1.1

集合的概念第2課時(shí)集合的表示方法第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握集合的表示方法——列舉法和描述法.(數(shù)學(xué)抽象)2.能進(jìn)行自然語言與集合語言間的相互轉(zhuǎn)換.(數(shù)學(xué)抽象)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一:列舉法把集合的所有元素

出來,并用

括起來表示集合的方法叫做列舉法.

名師點(diǎn)睛用列舉法表示集合時(shí),必須注意以下幾點(diǎn):(1)元素與元素之間需用“,”隔開.(2)集合中的元素必須是確定的.(3)一般地,列舉法適用于有限集:①元素個(gè)數(shù)有限且比較少時(shí),可以全部列舉出來,如{1,2,3};②元素個(gè)數(shù)有限且比較多時(shí),可以列舉一部分,中間用省略號(hào)表示,稱為中間省略列舉,如從1到1

000的所有正整數(shù)組成的集合,可以表示為{1,2,3,…,1

000}.一一列舉

花括號(hào)“{

}”微思考使用列舉法表示集合時(shí),一般適用于什么類型的集合?提示

一般認(rèn)為,集合中的元素個(gè)數(shù)相對(duì)較少,或者有限個(gè)有一定規(guī)律列舉的,可以用列舉法.知識(shí)點(diǎn)二:描述法一般地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有

的元素x所組成的集合表示為

,這種表示集合的方法稱為描述法.

名師點(diǎn)睛使用描述法表示集合時(shí)要注意:(1)寫清該集合中元素的代表符號(hào),如{x|x>1}不能寫成{x>1};(2)用簡明、準(zhǔn)確的語言進(jìn)行描述,如方程、不等式、幾何圖形等;(3)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi),如“{x|x=2m},m∈N*”不符合要求,應(yīng)將“m∈N*”寫進(jìn)“{

}”中,即{x|x=2m,m∈N*};共同特征P(x)

{x∈A|P(x)}(4)元素的取值范圍,x∈R可省略不寫,如集合D={x∈R|x<20},也可表示為D={x|x<20};(5)多層描述時(shí),應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語,如{x|x<-1,或x>1};(6)“{

}”有“全體”的含義,描述法也可以簡寫成列舉法的形式,例如:所有直角三角形的集合可以表示為{x|x是直角三角形},也可以寫成{直角三角形}.微思考(1)什么類型的集合適合用描述法表示?

(2)如何理解定義中的“共同特征P(x)”?試著舉例說明.

(3)集合A={x|x>5}與B={t|t>5}是否表示同一個(gè)集合?提示

含有較多元素的有限集或無限集,且元素的共同特征可以統(tǒng)一描述.提示

屬于集合A的任意一個(gè)元素都具有性質(zhì)P(x),而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)P(x).如偶數(shù)的集合:{x|x=2k,k∈Z};其中“x=2k,k∈Z”即是共同特征P(x)的描述.提示

是.雖然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有實(shí)數(shù)組成的集合,因而表示同一個(gè)集合.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”時(shí),首先是定義“有理數(shù)”——有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱,然后再表示有理數(shù)——用“,p,q∈Z,p≠0”的形式來表示.“集合”與“有理數(shù)”一樣,都是數(shù)學(xué)研究對(duì)象,其研究路徑也可類比.據(jù)此,在上一節(jié)課研究了集合的概念以后,本節(jié)課該研究什么內(nèi)容?問題2自然語言表示的集合文字多,不簡潔清晰,學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的魅力,所以,從數(shù)學(xué)的角度思考,是否可以把自然語言轉(zhuǎn)換成一種數(shù)學(xué)語言呢?探究點(diǎn)一用列舉法表示集合問題3對(duì)于元素個(gè)數(shù)較少的集合,怎么表示比較方便?【例1】

用列舉法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解組成的集合;(2)單詞“see”中的字母組成的集合;(3)函數(shù)y=x與y=2x-1圖象的交點(diǎn)組成的集合.解

(1)方程x2-1=0的解為x=-1或x=1,所求集合用列舉法表示為{-1,1}.(2)單詞“see”中有兩個(gè)互不相同的字母,分別為“s”“e”,所求集合用列舉法表示為{s,e}.規(guī)律方法

1.使用列舉法表示集合時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)在元素個(gè)數(shù)較少或元素間有明顯規(guī)律時(shí)用列舉法表示集合.(2)“{

}”表示“集合”的含義,不能省略,元素之間用“,”隔開,而不能用“、”.元素之間無順序,滿足無序性.2.用列舉法表示集合,要分清該集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.探究點(diǎn)二用描述法表示集合問題4列舉法不方便表示的集合,又該用什么方法來表示?這些集合又具備怎樣的特征?【例2】

用描述法表示下列集合:(1)不等式x-2<3的解組成的集合;(2)函數(shù)y=-x的圖象上的點(diǎn)組成的集合;(3)被3整除余1的正整數(shù)構(gòu)成的集合.解(1)不等式x-2<3的解是x<5,則不等式x-2<3的解組成的集合用描述法表示為{x|x<5}.(2){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.(3){x|x=3n+1,n∈N}.規(guī)律方法

1.一般來說,若集合的元素個(gè)數(shù)較多時(shí),用描述法表示比較合適.2.用描述法表示集合時(shí)應(yīng)弄清楚集合的屬性,即它是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地,數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素,點(diǎn)集用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)代表其元素.3.若描述部分出現(xiàn)代表已知元素以外的字母,則要對(duì)新字母說明其含義或指出其取值范圍.問題5描述法表示集合時(shí),容易遇到“形似”的集合,如何區(qū)分?關(guān)鍵要素是什么?【例3】

已知集合A={x|y=x2+2},B={y|y=x2+2},C={(x,y)|y=x2+2},它們?nèi)齻€(gè)集合相等嗎?試說明理由.解因?yàn)槿齻€(gè)集合中代表的元素互不相同,所以它們是互不相同的集合.理由如下:集合A中代表的元素是x,滿足條件y=x2+2中的x∈R,所以A=R;集合B中代表的元素是y,滿足條件y=x2+2中y≥2,所以B={y|y≥2}.集合C中代表的元素是(x,y),這是個(gè)點(diǎn)集,這些點(diǎn)在拋物線y=x2+2上,所以C={P|P是拋物線y=x2+2上的點(diǎn)}.規(guī)律方法

運(yùn)用描述法,首先要清楚元素是什么,然后再明確元素的性質(zhì)

特征.變式訓(xùn)練已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=2n-1,n∈Z}.集合A與集合B相等嗎?試說明理由.解

A=B,理由如下:A集合表示所有的奇數(shù),B集合也表示所有的奇數(shù).探究點(diǎn)三集合表示方法的選擇問題6集合可以用列舉法、描述法來表示,如何選擇相對(duì)合適的表示方法?【例4】

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?并說明理由.(1)滿足x∈N,y∈N的函數(shù)y=-x+2圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合;(2)滿足二元一次方程x+y=2的解組成的集合;(3)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)組成的集合.解(1)由于x∈N,y∈N,因此滿足函數(shù)y=-x+2圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)只有3個(gè),分別為

因此用列舉法表示為{(0,2),(1,1),(2,0)}.(2)滿足x+y=2的解有無限組,無法列舉.用描述法表示為{(x,y)|x+y=2}.(3)滿足條件的正整數(shù)太多,用描述法可表示為{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.規(guī)律方法

表示集合時(shí),可以根據(jù)題意確定符合條件的元素,再根據(jù)元素個(gè)數(shù)選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?當(dāng)然,有時(shí)兩種方法都可以表示.如本例第1小題的集合可以表示為{(x,y)|y=-x+2,x∈N,y∈N}.問題7選擇列舉法還是描述法表示集合,集合元素的多少是一個(gè)選擇的依據(jù).試用不同的表示方法表示下列集合,從過程、結(jié)果兩方面分析,是否還體現(xiàn)了什么特性?【例5】

用列舉法和描述法分別表示下列集合,并從過程、結(jié)果兩方面分析優(yōu)劣.(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合;解

方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解組成的集合用列舉法表示為{0,1},知道了結(jié)果,卻不知道過程;用描述法表示為{x|x2=x},知道了過程,結(jié)果要進(jìn)一步計(jì)算.解

因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思,所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合用列舉法表示為{0,2,4,6,8,10},知道了結(jié)果,卻不知道過程;用描述法表示為{x|0≤x≤10,且x=2n,n∈N}.知道了過程,結(jié)果要進(jìn)一步計(jì)算.(3)方程組

的解組成的集合.規(guī)律方法

列舉法表示集合重結(jié)果、元素具體可見;描述法表示集合重過程、元素性質(zhì)清晰.表示集合時(shí),除了考慮元素個(gè)數(shù)多少以外,還應(yīng)綜合考慮是需要清楚具體元素,還是需要清楚元素的性質(zhì)特征,再選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?探究點(diǎn)四集合表示方法的綜合應(yīng)用問題8自然語言可以轉(zhuǎn)換成集合語言,是否更需要理解集合語言的含義?【例6】

(1)判斷集合A={x|x=4k±1,k∈Z}與集合B={y|y=2n-1,n∈Z}的元素是否完全相同.解

用列舉法表示兩個(gè)集合,即A={…,-1,1,3,5,…};B={…,-1,1,3,5,…}.所以A與B盡管形式不一樣,但它們所含的元素完全相同.(2)若P={0,2,5},Q={1,2,6},定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列舉法表示集合P+Q.解

用下列表格來表示集合P+Q的含義,P+QP025Q1136224766811由于集合的互異性,∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.規(guī)律方法

1.研究描述法表示的集合中的元素,可以利用列舉法將元素列舉出來,由具體到一般,容易歸納元素的性質(zhì)特征.事實(shí)上,對(duì)于y=2n-1,n∈Z,由于n∈Z,因此n可以分為奇數(shù)與偶數(shù).當(dāng)n=2k(k∈Z)時(shí),y=4k-1(k∈Z);當(dāng)n=2k+1時(shí),y=4k+1(k∈Z),因此集合B={y|y=2n-1,n∈Z}可以表示為{x|x=4k±1,k∈Z}.2.本題中的(2)是一個(gè)關(guān)于集合的新定義問題,應(yīng)正確理解新定義的含義.本題中的集合的代表元素是兩個(gè)數(shù)的和,并且這兩個(gè)數(shù)分別來自兩個(gè)集合P,Q,表格法表示相對(duì)清晰.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.用描述法表示右圖所示陰影部分的點(diǎn)(包括邊界上的點(diǎn))的坐標(biāo)的集合是(

)A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x<0,或-2≤y≤0}B解析

由題圖可知,陰影部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤0,縱坐標(biāo)滿足-2≤y≤0,所以所表示的集合為{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.123456789101112D1234567891011123.定義集合運(yùn)算:A☆B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}.設(shè)集合A={1,},B={-1,0},則集合A☆B中的所有元素之和為(

)A.2 B.1C.3 D.4C解析

由題得A☆B={0,1,2},所以A☆B中所有元素之和為0+1+2=3.1234567891011124.(多選題)設(shè)集合A={x|x=2n+1,n∈N},以下選項(xiàng)中與集合A相同的集合是(

)A.{1,3,5,7,…} B.{m|m=2k+1,k∈N}C.{y|y=2k-1,k∈N*} D.{y|y=2k-1,k∈Z}ABC解析

由題意可得,集合A表示的元素為正奇數(shù).在選項(xiàng)當(dāng)中,A選項(xiàng)為列舉法表示正奇數(shù)集合,正確;B選項(xiàng)與試題中的集合A一樣,只是表示的變量名不同,正確;C選項(xiàng)的k是正的自然數(shù),也是表示正奇數(shù)集合,正確;D選項(xiàng)可以取負(fù)奇數(shù),錯(cuò)誤.123456789101112ABD1234567891011126.已知集合,用列舉法表示集合A=

.

{1,2,4}1234567891011127.已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},則集合B用列舉法表示是

.

{1,2}解析

由題意知A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.1234567891011128.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)大于2且小于5的實(shí)數(shù)組成的集合;(2)24的所有正整數(shù)因數(shù)組成的集合;(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)組成的集合.解

(1)用描述法表示為{x|2<x<5,且x∈R}.(2)用列舉法表示為{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)(x,y)到x軸的距離為|y|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,所以該集合用描述法表示為{(x,y)||y|=|x|}.123456789101112B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.

已知b是正數(shù),且集合{x|x2-ax+16=0}=,則a-b=(

)A.0 B.2 C.4 D.8C解析

由題意可知方程x2-ax+16=0有兩個(gè)相等的正實(shí)根,故Δ=a2-64=0.又方程兩根之和為正數(shù),即a>0,所以a=8,因此方程變?yōu)閤2-8x+16=0,且根為4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故選C.12345678910111210.定義運(yùn)算A-B={x