【備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)專題講座】第13講：高頻考點(diǎn)分析之集合探討1～2講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3～8講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9～12講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。集合是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)最基本的概念之一。集合的思想、方法和語(yǔ)言使數(shù)學(xué)命題的表達(dá)更加簡(jiǎn)捷、明了，這注定了它可以滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，也是高考考查的重要內(nèi)容之一。年各地高考對(duì)集合的考查主要集中在3個(gè)方面：（1）集合的運(yùn)算；（2）集合的元素個(gè)數(shù)；（3）把集合作為解決數(shù)學(xué)問題的工具，考查集合語(yǔ)言與集合思想的運(yùn)用。結(jié)合年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從下面三方面探討集合知識(shí)的考點(diǎn)：（1）集合的運(yùn)算；（2）集合中的元素和個(gè)數(shù)；（3）集合思想的運(yùn)用。一、集合的運(yùn)算：典型例題：例1.（年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）已知集合；,則中所含元素的個(gè)數(shù)為【】 【答案】。【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】由，得：；；；，所以中所含元素的個(gè)數(shù)為。故選。例2.（年北京市理5分）已知集合A={x∈R｜3x＋2>0﹜，B={x∈R｜(x＋1)(x－3)>0﹜，則A∩B=【】A．（－∞，－1）B.（－1，）C.﹙，3﹚D.（3，＋∝）【答案】D。【考點(diǎn)】集合的交集運(yùn)算。【解析】∵，，∴A∩B=（3，＋∝）。故選D。例3.（年山東省理5分）已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，則（CuA）B為【】A{1，2，4}B{2，3，4}C{0，2，4}D{0，2，3，4}【答案】C。【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，∴。。故選C。例4.（年廣東省理5分）設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}則【】A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}【答案】C。【考點(diǎn)】補(bǔ)集的運(yùn)算。【解析】∵集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴{3,5,6}。故選C。例5.（年浙江省理5分）設(shè)集合，集合，則【】A．B．C．D．【答案】A。【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】∵，∴。∴。故選A。例6.（年湖南省理5分）設(shè)集合，則∩=【】A.B.C.D.【答案】B。【考點(diǎn)】集合的基本運(yùn)算。【解析】∵，，∴∩。故選B。例7.（年遼寧省理5分）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，則為【】(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}【答案】B。【考點(diǎn)】集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算【解析】∵全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，∴。∴為{7,9}。故選B。例8.（年陜西省理5分）集合，，則【】A.B.C.D.【答案】C。【考點(diǎn)】集合交集運(yùn)算。【解析】∵，，∴。故選C。例9.（年四川省理4分）設(shè)全集，集合，，則▲。【答案】【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】∵，集合，，∴，。∴。例10.（年江蘇省5分）已知集合，，則▲．【答案】。【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算。【分析】由集合的并集意義得。例11.（年全國(guó)大綱卷文5分）已知集合={︱是平行四邊形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，則【】A.B.C.D.【答案】B。【考點(diǎn)】集合的概念，集合的包含關(guān)系。【解析】平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關(guān)系如圖，由圖知是大的集合，是最小的集合，因此，選項(xiàng)A、C、、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確。故選B。例12.（年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，則【】（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=【答案】B。【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】∵∴BA。故選B。例13.（年安徽省文5分）設(shè)集合,集合是函數(shù)的定義域；則【】 【答案】。【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，集合的運(yùn)算。【解析】∵集合是函數(shù)的定義域，∴。又∵，∴。故選。例14.（年山東省文5分）已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，則（CuA）B為【】A{1，2，4}B{2，3，4}C{0，2，4}D{0，2，3，4}【答案】C。【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算。【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，∴。。故選C。例15.（年江西省文5分）若全集的補(bǔ)集為【】ABCD【答案】C。【考點(diǎn)】集合的基本運(yùn)算。【解析】∵，∴。故選C。例16.（年浙江省文5分）設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，設(shè)集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，則P∩（CUQ）=【】A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}【答案】D。【考點(diǎn)】集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算。【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，Q{3，4，5}，∴CUQ={1，2，6}。∴P∩（CUQ）={1，2}。故選D。例17.（年福建省文5分）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列結(jié)論成立的是【】A．N?MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}【答案】D。【考點(diǎn)】集合的交集。【解析】因?yàn)榧螹＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，所以M∩N＝{2}。故選D。例18.（年上海市文4分）若集合，，則＝▲【答案】。【考點(diǎn)】集合的概念和性質(zhì)的運(yùn)用，一元一次不等式和絕對(duì)值不等式的解法。【解析】由題意，得，∴。例19.（年重慶市文5分）設(shè)函數(shù)集合則為【】（A）（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）【答案】D。【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的概念，解一元二次不等式和指數(shù)不等式，集合及其運(yùn)算。【分析】利用已知求出集合中的范圍，結(jié)合集合，求出的范圍，然后求解即可：由得，∴或，即或。∴或，即。由得，即，∴，即。∴。故選D。二、集合中的元素和個(gè)數(shù)：典型例題：例1.（年江西省理5分）若集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為【】A．5B.4C.3D.2【答案】C。【考點(diǎn)】集合的元素，分類討論。【解析】分類討論：當(dāng)時(shí)，或2，或1；當(dāng)時(shí)，或2，或3。根據(jù)集合的互異性，中的元素的個(gè)數(shù)為3。故選C。例2.（年全國(guó)大綱卷理5分）已知集合，則【】A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B。【考點(diǎn)】集合的概念和并集運(yùn)算，集合的關(guān)系的運(yùn)用，元素與集合的關(guān)系的綜合運(yùn)用。【解析】∵，∴。∵，∴。∴或，解得或或。根據(jù)集合元素的互異性，∴或。故選B。例3.（年湖北省文5分）已知集合，，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為【】A1B2C【答案】D。【考點(diǎn)】集合的子集。【解析】求解一元二次方程，得，易知。∵，∴根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4。∴原題轉(zhuǎn)換為求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)。故選D。三、集合思想的運(yùn)用：典型例題：例1.（年江蘇省10分）設(shè)集合，．記為同時(shí)滿足下列條件的集合的個(gè)數(shù)：①；②若，則；③若，則。（1）求；（2）求的解析式（用表示）．【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，符合條件的集合為：，∴=4。(2）任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)．再除以2，···經(jīng)過次以后．商必為奇數(shù)．此時(shí)記商為。于是，其中為奇數(shù)。由條件知．若則為偶數(shù)；若，則為奇數(shù)。于是是否屬于，由是否屬于確定。設(shè)是中所有奇數(shù)的集合．因此等于的子集個(gè)數(shù)。當(dāng)為偶數(shù)〔或奇數(shù)）時(shí)，中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是（）。∴。【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算，計(jì)數(shù)原理。【解析】（1）找出時(shí)，符合條件的集合個(gè)數(shù)即可。（2）由題設(shè)，根據(jù)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解。例2.（年上海市理18分）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)n＞1時(shí)，1=1；（6分）（3）若X具有性質(zhì)P，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式。∴，從而=4。（2）證明：取，設(shè)滿足。由得，∴、異號(hào)。∵－1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為－1，另一為1。故1X。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為－1。若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.∴=1。（3）猜測(cè)，i=1,2,…,。記，=2,3,…,。先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P。任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)－1時(shí)，顯然有滿足。當(dāng)且時(shí)，、≥1。∵具有性質(zhì)P，∴有，、，使得。從而和中有一個(gè)是－1，不妨設(shè)=－1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾。∴，從而也具有性質(zhì)P。現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,。當(dāng)=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,；則當(dāng)時(shí)，若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，所以。取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個(gè)為－1。若，則，所以，這不可能；∴，，又，所以。綜上所述，，i=1,2,…,。【考點(diǎn)】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)直接求解。（2）用反證法給予證明。（3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)，i=1,2,…,。例3.（年北京市理13分）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對(duì)于A∈S(m，n)，記Ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K(A)為∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）對(duì)如下數(shù)表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由題意可知，∴。（2）先用反證法證明：若，則，∴（無解）。同理可知。∴。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，∴，解得，與題設(shè)矛盾。∴。易知當(dāng)時(shí)，存在。∴的最大值為1。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個(gè)數(shù)表A∈S（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則。另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)。考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過1（即每個(gè)正數(shù)均不超過1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對(duì)值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為。【考點(diǎn)】邏輯推理，反證法的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）用反證法證明。（3）先構(gòu)造滿足的，用反證法證明是最大值。例4.（年廣東省文14分）設(shè)，集合，，．（1）求集合（用區(qū)間