2024年廣東省廣州市越秀區中考一模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.-2的相反數是（）

A.-B.2C.—D.—2

22

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.

3.如圖，將ABC沿54方向平移到AB'C,若AB=4,AB'^1,則平移距離為（）.

A.2B.3C.4D.5

4.石墨烯堪稱目前世界上最薄的材料，約為0.3納米（1納米=0.000000001米）.與此同時，

石墨烯比金剛石更硬，是世界上最堅硬又最薄的納米材料.0.3納米用科學記數法可以表示

為（）米.

A.3義10-8B.0.3x10-C.3xl0-9D.3x10-1°

5.下列運算正確的是()

A.\[a+b=\[a+s[bB.—a+Z?——(a+b)

C.(4)=a，D.(a—=Q——2ab+

6.關于函數y=-2x+l,下列結論成立的是（).

A.函數圖象經過點(1,1)B.y隨x的增大而增大

C.當x<0時，y>0D.函數圖象不經過第一象限

7.如圖是一個正方體的平面展開圖，若將其按虛線折疊成正方體后，相對面上的兩個數字

之和均為6,則2x-y+z的值為（）

8

C.-12D.-20

8.某班35位同學課外閱讀物的數量統計如下表所示，其中有兩個數據被遮蓋，下列關于課

A.平均數，方差B.中位數，方差C.平均數，眾數D,中位數，眾數

9.如圖，點E為矩形ABCD邊8的中點，點/為邊上一點，且=,若加'=8,

FC=2,則AF的長為（）.

A.10B.46C.12D.2廊

A.①②B.②③C.③④D.②④

二、填空題

試卷第2頁，共6頁

11.若代數式^/^與有意義，則尤的取值范圍是

12.在一個不透明的布袋中裝有紅球、白球共40個，這些球除顏色外都相同.小明從中隨

機摸出一個球記下顏色并放回，通過大量重復試驗，發現摸到紅球的頻率穩定在0.4,則布

袋中紅球的個數大約是.

13.分式方程士=三的解是.

xx-l

14.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰,ABC,其中=AC,ZABC=2T,BC=40cm,

則高AD為cm.（參考數據：sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?0.51）

15.如圖，點E為菱形ABQ）的邊AD上一點，且AE=3,DE=2,點尸為對角線AC上一

動點，若.DEF的周長最小值為6,則sinN3co=

16.如圖，在14ABe中，AC=2,BC=1,ZACB=90°,點D為邊AB上一動點（點。與

點A、8不重合），過點。作DE人AC,連接8.

（1）;CDE外接圓的直徑的最小值是:

（2）CDE內切圓的半徑的最大值是

三、解答題

丫一

17.解方程：3351—-l=x.

18.如圖，線段AC與瓦）相交于點0,ABCD,CD=AB,求證：OC=OA.

DC

⑴化簡A;

(2)若關于x的一元二次方程d+2辦+o+2=0有兩個相等的實數根，求A的值.

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在X軸上，四邊形Q4BC是平行四邊形，反比例

rvj

函數V=—(％>0)過點C(l,3),且與邊AB交于點O.

⑴求反比例函數的解析式；

(2)若點。為邊A3的中點，求直線CD的解析式.

21."英雄花開英雄城”2024廣州傳承弘揚紅色文化系列活動正如火如荼地開展.某社區組

織了形式多樣的學雷鋒志愿服務活動，活動現場設置義診、科普宣傳、普法宣傳、消防宣傳、

交通宣傳等多個便民服務攤位，吸引了眾多市民前來參與活動.其中，前來參與義診活動的

100位市民的年齡整理可得如下的頻數分布表:

年齡分組/歲頻數

0<x<2015

20<x<4025

40<x<6040

60<x<8020

(1)參與義診活動的市民平均年齡為歲;

試卷第4頁，共6頁

⑵某醫院安排了4名醫生前來為市民提供義診，現要從這4名醫生（其中3名女醫生，1名

男醫生）中隨機抽調2人到附近養老院為老人義診，用樹狀圖或列表的方法求抽取的兩名醫

生恰好都是女醫生的概率.

22.人工智能與實體經濟融合能夠引領產業轉型，提升人們生活品質.某科創公司計劃投入

一筆資金購進A、8兩種型號的芯片.已知購進2片A型芯片和1片B型芯片共需900元,

購進1片A型芯片和3片B型芯片共需950元.

（1）求購進1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？

（2）若該科創公司計劃購進A、3兩種型號的芯片共10萬片，根據生產的需要，購進A型芯

片的數量不低于B型芯片數量的4倍，問該公司如何購買芯片所需資金最少？最少資金是多

少萬元？

23.如圖，A3CD為〈。內接四邊形，AC為。的直徑，=點E為AD上一點，

S.EA=EC-

（1）求作點E,連接即，延長即，BC交于點、F（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖中，連接CE.

①求證：為等腰三角形；

②若/C=5,BC=15,求弦DE的長.

24.已知拋物線y=-x?+2妙+〃經過點（2,27〃-3）.

（1）用含加的式子表示“；

⑵當機<0時，設該拋物線與x軸交于點A,8（點A在點8的左側），與>軸交于點C,ABC

的外接圓與y軸交于另一點。（點。與點c不重合），求點。的坐標；

（3）若點石（一3,乂）,《8%），G（m-1,%）在該拋物線上,且當3<fV4時，總有％<%<為，

求為的取值范圍.

25.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=46，點、E,尸分別為邊AB,8c上的點，將線

段石尸繞點廠順時針旋轉60。，得到線段FG.射線尸G與對角線AC交于點連接近0,

EG.

(1)求/FGE的度數；

(2)若FC=2BF,求AM+Affi■-￡B的值;

(3)連接CG,DG,若BFfAE,設「.COG和，EFG的面積分別為豆，邑，當點E在邊A3

上運動時，求蓼的最大值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】本題考查相反數的定義.根據相反數的定義“只有符號不同的兩個數互為相反數”

判斷即可.

【詳解】解：-2的相反數是2.

故選B.

2.A

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定

義，即可求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：A.

3.B

【分析】本題考查的是平移的性質，根據圖形平移的性質可知=再由AB=4,

4?'=1可得出A4'的長，進而可得出結論，熟知把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得

到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖

形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點，連接各組對應點的線段平行且相等是解題

的關鍵.

【詳解】解：將ABC沿54方向平移到AB'C,AB=4,AB，=1,

:.AB=AB'=4,

:.AA'=AB1-AB'=4-1=3,

平移距離為3.

故選：B.

4.D

【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數，絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法

表示，一般形式為axlCT,與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數幕，

指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定，一般形式為axl(T",其中

1<1?1<10,〃為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的。的個數所決定.

答案第1頁，共20頁

【詳解】解：0.3納米=0.3x0.000000001米=3x10-。米.

故選：D.

5.D

【分析】此題主要考查了塞的乘方運算、完全平方公式、二次根式的加減運算，直接利用幕

的乘方運算法則、完全平方公式、二次根式的加減運算法則分別化簡，進而得出答案，正確

掌握相關運算法則是解題關鍵.

【詳解】解：A.而^無法變形，故此選項不合題意；

B.-a+b=-(a-b),故此選項不合題意；

C.(?2)3=?6,故此選項不合題意；

D.(a-b)2=a2-2ab+b2,故此選項符合題意.

故選：D.

6.C

【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵.將x=l代入

解析式求出函數值，即可判斷A選項；根據一次函數的增減性，即可判斷B選項；根據一

次函數與坐標軸的交點坐標，即可判斷C選項；根據一次函數的系數，即可判斷D選項.

【詳解】解：A.當x=l時，y=-2xl+l=-l,即函數圖象經過點(1,-1),原結論錯誤，不符

合題意；

B.k=-2<0,即y隨X的增大而減小，原結論錯誤，不符合題意；

C.函數>=-2尤+1過點即當x<g時，y>0,原結論正確，符合題意

D.函數y=-2x+l圖象經過一、二、四象限，原結論錯誤，不符合題意；

故選：C.

7.A

【分析】本題考查了正方體的展開圖形，代數式求值，根據正方體的平面展開圖中，相對面

的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答.

【詳解】解：“y”所在面與“3”所在面相對，“z”所在面與“-1”所在面相對，“x”所在面與“8”所

在面相對，

貝iJy+3=6,z+(—l)=6,x+8=6,

解得：y=3,z=7,x=—2,

答案第2頁，共20頁

/.2x—y+z=2x(-2)-3+7=0,

故選：A.

8.D

【分析】本題考查了統計量的選擇，熟練掌握眾數和中位數的定義是解題的關鍵；根據眾數

和中位數的定義求解即可.

【詳解】這組數據中本數為2、3的人數和為：35-9-7-9-3-2=5,

則這組數據中出現次數最多的數9,即眾數9,與遮蓋的數據無關；

5+9+7=21>18,

第18個數據為7,則中位數為7,與被遮蓋的數據無關；

故選：D.

9.C

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，作輔助線構造全等三角形是解

題關鍵.根據矩形的性質，先證明ADE”AGE(AAS),得到ED=EG,AD=AG=10,

再證明Rt一及萬四Rt_EGP(HL),得到產G=CF=2,即可求出川的長.

【詳解】解：如圖，過點E作及；人A尸于點G,連接E尸，

四邊形A5c。是矩形，BF=8,FC=2,

：.ZD=ZC=90°,AD=BC=BF+CF=10,

在VADE和AGE中，

ZEAD=ZFAE

<ZD=NAGE=90°,

AE=AE

ADE^AGE(AAS),

:.ED=EG,AD=AG=10,

點E為C￡>的中點，

:.CE=DE=EG,

在RtEb和RtZXEGV中，

(CE=EG

\EF=EF，

答案第3頁，共20頁

.'.RtECF^RtEGF(HL),

.-.FG=CF=2,

:.AF=AG+FG=10+2=12,

【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，一元二次方程根和系數的關系，掌握二次函數

的性質是解題關鍵.先得出拋物線對稱軸為X=3，進而得到6=-跖再根據x=-1時的函數

值，得出c=l-2a,再分別表示出加、P,列出不等式組求出。的取值范圍，即可判斷結論；

根據一元二次方程根和系數的關系，即可判斷結論；根據。=-”，c=l-2a,即可判斷③結

論；根據拋物線的對稱性可得機=",即可判斷④結論.

【詳解】解：由表格可知，拋物線對稱軸為％=—詈=

22

,_A_1

??一，

2a2

:.b=—a,

當工=_］時，y=a-b+c=2a+c=l,

:.c=l—2a,

y=ax2—ax+l—2a,

:.m=l-2a,p=l+4a,

m-p<0,

/.(I-2^)(1+4?)<0,

fl-2Q>0、Jl-2a<0

』+4a<0叫l+4a>0，

解得：“<-!或.>1,①結論錯誤；

42

若方程ax2+Zzx+c=0的兩個實數根為毛、巧，

答案第4頁，共20頁

b

則%+%=—-=1,②結論正確；

a

b=-a,c=l-2a,

:.a+3b-c-a-3a-(l-2a)--l<0,③結論正確；

根據拋物線的對稱性可得，當x=0和x=1時的函數值相等，

.".m=n,

m-p<0,

■.np<0,④結論錯誤；

即正確的結論是②③

故選：B

11.x>3

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數是非負數是解答

此題的關鍵.根據二次根式有意義的條件列出關于X的不等式，求出X的取值范圍即可.

【詳解】解：根據題意知x-3N0,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

12.16

【分析】本題考查了利用頻率估計概率，用總球的個數乘以摸到紅球的頻率即可得出答案,

解答本題的關鍵要明確：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且

擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個

固定的近似值就是這個事件的概率.

【詳解】解：一個不透明的布袋中裝有紅球、白球共40個，其中摸到紅球的頻率穩定在

0.4,

布袋中紅球的個數大約是40x0.4=16(個)；

故答案為：16.

13.x=-l

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到

分式方程的解.

【詳解】解：去分母得：/1=2元，

解得:x=-\,

答案第5頁，共20頁

經檢驗x=-l是分式方程的解，

故答案為：X=-1.

【點睛】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為

整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

14.10.2

【分析】本題主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握三角形函數的

應用是解題關鍵.首先根據等腰三角形的性質可得即=12。=20cm,然后利用三角形函

數計算AD的長度即可.

【詳解】解：???=BC=40cm,AD為邊上的高，

???BD=CD=-BC=20cm,

2

???ZABC=2T,

ATJ

...在RtAABD中，可有tan/ABC=—,

BD

AD=BDxtanZABC=20xtan27°?20x0.51=10.2cm.

故答案為：10.2.

4

15.—/0.8

5

【分析】本題考查了菱形的性質，軸對稱一最短路徑問題，勾股定理逆定理，銳角三角函數，

推出㈤龍是直角三角形是解題關鍵.連接班'、BE,根據菱形好軸對稱的性質，得到

EF+DF>BE,進而求出3E=4,再利用勾股定理逆定理，推出一ABE是直角三角形，再求

正弦值即可.

【詳解】解：如圖，連接8尸、BE,

四邊形ABCD是菱形，AE=3,DE=2,

.-.AB=AD=5,點。和點3關于AC對稱，ZBCD=ZBAD,

:.BF=DF,

:.EF+DF=EF+BF>BE,

,DEF^J^^Z=DE+EF+DF>2+BE,

戶的周長最小值為6,

:.BE=4,

AE2=9,BE2=16.AB2=25,

答案第6頁，共20頁

：.AE2+BE2=AB2>

1是直角三角形，ZAEB=90°,

..si,n/‘BnAZs)=BE=—4.

AB5

4

/.sinZBCD=-,

、4

故答案為：—

【分析】本題考查了直角三角形的外接圓和內切圓綜合題，相似三角形的判定和性質，勾股

定理等知識，掌握直角三角形外接圓直徑為斜邊長，內切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊

的差的一半是解題關鍵.

(1)當時，C。作為,COE外接圓的直徑最小，由勾股定理可得48=百，設=

則AD=遙7,根據。02=8。2-&>=472-">2歹1方程，求出x的值，進而得到8的長

即可求解；

(2)令DE=a,CE=b,CD=c，內切圓半徑為人利用完全平方公式可得2他4〃十廿，

進而推出叵1c,再根據當。=6時，有2仍="+/；2最大，即當DE=CE時，內

2

切圓的半徑的最大，證明血匕ACB,得至|」巖=嚷，設DE=CE=x,則AE=2—%,求

nCAC

出DE=CE=)進而得到c。=述，再根據直角三角形內切圓半徑公式求解即可.

【詳解】解：(1)CDE為直角三角形，

外接圓直徑為斜邊CD的長，

.,.當CDLAB時，CO作為.CDE外接圓的直徑最小，如圖，

AC=2,BC=1,ZACB=90°,

.-.AB=VAC7+BCr=^>

CD2=BC2-BD2=AC2-AD2,

設3D=x,則AT>=g-x,

答案第7頁，共20頁

(2)令DE=a,CE=b,CD=c,內切圓半徑為尸，

.一CL更是直角三角形，

c2=a2+b2，

(a-fe)2>0,

a?+片—2clbN0,

/.2ab</+b2

c2222222

r_Q+/?c_J(Q+b)~_y/a+b+2ab-c_y/c+2ab-c<ylc+a+b-c_^2c-c_y/2-1

2-2-2-2-2-22

當a=Z;時，(a—Z?)2=o,此時2〃?=/+/最大,

???當a=b時，r有最大值，

即當。石=CE時，CD石內切圓的半徑的最大，

DE1AC,ZACB=90°,

:.DE//BC,

,\ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

AEDsACB,

DEAE

*BC-AC*

設DE=CE=x,貝!JAE=AC—CE=2—九,

答案第8頁，共20頁

x_2—x

??一=,

12

22

x=—,即DE=CE=—,

33

.-.C￡>=72￡>￡=—，

3

2220

???內切圓半徑為§+［一-丁2-拒

2——3~

故答案為：上這

3

17.x=3

【分析】本題考查了解一元一次方程，根據解一元一次方程的步驟解方程即可求解.

【詳解】解：**■一l=x,

去分母得，3x-l-2-2x,

移項得，3x-2x=l+2,

解得：x-3.

18.見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識點，掌握全等三角

形的判定與性質成為解題的關鍵.

根據平行線的性質可得"=再根據對頂角相等并結合已知條件可證

0co2CMB(AAS),最后根據全等三角形的性質即可證明結論.

【詳解】證明：CD,

JZD=ZB,

在jOCD和Q4B中，

ZDOC=ZAOB

<ZD=ZB,

DC=AB

答案第9頁，共20頁

：..OCD^OAB（AAS）,

：.OC=OA.

1

19-⑴M

*

【分析】本題考查了分式的混合運算，一元二次方程根的判別式，掌握相關運算法則是解題

關鍵

（1）先將除法化為乘法約分，再通分計算減法即可；

（2）根據一元二次方程根的判別式，求得。=2或。=-1,再結合分母不為0,得到。=2,

代入計算求出A的值即可.

4-I1

【詳解】（1）解：4—1T（a+i）」

ci—2。+1a

（a+l）（a-l）11

=-----2--X-----

（Q—1）。+1a

_1__J

a—1a

a—（Q—1）

tz（a-l）

1

〃（〃一1），

（2）解：，關于1的一元二次方程12+2依+Q+2=0有兩個相等的實數根，

.?.△=（2a）2—4（々+2）=0,

解得：a=2或。=-1,

.a+1w0,

aw—1,

a=2,

'A“-------1------=—1

"2x（2-l）2

3

20.（l）y=-

x

答案第10頁，共20頁

39

(2)y=——x+—

22

【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式

是關鍵.

（1）待定系數法求出反比例函數解析式即可；

（2）根據平行四邊形的性質可知，點C,8的縱坐標相同為3,求得。再利用待定

系數法求出一次函數解析式即可.

【詳解】（1）解：反比例函數y=—（%>。）過點C（L3）,

x

..JTI=3,

???反比例函數解析式為：

X

（2）解：四邊形。45c是平行四邊形，

:.CB//OA,

...點C,8的縱坐標相同為3,

點。為邊A5的中點，點C的縱坐標為0,

3

.??點。的縱坐標為

2

當y時，X=J=2,

22

3

設直線CD的解析式為y=kx^b,

3k=--

2k+b=-“口2

<2,解得，

k+b=3b=-

i〔2

39

???直線8的解析式為：y=--x+|.

21.（1）43

⑵3

【分析】本題考查了加權平均數，列表法或樹狀圖法求概率.

答案第11頁，共20頁

(1)根據加權平均數的定義列式計算即可；

(2)根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式求解即可.

【詳解】(1)解：參與義診活動的市民平均年齡為1°'15+3°X2；,；°x40+70x20=43歲,

故答案為：43

(2)解：畫樹狀圖如下：

開始

小小

女/女k女男Z女女\男女女男女女

由樹狀圖可知，共有12種情況，其中兩名醫生恰好都是女醫生的情況有6種，

即抽取的兩名醫生恰好都是女醫生的概率為先

22.(1)購進1片A型芯片需350元，購進1片3型芯片需200元；

(2)該公司購買A型芯片8萬片，8型芯片2萬片所需資金最少，最少資金是3200萬元

【分析】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的實際應用,

正確理解題意，找出數量關系是解題關鍵.

(1)設購進1片A型芯片需x元，購進1片8型芯片需丁元，根據“購進2片A型芯片和1

片B型芯片共需900元，購進1片A型芯片和3片B型芯片共需950元”列二元一次方程組

求解即可；

(2)設購進A型芯片的數量為。萬片，則購進8型芯片數量為(10-。)萬片，根據“購進A型

芯片的數量不低于B型芯片數量的4倍”列不等式，求出。的取值范圍，令購買芯片所需資

金為w,根據題意得到w關于。的一次函數，利用一次函數的增減性求解即可.

【詳解】(1)解：設購進1片A型芯片需工元，購進1片3型芯片需y元，

“f2x+y=900x=350

由題意得：/“C，解得:

［尤+3y=950y=200

答：購進1片A型芯片需350元，購進1片B型芯片需200元；

(2)解:設購進A型芯片的數量為。萬片，則購進B型芯片數量為(10-。)萬片,

由題意得：a>4(W-a),

答案第12頁，共20頁

解得；a>8,

令購買芯片所需資金為w,

貝|w=350o+200（10~?）=150a+2000,

150>0,

二卬隨。的增大而增大，

.,.當a=8時，w最小，最小值為150x8+2000=3200萬元，

10—a=2萬片，

答：該公司購買A型芯片8萬片，B型芯片2萬片所需資金最少，最少資金是3200萬元

23.（1）詳見解析

（2）①詳見解析；②三亞

【分析】（1）利用垂徑定理的性質可作AC的垂直平分線交圓。與點E,即可得解；

（2）①如圖，連BD,利用圓周角定理證出NECF=135。一/A。，NF=135°-NDCF,由四

邊形ABCZ）為圓內接四邊形證出/瓦=進而可證出/F=NEC/,即可得解，②

先證出AB=3￡>=20,再由勾股定理得出4c=25,由FEC^得出比值，代入計算即

可得解.

【詳解】（1）如圖，作AC的垂直平分線交圓。與點E,點E即為所求作的點，

(2)①如圖，連BD,AE,

答案第13頁，共20頁

???EA=EC，AC為直徑，

1800-90°

AZACE=-----------=45°,ZADC=90°

2

???ZACE=ZADE=45°f

???ZEDC=135°=ZF+/DCF,ZECF=180?！猌ACE-ZACB=135。—ZACB,

：?/F=135?！猌DCF,

???四邊形ABC。為圓內接四邊形，

???/BAD+/BCD=180°,

?；/BCD+ZDCF=180。,

；./BAD=/DCF

?：AB=BD，

:.ZBAD=ZBDA=ZACB,

：.ZDCF=ZACB,

：.NF=/ECF,

：.EC=EF,

???△CEF為等腰三角形；

②??,CQ所對的圓周角為NDECNDBC,

:.NDEC=NDBC,

NF=NF,

；?/BDF=/ECF,

由①知，ZECF=ZF,

:.ZBDF=ZF,

：.BD=BF=BC+CF=15+5=20,

;AB=BD，

：.AB=BD=20,

???AC為直徑，

JZABC=90°f

AC=VBC2+AB2=V152+202=25，

答案第14頁，共20頁

VZFEC=ZDBF,/F=/F,

：?-FECsFBD,

.FE_CF

??麗-5F'

250

???亍二5，

20—DF

DF=4正,

【點睛】本題主要考查了圓的綜合性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，相似三角形

的判定和性質等知識點，熟練掌握其性質，合理作出輔助線是解決此題的關鍵.

24.(l)n=—2m+l

(2)。(0,—1)

⑶%>15或一IV%

【分析】本題考查了二次函數的圖象的性質，三角形的外接圓，同弧所對的圓周角相等；

(1)把點(2,27〃-3)代入拋物線、=一/+2皿+〃，即可求解；

(2)先求得A8,C的坐標，進而得出AOC是等腰直角三角形，根據同弧所對的圓周角相

等得出ZABD=ZACD=45。得出OBD是等腰直角三角形,即可求解；

(3)根據、3)在該拋物線上，貝!I%=療-2〃2=(m-l)2-1,由當3</<4時，總有

%<%<%，分點/在￡G之間，和對稱軸右側兩種情況，分類討論，即可求解.

【詳解】(1)解：把點(2,2機一3)代入拋物線'=一/+2〃a+九，

得,-A+Am+n-2m—3,

解得：n=—2m+1；

答案第15頁，共20頁

(2)解：'：n=-2m+l,

y=-x2+2mx-2m+1,

當y=。時，貝U—x?+2mx—2m+1=0,

解得：x=l或無=2機一1；

又：點A在點B的左側，

AA(2/M-1,0),5(1,0),

當x=0時，則y=l-2m,即C(0,l-2"t),

.,.當機<0時，OA-OC=l-2m,

AOC是等腰直角三角形，

/.ZACD=45°,

ABC的外接圓與y軸交于另一點。，

ZABD^ZACD^45°,即O3D是等腰直角三角形,

VOB^l,則0￡>=1,

根據圓的對稱性可得：D(o,-1)；

(3)解：在該拋物線上,貝！J%="'-2m=-1,

*/y=—x2+2mx—2m+l=—^x—m^+"，—2m+l,

拋物線對稱軸為直線x=m,

...點G的橫坐標即點G在對稱軸的左側，

???當3。44時，總有％<%<%，

圖①不成立，

答案第16頁，共20頁

②

當下的位置滿足圖②時，4<772-1,

解得：m>5,

2

/.y3=m-2m=(zn-1)"-1,則為>15,

m+1<3

當廠的位置滿足圖③時，則

2m+3〉4'

解得：止匕時一IV%W。,

綜上所述，%>15或-14%40.

25.(l)ZFGE=60°

(2)4

【分析】(1)根據性質的性質可得是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可求解；

(2)過點尸作尸尸FQ_LAC于點尸,Q,延長至點N,使得?V=MQ,連接FN,

得出ZAC8=30。，證明"QMqEBN(ASA),EFN這一EFM(SAS),進而證明

FPM-FQM,得出MP=MQ=8N,連接"，證明RtABF^RtAQF(HL),得出

AQ=AB=4,^^AM+ME-BE=AM+EN-BE=AQ=4,即可求解；

(3)取EG的中點0,連接尸O,BO,過點。作OR_LAE于R,過點G作PQ〃A。分別

FOr-

交AB、CD于尸、Q,得出=tan60。=真，證明B,E,0,尸四點共圓，進而證明

EO

EORsEGP,得出GP=2OR=26,求得耳=4百，設4￡=%則8歹=氐,8￡=4-x,

根據邑=S謝=；EG"=￥EG2表示出邑，則.=(了_：+3，根據二次函數的性質,

答案第17頁，共20頁

即可求解.

【詳解】(1)解：??,將線段所繞點/順時針旋轉60。，得到線段FG,

???△八光是等邊三角形，

???NEG尸=60。，

(2)如圖所示，過點尸作尸