精品資源值得珍藏第04講數列求和(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：裂項相消求和法題型二：錯位相減求和法題型三：分組求和法題型四：倒序相加求和法第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識點精準記憶1.公式法(1)等差數列前項和公式;(2)等比數列前項和公式2.裂項相消求和法:裂項相消求和法就是把數列的各項變為兩項之差,使得相加求和時一些正負項相互抵消,前項和變成首尾若干少數項之和,從而求出數列的前項和.①②③④⑤3.錯位相減求和法:錯位相減法求和：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數列的通項公式，其中、中一個是等差數列，另一個是等比數列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和．這種方法叫倍錯位相減法．4.分組求和法:如果一個數列可寫成的形式，而數列，是等差數列或等比數列或可轉化為能夠求和的數列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法:即如果一個數列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數列的前項和.第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·福建·廈門一中高二階段練習）若數列滿足，則的前2022項和為（

）A． B． C． D．【答案】B解：由題得，所以的前2022項和為.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習（文））若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為（

）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D由題可知：設數列{an}的前n項和為所以即所以故故選：D3．（2022·全國·高三專題練習（文））設，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B由于，故原式.4．（2022·江蘇·高二課時練習）求和：.【答案】2076第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：裂項相消求和法例題1．（2022·浙江省淳安中學高二期中）數列的前2022項和為（

）A． B． C． D．【答案】B解：記的前項和為，則；故選：B例題2．（2022·河南安陽·高二階段練習（理））已知是遞增的等差數列，，且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前n項和為，求證：.【答案】(1)(2)見解析.(1)設的公差為，因為，，成等比數列，所以，因為是遞增，所以，故，所以.(2),所以，因為單調遞減，所以單調遞增，故當時，，而，故.例題3．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二階段練習）已知為等差數列的前項和，，．(1)求、；(2)若數列的前項和，求滿足的最小正整數．【答案】(1)an＝4n﹣1，(2)19(1)設等差數列{an}的公差為d，則，即，解得，故，(2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故滿足滿足的最小正整數為19例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數列的前項和滿足：，且成等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)令，求證：數列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析(1)由題意：，兩式相減得到，又，是首項為，公比為的等比數列，再由成等差數列得，得，即，則，的通項公式為.(2)由題意知，例題5．（2022·河南濮陽·高二期末（文））已知數列的前項和為，，且，．(1)求數列的通項公式；(2)已知是，的等比中項，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)當時，，故，又，且，，滿足，故數列為公差為3的等差數列，通項公式為，(2)由題意得：，則，則例題6．（2022·海南華僑中學高二期中）設等比數列滿足，．(1)求的通項公式；(2)若，記數列的前項和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：設公比為，由，，所以，解得，，所以．(2)解：由（1）及，所以，所以因為，即單調遞增，所以，又，所以，即；題型二：錯位相減求和法例題1．（2022·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．【答案】B由，得，兩式相減得.所以.故選：B.例題32．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））已知等差數列的前項和為，數列為等比數列，且，．(1)求數列，的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)，(2)(1)設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以例題3．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知數列，的前項和分別為，，且，．(1)求數列的通項公式；(2)求證：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析(1)因為，所以，則，當時，，所以，化簡得，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，因此(2)，，則，所以，兩式相減得，即，故.所以當時，，所以．例題4．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））已知數列是等差數列，是等比數列，且，，，．(1)求數列、的通項公式；(2)設，數列的前項和為，求．【答案】(1)，；(2).(1)依題意，等比數列的公比，則有，因此，，由得，等差數列的公差，，所以數列、的通項公式分別為：，.(2)由（1）知，，則，于是得，兩式相減得：，所以.例題5．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高二期中）已知各項均為正數的等比數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)設等比數列的公比為，當時，，所以，，無解．當時，，所以解得，或，（舍）．所以．(2)．所以①，則②，①－②得，．所以．題型三：分組求和法例題1．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）數列，，，，．．．，，的前項和的值等于（

）A． B．C． D．【答案】A可得.故選：A.例題2．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學高二階段練習）數列{}中，，前和為，則為（

）A．-12 B．16 C．-10 D．12【答案】A解：因為，所以，，，，故選：A例題3．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））設數列的前項和為，已知，則_________.【答案】960由，當n為奇數時，有；當n為偶數時，，∴數列的偶數項構成以2為首項，以2為公差的等差數列，則，故答案為：960.例題4．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學高二期中）已知數列是等差數列，是等比數列，，，，.(1)求、的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)，(2)(1)設等比數列的公比為，則，；又，，設等差數列的公差為，則，.(2)由（1）得：；.例題5．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習）已知等差數列的前項和為，數列為正項等比數列，滿足，，是與的等差中項．(1)求數列，的通項公式；(2)若，是數列的前項和，求．【答案】(1)，；(2).(1)設等差數列的公差為d，依題意可知：，所以數列的通項公式為，設等比數列的公比為q，依題意可知：，又，所以，又，∴，所以數列的通項公式為；(2)由（1）可知：所以.例題6．（2022·重慶八中模擬預測）在等比數列中，分別是下表第一，第二，第三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行341第二行865第三行91216(1)寫出，并求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和．【答案】(1)，，，；(2).(1)由題意知：，，，因為是等比數列，所以公比為2，所以數列的通項公式．(2)∵，∴,題型四：倒序相加求和法例題1．（2022·江西·南城縣第二中學高二階段練習（文））德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現有函數，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B解：因為，且，令,又，兩式相加得：，解得，故選：B例題2．（2022·江西九江·高二期末（文））德國數學家高斯是近代數學奠基者之一，有“數學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現出超人的數學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C令，，兩式相加得：，∴，故選:C．例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D因為函數滿足，①，②，由①②可得，，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，其前20項和為.故選：D.例題4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高二期中）已知定義在上的函數，則___________.【答案】由，得，所以，設,,由，得即，于是有，解得，所以.故答案為：.例題5．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二階段練習）已知函數，數列為等比數列，，，則______．【答案】∵，∴．∵數列是等比數列，∴，∴．設，①則，②①＋②，得，∴．故答案為：例題6．（2022·全國·高二課時練習）已知，求.【答案】1005.因為，所以，所以.令，倒寫得.兩式相加得，故.例題7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，數列的前項和為，點均在函數的圖象上，函數.(1)求數列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數列的前2020項和.【答案】(1)(2)(3)(1)因為點均在函數的圖象上，所以，當時，，當時，，適合上式，所以.(2)因為，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因為，②因為，所以①②，得，所以.第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．記為數列的前項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴2．設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.3．設數列滿足，．（1）計算，，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數列的前項和．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.（1）［方法一］【最優解】：通性通法由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3