武漢市研口區2024年九年級上冊《數學》期中試題與參考答案

一、選擇題

共10小題，每小題3分，共30分。下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確,

請在答題卡上將正確答案的代號涂黑。

1.中國“二十四節氣”已被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，下列四

幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱

圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著

某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖

形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】A.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意;

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖

形和中心對稱圖形的定義.

2.將一元二次方程2-+1=5》化為一般形式后，常數項是1,則二次項系數和一次項系數分別

是()

A.2、-5B.2、5

C.2、1D,2/、-5%

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，將所有的項都移到方程的左邊，方程的右邊為

0,再得出二次項系數，一次項系數.

【詳解】2X2+1=5X,

.2x?-5x+1=0

二次項系數為2,一次項系數為-5.故選：A.

3.把圖中的交通標志圖案繞著它的中心旋轉一定角度后與自身重合，則這個旋轉角度至少為

()

A.30°B,90°

C.120°D.180°

2

【答案】C

【分析】根據圖形的對稱性，用360°除以3計算即可得解.

【詳解】■.■360°4-3=120°,

???旋轉的角度是120°的整數倍，

二旋轉的角度至少是120°.

故選C.

4.關于二次函數y=-3(x-17+2,下列說法正確的是()

A.開口向上B.對稱軸是x=T

C.有最小值2D.頂點坐標是。，2)

【答案】D

【分析】根據題目中的函數解析式，可以寫出該函數圖象的開口方向、對稱軸、最值和頂點坐

標，從而可以判斷哪個選項是符合題意的.

［詳解］???y=_3(x_l)2+2,?=-3<0,

;該函數的圖象開口向下，故選項A不符合題意；

對稱軸是直線x=1,故選項B不符合題意；

當x=1時取得最大值2,故選項C不符合題意；

頂點坐標為。，2),故選項D符合題意；

故選：D.

5.某一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有64個人患了流感.設每輪傳染中平均一個人傳染

了x個人，則正確的方程是()

3

A.x+（l+x）=64B.2（l+x）=64

C.l+x+x（l+x）=6401+x+x2+64

【答案】c

【分析】本題考查根據實際問題列出一元二次方程，先用含有x的代數式計算出第一輪感染后

的人數，再在第一輪感染人數的基礎上列出第二輪感染后的人數，列出等式，能夠找到等量關

系是解決本題的關鍵.

【詳解】根據題意可知：第一輪傳染后的感染人數為：1+x,

第二輪傳染后的感染人數為：l+x+x（l+x）,

故可列方程為：l+x+x（l+x）=64,

故選：C.

6.將拋物線＞=-2（x-1）2+3平移后得到拋物線歹=-2_,正確的平移方式是（）

A.向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度

B.向左移動1個單位長度，向上移動3個單位長度

C.向右移動1個單位長度，向下移動3個單位長度

D.向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度

【答案】D

【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.熟練掌握＞=a（x-，）?+左

向左移動〃個單位，向下移動左個單位，得^=^2這個知識點是解題的關鍵.

【詳解】A、將拋物線＞=-2（x-1『+3向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度，得

J=-2（X-2）2+6,不符合題意，該選項是錯誤的；

4

B、將拋物線＞=-2(x-1『+3向左移動1個單位長度，向上移動3個單位長度，得

歹=-2^+6,不符合題意，該選項是錯誤的；

C、將拋物線＞=-2(x-丁+3向右移動1個單位長度，向下移動3個單位長度，得＞=-2(x-2廣

不符合題意，該選項是錯誤的；

D、將拋物線＞=-2(x-1『+3向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度，得丁=-2必,

符合題意，該選項是正確的；

故選：D

7.如圖，在平面直角坐標系中，V49B為等腰直角三角形，NOB4=90°,0A=3五,邊。

在y軸正半軸上，點A在第一象限內，將XMOS繞點。順時針旋轉，每次旋轉45。，則第2023

次旋轉后，點A所對應的點的坐標是()

【答案】C

【分析】觀察圖象可得，點A旋轉8次為一個循環，從而可得點4023與點4的坐標相同，即

可求解.

5

【詳解】如圖，點A旋轉8次為一個循環，

2023+8=252......7,

.,.點4（）23與點4的坐標相同，

點”2023的坐標為（。,3夜）,

故選：C.

r4

■,4,

4—~7A

、、、/

4QJ'、、、J/

.4.

8.一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦48長20厘米，弓形高”為2

厘米，則鏡面半徑是（）

A.24厘米B.26厘米

C.28厘米D.30厘米

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，令圓。的半徑為。5=入貝】JOC=r-2,根

據勾股定理求出。。2+802=。4，進而求出半徑.

【詳解】如圖，由題意，得。。垂直平分48,

6

.?.8C=10厘米,

令圓。的半徑為O8=r,則OC=r-2,

在RtVSOC中，0。2+BC2=QB?,

(r-2)~+102=r2,

解得廠=26.

故選：B.

D_

.1

、、(

*o

9.關于x的一元二次方程V+2x-2/+3=0的兩個實數根分別是玉,馬,貝川西-。(％2+3)的最

大值是()

A,-1。B,-8

C.-6D,-2

【答案】B

【分析】根據一元二次方程根的判別式得到年1,根據根與系數關系得到

X1+X2=-2,X1X2=-2Z+3J利用一元二次方程根的定義得到x/+3=-2%+2f,代入

(石-。￡+3)得到且-川/2+3)=-2r一6,利用不等式的性質進一步即可求出答案.

【詳解】?.?關于X的一元二次方程V+2x-2/+3=0的兩個實數根分別是%,吃,

2

X]+/=—2,%]%2=—2t+3,為？+2X2—2,+3=0,A=2—4(—2/+3)=8%—820,

7

x2~+3=—2X2+2t,>1

=(%-/)(-2x,+2t)

=_2X]X?+2/(X]+%2)—2廠

=-2(-2)+3)-4”2*

=-2t2—6,

：t>\,

二八1,

-2r<-2,

.■1-2t2-6<-8,

則(石-0(4+3)的最大值是-8,故選：B

10.一個水杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AC,BD都是同一條拋物線

的一部分，AB,CD都與水面桌面平行.已知水杯底部AB寬為4gcm,水杯高度為

12cm,當水面高度為6cm時，水面寬度為2而cm.如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞

A點傾斜倒出部分水，如圖2,當傾斜角/R4尸=30。時，杯中水面CE平行水平桌面AF.則

此時水面CE的值是()

8

A.7GcmB.12cm

C.8V3cmD.14cm

【答案】D

【分析】以NB的中點為原點，直線N8為x軸，線段N8的中垂線為軸，建立平面直角坐標

系，得出3和杯子中間點的坐標用待定系數法求拋物線的解析式；將杯子繞。傾斜倒出部分液

體，當傾斜角448尸=30。時停止轉動，求出與了軸的交點坐標G,把點C、G代入求出直

線的解析式，再將二次函數和一次函數聯立求解，求出E點坐標，用兩點間的距離公式求

出。點到￡點的距離.

【詳解】設與3的中點分別為。、F,以所在的直線為X軸，以。尸所在的直線為y

軸，建立如圖所示的直角坐標系，

?在圖3中,NBAF=30。,

ZDCE=30°.

過點C作NOCE=30。，交y軸于點G,則以即為圖3中傾倒后的.

|r

I<77

:\￡

12un\JJ.t/

▲/

\I/

?8/]c▼nI

?.?點。是NB的中點，

OB=—AB=2百cm.

9

二8（2后0）,

同理可知：圖1液面的右端點是（同，6）

根據對稱性可知：左右輪廓線zc,8。所在的拋物線的對稱軸為y軸,

設這個拋物線的解析式為：y=ax2+c,

則由圖1可知，拋物線經過點8（26,0）和點（國,6）,

+c=6

1

a=—

解得：3,

c=-4

124

二拋物線的解析式是：y=^x-4.

1

令V=9-4=12,

解得x=±4石

二。（-4君［2）,CF=4也cm,

又；ADCE=30°,

CG=2FG,

二在比VCFG中，CG?=（2EG『=4EG?=（4G）2+EG2,

解得：FG=4cm,

OG=OF-FG=8cm,

io

??.G（0,8）,

設直線外的解析式是：y=mx+〃，

???直線以經過點C（—46,12）,G（0,8）,

-4y/3m+n=12

"n=8

V3

m=------

解得：3,

〃=8

二直線。￡的解析式是：y=--鼠x+8,

將拋物線與直線CE的解析式聯立得：

尸?4

y=-----x+8

r3

x=-4^3x=3A/3

解得：脂或<,

[y=12[y=5

二￡“5）,

又?.<（-4石,12）,

CE=453G『—（12—5）2=14（cm）

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數，一次函數在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定

系數法求解析式是解題的關鍵.

11

二、填空題

共6小題，每小題3分，共18分。下列各題不需要寫出解題過程，請將結果直接填寫在答題

卡指定位置.

11.已知點尸（x，—2）與點。（4/）關于原點對稱，貝1Jx的值是________.

【答案】-4

【分析】此題考查了關于原點對稱的點坐標特點橫縱坐標都互為相反數，熟記特點是解題的

關鍵.

【詳解】；點尸（X，-2）與點。（4/）關于原點對稱，

x=-4,j=2,

故答案為：-4.

12.參加某商品交易會的每兩家公司之間都簽訂兩份合同，所有公司共簽訂了20份合同，則

共有家公司參加了該商品交易會.

【答案】5

【分析】考查了一元二次方程的應用，甲乙之間都簽訂兩份合同，算兩份，本題屬于重復記數

問題.解答中注意舍去不符合題意的解.

【詳解】設共有x家公司參加了該商品交易會，

則列方程得x（xT）=20

解得：玉=5,X2=-4（舍去），故答案為：5.

13.如圖，某小區有一塊長為15米，寬為10米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形

綠地，它們的面積之和為96m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.設人行通道

12

的寬度為X米，則所列方程是

【答案】(15-3x)(10-2x)=96

【分析】設人行通道的寬度為x米，利用“平移法”將兩塊矩形綠地合在一起，則長為

(15-3x)m,寬為(10-2x)m,即可列出方程.審清題意，根據面積正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

【詳解】若設人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為(15-3x)m,寬為

(10-2x)01,由已知得：(15-3x)(10-2x)=96.

故答案為：(15-3x)(10-2%)=96

14.關于X的一元二次方程(》-3)(》-2)-22=。判斷它的根的情況是_________________.

【答案】方程有兩個不相等的實數根

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，先把方程化為一般形式，再利用根的判別式

計算得出A=1+4/>o,從而可判斷方程根的情況.

【詳解】???(》一3)卜一2)-22=0,

,,,x2-5x+6-p2=0,

A=(-5)2-4X1X(6-/)=1+4/22>0,

二原方程有兩個不相等的實數根；故答案為：方程有兩個不相等的實數根.

15.拋物線少=。/-2依+。(。，。是常數且c>0)經過點/(3刀).下列四個結論：①

13

該拋物線一定經過3（-1，0）；②2a+c〉o；③點4（7+2022,%）,5。+2023,%）在拋物線上,

且外>外,貝心>一2021④若小，〃（能<〃）是方程"2+2ax+c=p的兩個根，其中2>0,貝］J

-3<m<n<l.其中正確的結論是_____（填寫序號）.

【答案】①②④

【分析】①：根據函數圖象經過點的意義，只要得到%+。=0即可；

②：由①得2a+c=-a,結合c>0判斷出"的正負即可；

③：特值法，取"-2021時也符合題意，從而可得到結論；

④：將兩個根轉化為交點的橫坐標，畫出圖象即可判斷.

【詳解】???拋物線經過點/GO,

9。-6。+。=0,

3。+c=0,

當x~11日寸，a+2a+c=0,

.?.3a+c=0,

,該拋物線一定經過5（T0）,故此項正確.

②由①得：c=-3a,

Qc>0,

-3〃>0,

Q〈0,

3?+c=0,

;.2a+c=—a,

14

：.2a+c>0.故此項正確.

③拋物線的對稱軸為直線-下=1,

當/=—2021時，出1,%），A（2,%）,

???a<0,乂>%,

:?t=-2021也符合題意與”-2021矛盾，故此項錯誤.

④?.?加,〃（機<〃）是方程a/+2ax+c=p的兩個根，

,n是拋物線弘=ax2-2ax+c與直線%=夕交點的橫坐標,

；）>0,，如圖：

由圖得：-3<機<〃<1.故此項正確.

故答案：①②④.

16.如圖，在矩形/BCD中，E在BC邊上，H在C。邊上，NEAH=45。,CG是矩形的外

角/DCF的平分線，AAEG=90°5連接片刁4B=5,HG=3,/GHC=NBAE,則￡6的長

是_________，3E的長是_________.

15

HEC

【答案】①.3②.而

【分析】此題考查了矩形的性質，四點共圓，勾股定理，等腰直角三角形的性質等知識，在

上截取=連接ME,HE,推出NCEG=NR4E,進而得到NGHC="EG,利用四點

共圓得到NHEG=N〃CG=45。，由此得到EG的長，求出/E,再根據勾股定理求出8E的長,

正確掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵.

【詳解】在上截取8河=8￡,連接也旦加，

EC

?.?四邊形/BCD是矩形,

ZB=/BCD=/DCF=90°

CG平分一。。/，

ABME=/BEM=ZDCG=45°

-ZAME=ZECG=135°

ZAEG=90°,

16

ZAEB+ZCEG=90°

■：ZAEB+ZBAE=90°

：,NCEG=NBAE

■;ZGHC=NBAE

：.ZGHC=ZCEG,

NHNG=NCNE

：.ZHGN=ZECN=90°

二點E,C,G,H四點共圓，

ZHEG=ZHCG=45°,

ZEHG=ZHEG=45°,

EG=GH=3

■：ZAEH=45°=ZEAH,

:.AH=EH=CGH=30,ZAHE=90°,

：.AE=42AH=6

.BE=slAE--AB2=V62-52=VH,

故答案為：3,VTT.

三、解答題

共8小題，共72分。下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟

或畫出圖形。

17.若關于x的一元二次方程f-為+2=0有一個根是x=l,求b的值及方程的另一個根.

17

【答案】b的值為3,方程另一根為x=2.

【分析】將x=l代入方程x2-bx+2=0得到b的值，再根據根與系數的關系求出另一根.

【詳解】；關于x的一元二次方程x2-bx+2=0有一個根是x=l,

.-.1-b+2=0,

解得：b=3,

把b=3代入方程得：x2-3x+2=0,

設另一根為m,可得l+m=3,

解得：m=2,

則b的值為3,方程另一根為x=2.

18.如圖，在eO中，AB,/C為互相垂直且相等的兩條弦，ODLAB,OE1AC,垂足分

別為D,E.

(1)求證：四邊形NOOE是正方形；

(2)若4。=4,求eO的半徑.

【答案】(1)見詳解(2)272

【分析】本題考查正方形的判定，勾股定理，以及垂徑定理：

(1)根據三個直角可得四邊形NOOE是矩形，因為故四邊形/。。石是正方形；運

用垂徑定理得到4D=AE是解題關鍵;

18

(2)連接。/，根據勾股定理可得半徑.

【小問1詳解】

證明：證明：?/OE1AC,

-AD=-ABAE=-AC

-22

：4B,AC為互相垂直且相等的兩條弦,

AD=AE,ZCAB=9Q°

■：ZADO=ZCAB=ZAEO=90°,

二四邊形NOOE是矩形；

■/AD=AE,

二四邊形NOOE是正方形；

【小問2詳解】

解：連接。/,如圖所示

Xk'rl/

E，C

-：AC=4

：.AE=2

由(1)知四邊形NOOE是正方形;

貝|JOE=AE=2

19

在RtA4OE中，0A=LE2+0E?=J4+4=2行

所以e°的半徑是2起.

19.如圖，在等邊V/8C中，D在NC邊上，連接8。，將8。繞點B順時針旋轉60。得到8E,

連接DE,CE.

(1)求證：AD=CE-,

(2)若8C=6,BD=55,直接寫出△OCE的周長.

【答案】(1)證明見解析(2)11.5

【分析】本題考查的是圖形旋轉的性質及等邊三角形的判定與性質,全等三角形的判定和性質,

1.旋轉圖形的對應邊相等，對應角相等；2.有一角為60度的等腰三角形是等邊三角形；3.兩邊

及夾角對應相等的兩個三角形全等.

(1)先由V/BC是等邊三角形得出NZ8C=60。，AB=BC,根據圖形旋轉的性質得出

ZDBE=60°,DB=BE,進而得出乙48。=NC8E,然后根據SAS證明絲VC8E即可證

明4)=CE；

(2)由=故可得出CE+CO=AD+"=/C=6,由/石3。=60。，=即可判

斷出VBDE是等邊三角形，板DE=BD=55,由此即可得到△DCE的周長.

【小問1詳解】

證明：???V/3C是等邊三角形,

20

■""ZABC=60°5AB=BC,

???將BD繞點B逆時針旋轉60°得到BE,

ZDBE=60°,DB=BE,

NDBE-ZCBD=ZABC-ZCBD,

ZABD=ZCBE,

'AB=BC

■.■在zMSQ和△CBE中，＜NABD=NCBE,

DB=BE

,yABD^/CBE(SAS),

：.AD=CE.

【小問2詳解】

?■?V/BC是等邊三角形，

AC=BC=6,

-：CE=AD,

:.CE+CD=AD+CD^AC=6,

ZEBD=60°,BE=BD,

.?VBQE是等邊三角形，

DE—BD—5.5J

/\DCE的周長=。七+3+。E=/。+8。=11.5.

20.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查反映，如調整價格，每

漲價1元，每星期要少賣出10件.已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大?

21

最大利潤是多少？

【答案】當定價為65元時，利潤最大，最大利潤是6250元.

【分析】設定價為X元，利潤為了元，根據題意求出了與X的函數解析式，即可求解.

【詳解】設定價為x元，利潤為了元，由題意可得：

J=(X-40)[300-10(X-60)]=-10(X2-130X+3600)=-10(X-65)2+6250

■■--IO<O,開口向下

二當x=65元時，y最大，即利潤最大為6250元，

答：當定價為65元時，利潤最大，最大利潤是6250元.

21.如圖是由小正方形組成的8x8網格，每個小正方形的頂點叫做格點.V/3C的頂點都是格

點，尸為線段上的點，僅用無刻度尺的直尺在給定網格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫

圖結果用實線表示，按步驟完成下列問題：

AA

(fl<H

圖1圖2

(1)在圖1中，先將線段8。沿R4方向平移，使點E與點A重合，畫出平移后的線段

再連接PC,畫△2。。，使與VCB尸成中心對稱；

(2)在圖2中，先在NC上畫點E,連接BE,使/ZBE=45。；再在NC上畫點尸，連接

PF,使PF〃BE.

【答案】(1)見解析(2)見解析

22

【分析】(1)根據平移的性質畫出力。=3,連接DC,找到NC的中點，過點P與NC的中點

作直線，交。。于點。，則420。即為所求；

(2)根據網格的特點作等腰直角三角形，斜邊岫與NC交于點￡,則//8E=45。；連接"P

與/C交于一點N,連接8N并延長交于點。，連接P。交NC于點尸，則尸尸即為所求;

【小問1詳解】

如圖所示，△N。。即為所求；

K—7N;

【小問2詳解】

如圖所示，P尸即為所求;

根據等腰三角形的性質以及作圖可得4V垂直平分血7,

\MN=BN

又/PBM=/QMB,BM=BM

■,MQMB^/PBM

23

QM=PB

AM=AB,

AQ=AP

ZAPQ=ZAQP

又；\JAMB是等腰直角三角形，

NAPQ=ZABM=45°

PQ//MB即P尸〃BE

22.如圖，小明訓練推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的

關系是N=/+bx+1.6.

(1)第一次推鉛球時，鉛球運行到水平距離為3m時，鉛球行進的最大高度為2.5m,求鉛球

推出的水平距離；

(2)第二次推鉛球時，推出的水平距離剛好與第一次相同，且。=-玄，求推出鉛球行進的

最大高度；

(3)小明第三次推出的鉛球運行路徑的形狀與第二次相同，推出的水平距離超過第一次，但

不足10米，直接寫出b的取值范圍.

91,17

【答案】(1)8m⑵-m⑶-<^<—

【分析】(1)運用待定系數法求出函數解析式，然后令>=0,求出鉛球推出的水平距離即可;

24

(2)運用待定系數法求出函數解析式，配方為頂點式寫出最大值即可；

(3)把。0,0)代入(2)中的解析式，求出b值，結合題意寫出取值范圍即可.

【小問1詳解】

解：設y=a(x-37+2.5,

即歹=cix1-6ax+9q+2.5,

9〃+2.5=1.6,

tz=-0.1,

.-,J=-0.1(X-3)2+2.5,

令歹=0,貝卜0.1(x-3)2+2.5=0,

解得：匹=8,%=-2(舍去)，

二鉛球推出的水平距離8米；

【小問2詳解】

解：設拋物線的解析式為「(—L6,把(&0)代入得：

1,

——X82+8ZJ+1,6=0

20'

解得：6=0.2,

11Q

-y=-----x2+0.2x+1,6=-----(x-2)~9+—

“2020V'5'

9

推出鉛球行進的最大高度為J米；

【小問3詳解】

25

解：拋物線的解析式為>=-￡/+云+1.6,

當過（10，0）時，-\xl02+106+1.6=0,

解得：6

???推出的水平距離超過第一次，但不足10米，

1,17

■—<b<——

''550'

23.在V/3C中，ZACB=a（a>60°）AC^m,8。=〃，將線段四繞點A逆時針旋轉Q得

到線段

D

KDD

\Cv<

\1

.4^-------------------------------?-*1------------------------------------------------

圖I圖2圖3

（1）如圖1,當a=90。時，過點D作。E1/C于巳求證：DE=AC；

（2）如圖2,當々=120。時，連接C。.

①求證：CD2=3m2+?2;

②如圖3,F是的中點，連接力尸，直接寫出W的長（用含m,n的式子表示）.

【答案】（1）見詳解（2）①見詳解②幺/=：機+；〃

【分析】（1）因為。￡1/。，?=90°,得NC=ZDEA=90。,結合將線段N8繞點A逆時針

旋轉Q得到線段"，得/D4E=/B,即可證明VOZEAZBC,即可作答；

（2）將V/BC繞點A旋轉120。，與/。重合，點C的對應點是點G,過點A作

26

AH1QC,所以4C=/G,ZQAC=120°,得NC4H=60。，則AC=NCsinNW=手小，

那么GC=B機，因為//G°=120。，得NDGC=90。，根據勾股定理即可證明①；連接班

因為F是。。的中點，且“是CG的中點，故必是Rtvc。。的中位線，即印中OG,則

NCHF=NDC?=90°,因為48，。。，所以N/〃C=90。，根據NZ〃C+NCHF=180。，得

三點A、H、尸共線，則//=/H+HF,即可作答②.

【小問1詳解】

證明：因為￡>￡工/。，［=90。，

所以NC=ZZ)￡4=90°,ZBAC+ZB=90°

因為將線段繞點A逆時針旋轉90。得到線段，

所以AB=AD,NBAD=NDAE+ABAC=90°

故NDAE=ZB,

所以V￡UE2VMC(AAS),

貝］JDE=AC

【小問2詳解】

解：因為V/8C繞點A旋轉120。，N8與/。重合，點C的對應點是點￡,過點A作

AH1C1.CJ

J\

所以4C=4G=加，DC】=CB=n,ZQAC=120°

27

因為

所以NC4〃=60。，〃是CG的中點,

x/3AH=ACcosACAH=—m

貝1J//C=/CsinNG4〃=^M,2

那么C[C=Mm,

因為44CQ=120。，

得/C>GC=90。，

在RtVCC。中，DC2=QC2+DC：=3m2+n2,

故可證明①CQ2=3/+/；

連接上小，如圖

因為F是。。的中點，且"是C￡的中點,

所以是Rtvqcz）的中位線

,即HFPOG,HF=；DC[

則NCHF=/DCC=90。，

因為

所以N/〃C=90。,

28

因為+NCHF=180。，

所以三點A、H、尸共線，

貝1JAF=AH+HF=—AC+—DC1=—m+—n,

11

故②中的4F的長為2刃+.

12,

24.如圖1,拋物線＞=一7+4交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.

(1)直接寫出A,B兩點的坐標和直線6C的解析式；

(2)D是直線8。上的點，過點D作x軸的平行線，交拋物線于M,N兩點(點M在點N

的左側)，若DM=3DN,求點D的橫坐標；

(3)如圖2,E在第四象限的拋物線上運動，點F與點E關于y軸對稱，直線》=1分別交直

線BE,BF,x軸于P,Q,G三點，求PG—QG的值.

【答案】(1)/(-4,0),5(4,0),y=-x+4(2)1或16(3)6

【分析】(1)把k°代入＞=-%?+4,即可得，(-4,0),5(4,0),設直線8C的解析式

＞=質+6,運用待定系數法即可作答;

29

(2)設。(4—P，P),因為把y=0代入y=_；/+4得?=-；X2+4,得力卜加6_42,p)t

N(，16-42,夕)，再分類討論，當點D在線段8C上或當點D在射段C8上，結合二次函數的

圖象性質，即可作答；

(3)依題意，設E［機，-：機2+4，再運用待定系數法求出直線總的解

m—4m+4,

析式為y=：—X+4A-機和直線尸E的解析式為y=-——x+m+4,

卞艮據尸G_0G=-+W+4--^―+4-mJ，化簡即可作答.

【小問1詳解】

解：依題意，

1,

才巴了=0代入了=—4廠+4，

1,

貝卜4廠+4=°

解得須=-4,X2=4

即可得，(-4,0),網4,0),

12,

因為＞=_7》一+4

當x=0時，_y=4,止匕時C(0,4)

設直線5c的解析式為了=.+6,

把5(4,0)和C(0,4)代入y=kx+b