二O二四年初中學業水平模擬考試（二）

數學試題

說明：

1.試題由選擇題和非選擇題兩部分組成，共6頁.選擇題30分，非選擇題90分，共120分.考

試時間為120分鐘.

2.將自己的姓名、準考證號、班級、考場（座位號）填涂到答題卡指定位置.選擇題選出答案,

要用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號（ABCD）涂黑，如需改動，必須用橡皮擦干凈，

再改涂其它答案.非選擇題答案直接寫在答題卡相應位置，考試結束，只交答題卡.

3.答題必須用0.5mm黑色簽字筆.

4.不允許使用計算器.

愿你放松心情，認真審題，縝密思考，細心演算，交一份滿意的答卷.

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個選項符合要求。

r\r\

1.下列實數4、—一、也、-布、3.14中，無理數有

37

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.“致中和，天地位焉，萬物育焉.”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現，常被運用于建筑、器物、繪畫、

標志等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光.下列大學的校徽圖案是軸對稱圖形的是

⑥,遍通回

3.2024年春節文旅消費“熱辣滾燙”。文旅部公布的數據顯示，2024年春節假期，全國旅游人次達4.74億,

實現旅游收入6326.87億元，同比增長47.3%.其中6326.87億用科學記數法可表示為

A.6.32687xlO11B.0.632687xlO12C.63.2687xlO10D.6.32687xlO13

4.下列計算結果為的是

A.（a。）,B.a"十a?C.a，+礦D.ci,cc^

5.古代中國建筑之魂一一傳統的禪卯結構.樺卯是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結構方式，是

在兩個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式.如圖所示是樟卯結構中的一個部件，它的主視圖是

A.□JIB1—0

D.

1

9X—1nj

6.關于x的方程一二=一一+1有增根，則機的值是

x—2x—2

A.0B.2或3C.2D.3

7.如圖，四邊形ABC。是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點2為圓心，8。長為半徑作弧，交于點E；②

分別以。、E為圓心，以大于工。￡的長為半徑作弧，兩弧相交于點F作射線8尸交于點G,連接CG,

2

若NBCG=30°,菱形A8CD的面積為26，則AE=

A.^2B.4—C.3-D.2

8.“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發明小明購買了“二十四

節氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在

案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概

率是

9.如圖，在3x3的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的

圓弧為格點△A3C外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為

10.在平面直角坐標系中，若點尸的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為完美點.已知二次函數

25°

y=ax2+6x-----（aw0）的圖象上有且只有一個完美點，且當怎心機時，二次函數丁=以2+6*一5（。w0）

4

的最小值為-5,最大值為4,則機的取值范圍是

A.掇）〃3B.3麴血5C,3麴血6D."三3

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

2

11.分解因式：2/+18—12x=.

—x+2<2%—7

12.不等式組1的解集是尤>3,那么〃的取值范圍是.

x>a

13.如圖，數軸上點A、5表示的數分別為相、化簡：|加一川—占了=.

m0n

14.定義：若x,y滿足％2=4y+%,y2=4x+ty（/為常數），則稱點M（x,y）為“和諧點”.若尸

（3,m）是“和諧點”，則機=.

15.如圖，△ABC的邊上有。，及廠三點，ZB=ZFAC,BD=AC,/BDE=/C.若BE=1,EF=5,

q

FC=4,貝ij^^=

"△ABC

16.如圖1,在菱形ABC。中，點尸沿48-C方向從點A移動到點C,設點尸的移動路程為x,線段AP的長

為y,點尸在運動過程中y與尤的變化關系如圖2所示，點尸運動到8C邊上時，當x=18,y的值最小為12,

則a的值是.

三、解答題（本題共8小題，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本題滿分8分）

(1)計算：(2024—兀)°+(—廠2—2tan45。；

（2）先化簡，再求值：（匕@一。+1]+與L,其中。=一21.

[aJa+a3

18.（本題滿分8分）今年是中國共產主義青年團成立100周年，某校為了了解九年級480名同學對共青團知

識的掌握情況，對他們進行了共青團知識測試.現隨機抽取甲、乙兩班各15名同學的測試成績（滿分100分）

進行整理分析，過程如下：

【收集數據】

3

甲班15名學生測試成績分別為：78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95,100.

乙班15名學生測試成績中90,,x<95的成績如下：91,92,94,90,93.

【整理數據】

班級75,,尤<8080?%<8585?%v9090?x<9595,,%<100

甲11346

乙12354

【分析數據】

班級平均數眾數中位數方差

甲92a9347.3

乙9087b50.2

【應用數據】

(1)根據以上信息，可以求出：a=分，b=分；

(2)若規定測試成績90分及以上為優秀，請估計參加本次測試的480名學生中成績為優秀的有多少人；

(3)根據以上數據，你認為哪個班本次測試的整體成績較好？請說明理由(理由不少于兩條).

19.(本題滿分8分)為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校決定在課后看護中增加乒乓球項目.體

育用品商店得知后，第一次用900元購進乒乓球若干盒，第二次又用900元購進該款乒乓球，但這次每盒的進

價是第一次進價的1.2倍，購進數量比第一次少了30盒.

(1)求第一次每盒乒乓球的進價是多少元？

(2)若要求這兩次購進的乒乓球按同一價格全部銷售完后獲利不低于510元，則每盒乒乓球的售價至少是多

少元？

20.(本題滿分8分)如圖，反比例函數y=七與一次函數y=—2%+陰的圖象交于點A(-1,4),BCLy軸

X

于點。，分別交反比例函數與一次函數的圖象于點B,C.

求反比例函數y二8與一次函數y=-2x+m的表達式;

(1)

x

(2)當OD=1時，求線段的長.

直接寫出幺，-2%+機的解集.

(3)

X

21.(本題滿分9分)風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義.某電力部門在一處坡角

為30。的坡地新安裝了一架風力發電機，如圖1.某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發電機的塔桿高度

4

進行了測量，圖2為測量示意圖.已知斜坡CD長16米，在地面點A處測得風力發電機塔桿頂端尸點的仰角

為45。,利用無人機在點A的正上方53米的點B處測得P點的俯角為18。,求該風力發電機塔桿PD的高度.(參

考數據：sin18°?0.309,cosl8°?0.951,tanl8°?0.325)

22.(本題滿9分)如圖，AB是一。的直徑，點C和點E在.。上，AC平分NE48,過點C作AE所在直

線的垂線，垂足為點。，CD交A2的延長線于點P

(1)求證：。與PD相切.

(2)若AC=26，半徑是3,求。￡的長.

23.(本題滿分10分)如圖，拋物線丁=。必+法—3與x軸相交于點A(-1,0),B(3,0),與y軸相交于

點C.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當上4=PC時，求點P的坐標；

(3)點M為該拋物線上的一點，連接BC,CM,當NBQW=90°時，求點M的坐標.

24.(本題滿分12分)綜合實踐

問題背景：借助三角形的中位線可構造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉，對應頂點連線的長度存在

特殊的數量關系，數學小組對此進行了研究.如圖1,在△A3C中，ZB=90°,AB=BC=4,分別取AB,

AC的中點。，E,作ZXADE.如圖2所示，將△ADE繞點A逆時針旋轉，連接BD,CE.

5

（1）探究發現：旋轉過程中，線段8。和CE的長度存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明.

（2）性質應用：如圖3,當。E所在直線首次經過點8時，求CE的長.

（3）延伸思考：如圖4,在RLAABC中，ZABC=9Q°,AB=4,3c=3,分別取AB,8c的中點。，￡.作

△BDE,將繞點8逆時針旋轉，連接ADCE.當邊AB平分線段。E時，求tanNECB的值.

二。二四年初中學業水平模擬考試（二）

數學試題參考答案

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個選項符合要求。）

1.B2.A3.A4.D5.C6.D7.B8.B9.D10.C

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.2（x-3）212.a,,313.n14.-715.-16.4\/13

4

三、解答題（本題共8小題，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（8分）解：（1）（2024-71）°+（1）-2-2tan45°=l+4-2xl=3；

(2)解：-a+1)4-1

aa~+a

1-a/1、+

=------(tz-l)--------

aJa-l

l—a——I)q(〃+l)

=---------------------

aa-l

(I+a)(l-d)a(a+1)

--------------------

aa-l

=—(a+1)2

II

當〃=—2］時，原式=—(—2§+l)29

6

16

一~9

18.(8分)解:(1)100,91；

(2)根據題意得：

4+6+5+4

480x=304（人）,

30

答：估計參加本次測試的480名學生中成績為優秀的有304人；

（3）甲班成績較好，理由如下：

因為甲班成績的平均數大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整體平均成績大于乙班且甲班成績穩定（答案不唯

一，合理均可）.

19.（8分）（1）解：設第一次每盒乒乓球的進價是尤元，則第二次每盒乒乓球的進價是1.2x元，

900

由題意得：---+30

xL2x

解得：x=5,

經檢驗：x=5是原分式方程的解，且符合題意.

答：第一次每盒乒乓球的進價是5元；

（2）解：設每盒乒乓球的售價為y元，

第一次每盒乒乓球的進價為5元，則第二次每盒乒乓球的進價為5x1.2=6（元）,

由題意得：---x(y—5)H-------x(y—6)三510,

56

解得：衿7.

答：每盒乒乓球的售價至少是7元.

20.（8分）解：（1）—反比例函數y=K（x<0）與一次函數y=-2%+機的圖象交于點A（-1,4）,

x

.?.4=-^,4=—2x(—1)+加，

:.k=—4,m—2,

4

二.反比例函數為y=——,一次函數為y=—2x+2；

x

(2)軸于點5C無軸，

OD=1,:.B、。的縱坐標為1,

4

把y=l代入y=—,得x=

x

7

把y=l代入y=—2x+2,得無=；,

B(-4,1),0(—,1),

2

BC=-+4=4-.

22

(3)由圖象可得—+m的解集為：—L,x<0.

尤

21.(9分)解：如圖，過點P作？/，人3于點R延長交AC延長線于點E,

根據題意可得：AB,尸。垂直于水平面，ZDCE=3G°,ZPAC=45°,ZGBP=1S°,

:.PE±AE,

CD=16米,

DE=-CD=16x-=8(米),

22

設PD=x米，則?E=PD+DE=(8+x)米，

NR4c=45。，PELAE,

PE

:.AE=--------=(8+x)米，

tan45°

AB1AE,PELAE,PFLAB,

四邊形FAEP為矩形,

，Pb=AE=(8+x)米，AF=PE=(8+x)米,

AB=53米，

r.=AB—AF=53—(8+x)=(45—九)米，

ZGBP=18°,

.-.ZBPF=18°,

RF45-尤

—=tanl8°,即-------0.325,

PF8+x

8

解得：%~32,

答：該風力發電機塔桿的高度為32米.

22.（9分）（1）證明：連接OC,則OC=Q4,

:.ZOCA=ZBAC,

AC平分ZE4B,=

:.ZOCA=ZEAC,：.OCAE,

CDLAE交AE的延長線于點E,:.ZOCP=ZD=90°,

0c是廣。的半徑，且PDLOC,

O與尸。相切.

（2）解：連接BC、CE,

D

O的半徑是3,是二。的直徑，

:.AB=6,ZACB=9Q°,

NEAC=NBAC,AC=2娓,

CE=BC,

2=拘―府=

:.CE=BC=^AB-AC~(22A/3,

ZCED+ZAEC=18Q°,ZABC+ZAEC=1SQ°,

:.ZCED=ZABC,

,DE_/-_BC_26_6

..-cos/CED—cos/ABC-------——,

CEAB63

:.DE=—CE^—x273=2,

33

.,.OE的長是2.

23.(10分)(1)解：把點A(-1,0),B(3,0)代入y=a?+foc—3,

0=a—b—3

得1,

0=9〃+3b—3

a=l

解得L7

b=—2

9

y-—2x—3，

（2）解：拋物線y=爐一2%—3的對稱軸為直線％=-二=1,

2

，點P為該拋物線對稱軸上，

二.設尸(1,p),

...PA=7(1+1)2+F=J/+4,PC=Jr+5+3)2=Jp2+6〃+i0,

PA=PC,

dp2+4=dp1+6p+10,

p=一］,

:.P(1,-1)；

(3)解：由(1)知，B(3,0),C(0,-3),

：.OB=OC=3,

設M(〃z,m2-2m-3),

當NBQW=900時，

當M在y軸右側時，如圖，過點M作軸于X,則“M=m,

ZHCM=90°—Z