第二十六章.反比例函數

知識點一：反比例函數的概念及其圖象、性質

k

(1)定義：形如片，60)的函數稱為反比例函數，k叫做比例系數，自變量

X

Z反比例函的取值范圍是韭霎的一切實數.

(2)形式：反比例函數有以下2種基本形式：

數的概念k

①片1;③xy=k.(其中k為常數，且k，0)

-;②y=kx-

X

例：函數y=3xm+i,當m=-2時,則該函數是反比例函數.

y隨x變化的情況

攵的符號圖象經過象限

每個象限內，函數y的值

k>Gy圖象經過第

V隨x的增大而減小.

x

2.反比例函0一、三象限

數的圖象(X、y同號)

y

和性質每個象限內，函數y的值

攵<0J圖象經過第

隨X的增大而增大.

Or

二、四象限

(x、y異號)

(1)由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

3.反比例函

(2)圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；

數的圖象(3)圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱?由分

別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線.

特征

只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數解析式，代入求出反比例函數系數

4.待定系數

%即可.例：已知反比例函數圖象過點(-3,-1),則它的解析式是y=3/x

法

知識點二：反比例系數的幾何意義及與一次函數的綜合

(1)意義：從反比例函數/七0)圖象上任意一點向X軸和y軸作垂線,垂

X

線與坐標軸所圍成的矩形面積為因，以該點'一個垂足和原點為頂點的三角

形的面積為l/2|k|.

(2)常見的面積類型：

>粘口忤

5系數攵的B7CX、|o6d

Sa皿=41kIS^=1k\S=1k1SS=1k1(OA=AQ

幾何意義eocaABCD

失分點警示

已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則

k<0.

例：已知反比例函數圖象上任一點作坐標軸的垂線所圍成矩形為3,則該反比

例函數解析式為：y=°3或了=-°3

--------------

(1)確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為(a,b),則根據中心對

稱性，可得另一個交點坐標為(-a,-b).【方法二】聯立兩個函數解析式，

利用方程思想求解.

(2)確定函數解析式：利用待定系數法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函

數解析式中求解

(3)在同一坐標系中判斷函數圖象：充分利用函數圖象與各字母系數的關系，

可采用假設法，分k>0和k<0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.

5與一次函也可逐一選項判斷、排除.

(4)匕繳函數值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下月

數的綜合的值小，結合交點坐標，確定出解集的范圍.

涉及與面積有關的問題時，①要善于把點

的橫、縱坐標轉化為圖形的邊長，對于不好直“

接求的面積往往可分割轉化為較好求的三角形、.

面積；②也要注意系數k的幾何意義.木木

例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從

小到大的順序排列為：S，AOC=S，OPE>S?BOD

□PCED、入

知識點三：反比例函數的實際應用

(1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；

7.般少

(2設出函數表達式；

(3)依題意求解函數表達式；

驟

(4)根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題.

第二十七章、相似

知識點一：比例線段

，比例在四條線段a,b,ca中，如果a與。的比等于。與a的比，即"

bd

線段那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

(1)基本性質："=°oad-be;(b、d/0)

2.比例bd

的基⑵合比性質：=o=；(b、d/0)

bdbd

本性(3)等比性質：2=￡=…=絲=Kb+d+...+*H0)o

bdn

質

__________=k.(b、d、…、n/0)

b+d+…+〃

(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比.八],

例.即如圖所示，若4MlM，則竺=竺..y

3.平行線(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長

分線段線)，所得的對應線段成比例.

即如圖所示，若ABIICD,則0A=°B.

成比例

~OD7JC

定理

(3)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的

三角形和原三角形相似.

如圖所示，若DEIIBC,則AADESAABC.

AC/5-1

點C把線段力8分成兩條線段ZC和6c如果一弋c~c，那

=-------70.618

AB2

.黃金分

4么線段Z8被點C黃金分割.其中點C叫做線段Z8的黃金分割點,ZC

割

與28的比叫做黃金比.ACB

例：把長為10cm的線段進行黃金分割，那么較長線段長為5(戶-l)cm

知識點二：相似三角形的性質與判定

(1)兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA).

如圖,若NA=ND,NB=NE,則AABOADEF.~\

5.相似三

(2)兩邊對應成比例，目夾角相等的兩個三，7角形

角形

相似.如圖，若NA=ND,王=學，Z\則△

的判DFDE

ABJDEF.

定(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似.如圖，

若非則AABOADEF."XAd

(1)對應角相等，對應邊成比例.

⑵周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.

5相似

⑶相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線

三角形的

的比等于相似比.

性質

例：(1)已知AABC-ADEF,AABC的周長為3,ADEF的周長為2,則SBC與&DEF

的面積之比為914.

(2)如圖，DEllBC,AF_LBC,已知SAADE:SAABC=1:4,則AF:AG=1:2.

第二十八章、銳角三角函數

知識點一：用[角三角函數的定義

n/的對邊a

正弦：s\nA=---------=-B

斜邊c

a

[.銳角三”的鄰邊b

余弦：cos/=--------------=_

斜邊ccr

角函數

//的對邊a

正切：tanZ二_________=_.

”的鄰邊b

\^度數

30°45°60°

三角函蔡\

2.特殊角

1也搐

sinA

的三角函222

J2j_

數值cosA

22

tanA1J3

"T

知識點二：解直角三角形

3.解直角在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個

三角形銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的

的概念過程叫做解直角三角形.

(1)三邊之間的關系：前+9=:；

(2)銳角之間的關系:"+/8=90。;

4解直角

ab

(3)邊角之間的關系：sin/==cosB=cos/l=sinB=,

三角形的z

cc

常用關系a

tan/l=.

b

知識點三：解直角三角形的應用

⑴仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的

5.仰角、俯角叫做俯角.

⑵坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡

角、坡比)，用字母/表示.坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，

用譙示，則有/=tana.

度、坡角

⑶方向角：平面上，通過觀察點。作一條水平線(向右為東向)和一

和方向

條鉛垂線(向上為北向),則從點。出發的視線與水平線或鉛垂

角

線所夾的角，叫做觀測的方向角.

(1)弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；

(2)將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際

問題轉化為解直角三角形問題；

(3)選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；

(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到

問題的解.

5解直角

解直角三角形中"雙直角三角形"的基本模型：

三角形實

(1)疊合式(2)背靠式

際應用的

一般步驟

解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往

通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，

列方程求解.例如17年14年中考題