占”、“是"、“比”日勺背面

3、求一種數(shù)的幾倍：一種數(shù)X幾倍；求一種數(shù)的幾分之幾是多少：一種數(shù)X?。

）L

4、寫數(shù)量關(guān)系式技巧：

（1）“日勺”相稱于“X”“占”、“是”、“比”相稱于“=”

（2）分率前是“日勺”：單位“1”日勺量X分率二分率對應(yīng)量

（3）分率前是“多或少”日勺意思：單位“1”日勺量X（1士分率）=分率對應(yīng)量

三、倒數(shù)

1、倒數(shù)日勺意義：乘積是1日勺兩個數(shù)目為倒數(shù)。

強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個數(shù)日勺關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在。

(要說清誰是誰日勺倒數(shù))。

2、求倒數(shù)的措施：

(1)、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：互換分子分母日勺位置。

(2)、求整數(shù)日勺倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1日勺分?jǐn)?shù)，再互換分子分母日勺位置。

(3)、求帶分?jǐn)?shù)日勺倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

(4)、求小數(shù)日勺倒數(shù)：把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

3、1日勺倒數(shù)是1;0沒有倒數(shù)。由于1X1=1；0乘任何數(shù)都得0,g(分母不能為0)

4、對于任意數(shù)a(awO),它日勺倒數(shù)為工；非零整數(shù)a日勺倒數(shù)為工；分?jǐn)?shù)2日勺倒數(shù)是￡；

5、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)不小于1；假分?jǐn)?shù)日勺倒數(shù)不不小于或等于1;帶分?jǐn)?shù)日勺倒數(shù)不不小于1。

第三單元分?jǐn)?shù)除法

一、分?jǐn)?shù)除法

1、分?jǐn)?shù)除法日勺意義：

乘法：因數(shù)X因數(shù)=積除法：積+一種因數(shù)=另一種因數(shù)

分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法日勺意義相似，表達(dá)已知兩個因數(shù)日勺積和其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)

日勺運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：

除以一種不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

3、規(guī)律(分?jǐn)?shù)除法比較大小時):

（1）、當(dāng)除數(shù)不小于1,商不不小于被除數(shù)；

（2）、當(dāng)除數(shù)不不小于1（不等于0）,商不小于被除數(shù)；

（3）、當(dāng)除數(shù)等于1,商等于被除數(shù)。

4、“[]”叫做中括號。一種算式里，假如既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面日勺,

再算中括號里面日勺。

二、分?jǐn)?shù)除法處理問題

（未知單位“1”日勺量（用除法）:已知單位“1”日勺幾分之幾是多少，求單位“1”日勺

量。）

1、數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法處理問題中日勺關(guān)系式相似：

（1）分率前是“日勺”：單位“1”日勺量X分率二分率對應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”日勺意思：單位“1”日勺量X（1土分率）=分率對應(yīng)量

2、解法：（提議：最佳用算術(shù)式解答）

（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X,用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）:分率對應(yīng)量;對應(yīng)分率=單位“1”日勺量

3、求一種數(shù)是另一種數(shù)的幾分之幾：就一種數(shù);另一種數(shù)

4、求一種數(shù)比另一種數(shù)多（少）幾分之幾：兩個數(shù)日勺相差量?單位“1”日勺量或:

①求多幾分之幾：大數(shù)十小數(shù)-1

②求少幾分之幾：1-小數(shù)十大數(shù)

三、比和比日勺應(yīng)用

（一）、比日勺意義

1、比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

2、在兩個數(shù)的比中，比號前面日勺數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號背面日勺數(shù)叫做比日勺后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除

后來項(xiàng)所得的庖，叫做比值。

例如15：10=15+10=-（比值一般用分?jǐn)?shù)表達(dá)，也可以用小數(shù)或整數(shù)表達(dá)）

2

前項(xiàng)比號后項(xiàng)比值

3、比可以表達(dá)兩個相似量日勺關(guān)系,即倍數(shù)關(guān)系。也可以表達(dá)兩個不一樣量的比,得到一種新

量。例：旅程+速度=時間。

4、辨別比和比值

r比：表達(dá)兩個數(shù)日勺關(guān)系,可以寫成比日勺形式，也可以用分?jǐn)?shù)表達(dá)。

L比值：相稱于商，是一種數(shù),可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。

5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法日勺關(guān)系，兩個數(shù)日勺比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。

6、比和除法、分?jǐn)?shù)日勺聯(lián)絡(luò)：

比前項(xiàng)比號“：”后項(xiàng)比值

除法被除數(shù)除號"+”除數(shù)商

分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線“一”分母分?jǐn)?shù)值

7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，比表達(dá)兩個數(shù)日勺關(guān)系。

8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比日勺后項(xiàng)不能為0。

體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)時分是2：0等，這只是一種記分日勺形式，不表達(dá)兩個數(shù)相除日勺關(guān)系。

（二）、比日勺基本性質(zhì)

1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)日勺關(guān)系：

‘商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同步乘或除以相似的數(shù)（0除外），商不變。

分?jǐn)?shù)日勺基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)日勺分子和分母同步乘或除以相似日勺數(shù)時（0除外），分?jǐn)?shù)值不變。

比的基本性質(zhì)：比日勺前項(xiàng)和后項(xiàng)同步乘或除以相似日勺數(shù)（0除外），比值不變。

2、最簡整數(shù)比：比日勺前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣日勺比就是最簡整數(shù)比。

3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡樸的整數(shù)比。

4.化簡內(nèi)—

根[①用比日勺前項(xiàng)和后項(xiàng)同步除以它們?nèi)丈鬃畲蠊驍?shù)。

據(jù)

（1）j②兩個分?jǐn)?shù)日勺比：用前項(xiàng)后項(xiàng)同步乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整

比

,數(shù)比的措施來化簡。

③兩個小數(shù)日勺比：向右移動小數(shù)點(diǎn)日勺位置，先化成整數(shù)比再化簡。

注意：最終成果要寫成比日勺形式。

（2）用求比值的;措施。把比號變除號。

3

如：15：10=154-10=-

2

5.按比例分派：把一種數(shù)量按照一定日勺比來進(jìn)行分派。這種措施一般叫做按比例分派。

如：已知兩個量之比為a:8，則設(shè)這兩個量分別為ax和桁。

第四單元圓

一、認(rèn)識圓

1、圓的I定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心日勺一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。

一般用字母0表達(dá)。它到圓上任意一點(diǎn)日勺距離都相等.

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表達(dá)。

把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上日勺線段叫做直徑。一般用字母d表達(dá)。

直徑是一種圓內(nèi)最長日勺線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓時大小。

6、在同圓或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。所有日勺半徑都相等，所有日勺直徑都相等。

7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長度是半徑日勺2倍，半徑的長度是直徑的工。

2

用字母表達(dá)為：d=2r或r=-

2

8、軸對稱圖形：

假如一種圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形可以完全重疊，這個圖形是軸對稱圖形。

折痕所在日勺這條直線叫做對稱軸。（通過圓心日勺任意一條直線或直徑所在日勺直線）

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，均有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有1一條對稱軸日勺圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

只有2條對稱軸日勺圖形是：長方形

只有3條對稱軸日勺圖形是：等邊三角形

只有4條對稱軸日勺圖形是：正方形；

有無數(shù)條對稱軸日勺圖形是：圓、圓環(huán)。

二、圓日勺周長

1、圓的周長：圍成圓日勺曲線日勺長度叫做圓的周長。用字母C表達(dá)。

2、圓周率試驗(yàn)：

在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓日勺周長。

發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長與它直徑的比值是一種固定數(shù)（n）。

3.圓周率：任意一種圓日勺周長與它日勺直徑日勺比值是一種固定時數(shù),我們把它叫做圓周率。

用字母n(pai)表達(dá)。

(1)、一種圓的周長總是它直徑的3倍多某些，這個比值是一種固定的數(shù)。

圓周率JI是一種無限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時，一般取n-3.14o

(2)、在判斷時，圓周長與它直徑日勺比值是n倍，而不是3.14倍。

(3)、世界上第一種把圓周率算出來的人是我國的數(shù)學(xué)家祖沖之。

4、圓日勺周長公式:C=Jid>d=C4-JT

或C=2Jir?>r=C4-2n

5、在一種正方形里畫一種最大日勺圓，圓日勺直徑等于正方形日勺邊長。

在一種長方形里畫一種最大日勺圓，圓日勺直徑等于長方形日勺寬。

6、辨別周長日勺二分之一和半圓日勺周長:

(1)周長日勺二分之一：等于圓的周長+2計(jì)算措施：2nr+2即五

r

(2)半圓日勺周長：等于圓的周長日勺二分之一加直徑。計(jì)算措施：nr+2r即5.14

r

三、圓日勺面積

1、圓的I面積：圓所占平面的I大小叫做圓的I面積。用字母S表達(dá)。

2、一條弧和通過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

3、圓面積公式日勺推導(dǎo):

(1)、用逐漸迫近的轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復(fù)

雜為簡樸，化抽象為詳細(xì)。

(2)、把一種圓等分(偶數(shù)份)成日勺扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越靠近長方形。

(3)、拼出時圖形與圓日勺周長和半徑的關(guān)系。

圓的半徑=長方形日勺寬

圓的I周長的I二分之一長方形日勺長

由于：長方形面積=長X寬

因此：圓日勺面積=圓周長的二分之一X圓的半徑

S圓二以rXr

1

CTT2

圓日勺面積公式:S圓二五rr2=S4-Ji

4、環(huán)形的I面積：

一種環(huán)形，外圓日勺半徑是R,內(nèi)圓的半徑是r。(R=r+環(huán)的寬度.)

S環(huán)=nR2—nr2或

環(huán)形日勺面積公式:S環(huán)="(R2-r2)o

5、一種圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相似日勺倍數(shù)。

而面積擴(kuò)大或縮小日勺倍數(shù)是這倍數(shù)日勺平方倍。例如：

在同一種圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大9倍。

6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等于這比的平方。例如：

兩個圓的半徑比是2:3,那么這兩個圓時直徑比和周長比都是2:3,而面積比是4：9

7、任意一種正方形與它內(nèi)切圓日勺面積之比都是一種固定值，即：4：n

8、當(dāng)長方形，正方形，圓日勺周長相等時，圓面積最大,正方形居中，長方形面積最小。

反之，面積相似時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。

9、確定起跑線:

(1)、每條跑道日勺長度=兩個半圓形跑道合成的圓的周長+兩個直道日勺長度。

(2)、每條跑道直道的長度都相等，而各圓周長決定每條跑道的總長度。(因此起跑線不一

樣)

(3)、每相鄰兩個跑道相隔日勺距離是：2X“X跑道日勺寬度

(4)、當(dāng)一種圓的半徑增長a厘米時，它的周長就增長2na厘米；當(dāng)一種圓的直徑增長a

厘米時，它的周長就增長na厘米。

11、常用各n值成果：

JI=3.145兀=15.79兀二=28.2636兀二113.04

2兀=6.286兀=18.8410兀二=31.464兀二200.96

3兀=9.427兀=21.9816n二=50.2496n=301.44

4JI=12.568兀=25.1225n:=78.5

12、常用平方數(shù)成果

22

if'=121122=14413=169142=19615=225

-222

16=25617=28918=32419=361

第五單元百分?jǐn)?shù)

一、百分?jǐn)?shù)日勺意義和寫法

1、百分?jǐn)?shù)日勺意義：表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾。

百分?jǐn)?shù)是指日勺兩個數(shù)日勺比，因此也叫百分率或比例。

2、千分?jǐn)?shù)：表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)日勺千分之幾。

3、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)日勺重要聯(lián)絡(luò)與區(qū)別：

（1）聯(lián)絡(luò)：都可以表達(dá)兩個量的倍比關(guān)系。

（2）區(qū)別：

①、意義不一樣：百分?jǐn)?shù)只表達(dá)兩個數(shù)日勺倍比關(guān)系,不能表達(dá)詳細(xì)日勺數(shù)量，因此不能帶單

位；

幺遨既可以表達(dá)詳細(xì)日勺數(shù)，又可以表達(dá)兩個數(shù)日勺關(guān)系，表達(dá)具本數(shù)時可以帶單位。

②、百分?jǐn)?shù)日勺分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)；

分?jǐn)?shù)日勺分子不能是小數(shù)，只能是除0以外日勺自然數(shù)。

4、百分?jǐn)?shù)日勺寫法：一般不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在本來分子背面加上“％”來表達(dá)。

二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)日勺互化

（一）百分?jǐn)?shù)與小數(shù)日勺互化：

1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，同步在背面添上百分號。

2.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，同步去掉百分號。

（二）百分?jǐn)?shù)日勺和分?jǐn)?shù)日勺互化

1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：

先把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母與否100日勺分?jǐn)?shù)，能約分要約成最簡分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：

①用分?jǐn)?shù)日勺基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100日勺分?jǐn)?shù)，再寫成百分?jǐn)?shù)形式。

②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時，一般保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

（三）常見日勺分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間日勺互化

15

=0.5=50%=0.2=20%=0.625=;62.5%

258

j_21二

=0.25=:25%=0.4=40%0.125==12.5%

478

3_33

=0.75=75%=0.6=60%=1.375=;37.5%

458

147

=0.0625=6.25%=0.8=80%_二0.875=;87.5%

1678

1234

=0.04=4%—=0.08==8%—=0.12=12%—=0.16=16%

25252525

二'、用百分?jǐn)?shù)處理問題

（一）一般應(yīng)用題

1、常見日勺百分率日勺計(jì)算措施：

①合格率=xlOO%②發(fā)芽率=空喘MOO%

產(chǎn)品總數(shù)種子總數(shù)

出勤人數(shù)達(dá)標(biāo)學(xué)生人數(shù)

③出勤率=總?cè)藬?shù)X100/°④達(dá)標(biāo)率=xlOO%

學(xué)生總?cè)藬?shù)

ma粉的重量

⑤成活率=xl00%⑥出粉率=xlOO%

總數(shù)量出粉物的重量

個干颶鱉X100%⑧含水率烘干前的重量一烘干后的重量

⑦烘干率==xlOO%

烘干刖的重量烘干前的重量

一般來講，出勤率、成活率、合格率、對的率能到達(dá)100%,出米率、出油率達(dá)不到100%,

完畢率、增長了百分之幾等可以超過100虬（一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%o）

2、已知單位“1”日勺量（用乘法），求單位“1”日勺百分之幾是多少日勺問題：

數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法處理問題中的關(guān)系式相似：

（1）分率前是“日勺”：單位“1”日勺量X分率二分率對應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”日勺意思：單位“1”日勺量X（1土分率）=分率對應(yīng)量

3、未知單位“1”日勺量（用除法）,已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。

解法：（提議：最佳算術(shù)式解答）

（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X,用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）:分率對應(yīng)量;對應(yīng)分率=單位“1”日勺量

4、求一種數(shù)比另一種數(shù)多（少）百分之幾日勺問題：

兩個數(shù)日勺相差量:單位“1”日勺量X100%或：

①求多百分之幾：（大數(shù):小數(shù)-1）X100%

②求少百分之幾：（1-小數(shù)：大數(shù)）X100%

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定價格日勺百分之幾發(fā)售，叫做折扣。通稱“打折”。

幾折就表達(dá)十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折=8=80%,六折五=0.65=65%

10

2、一成是十分之一，也就是10也三成五就是十分之三點(diǎn)五，也就是35%

（三）、納稅

1、納稅：納稅是根據(jù)國家稅法日勺有關(guān)規(guī)定，按照一定日勺比率把集體或個人收入日勺一部分繳納

給國家。

2、納稅日勺意義：稅收是國家財政收入日勺重要來源之一。國家用收來的稅款發(fā)展經(jīng)濟(jì)、科技、

教育、文化