2024屆蘇北七市高三第三次調研測試數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答

案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一

并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合=卜z[,N=[xF=z],則（）

A.MNNB.N三MC.M=ND.McN=0

2.已知三個單位向量23,2滿足2=5+3則向量瓦展的夾角為（）

,71—71—2萬C5乃

A.-B.—C.~~D.——

6336

3.某同學測得連續7天的最低氣溫分別為1,2,2,叫6,2,8（單位：。C）,若這組數據的平均數

是中位數的2倍，則加=（）

A.2B.3C.6D.7

4.已知z為復數，則＞是的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

則sin26=(

3

C.

5

6.設數列｛4｝的前〃項和為S"，若S"+〃=2%,則%=（）

A.65B.127C.129D.255

7.已知函數/（%）的定義域為R,且/（x+1）為偶函數，/（x+2）-1為奇函數.若/⑴=0,

26

則?（左）=（）

k=\

試卷第1頁，共4頁

A.23B.24C.25D.26

8.已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,8,側棱長為3石，則該正四棱臺內半徑

最大的球的表面積為（）

r八-64K64兀

A.12JIB.27TiC.-D.-----

93

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知/a)=V^sin[2x+：J,則(

A./(TI+X)=/(X)

C.xe[o,"j(x)>l

10.在正方體/BCD-45GA中，尸為。2的中點，M是底面/BCD上一點，則（）

A.〃■為ZC中點時，PM±ACt

B.M為/。中點時，尸M//平面48G

C.滿足2尸M=。的點M在圓上

D.滿足直線尸M與直線AD成30。角的點”在雙曲線上

11.已知2"=logja,log26=，則（）

A.a+2a=b+rbB.a+b=2b+2-a

C-2fc+1>e"D-20>e1*

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設。為實數，若函數/（x）=；xL"2+l在x=-4處取得極大值，則。的值為.

13.已知隨機變量X~N（4,42）.若尸（X<3）=0.3,則P（3<X<5）=,若

Y=2X+1,則y的方差為.

14.已知耳與是橢圓C:=+V=l的左、右焦點，尸是。上一點.過點耳作直線尸片的垂

a

線4,過點耳作直線尸鳥的垂線4.若4,的交點。在c上（尸,。均在x軸上方），且

\PQ\=?,則C的離心率為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.在AA8C中，角45,(7的對邊分別為。,反。,(26-(?)38/1=敬05<?.

⑴求A；

(2)若的面積為6,8。邊上的高為1,求的周長.

16.如圖，在直三棱柱/3C-48cl中，AB=BC=2,AB工BC,CC\=2退,

礪=4函（0<彳<1）.

A

(1)當幾=；時，求證：CEJ_平面48G；

(2)設二面角8-4E-C的大小為。，求sin。的取值范圍.

17.已知函數/'（xHa+xy-Ax-l（左>1）.

⑴若x>-l,求〃x)的最小值;

(2)設數列｛與｝前力項和S.，若0'=0+')",求證：S?-n>2-^.

18.已知拋物線C:/=2⑷(p>0)的焦點為尸，直線/過點尸交C于48兩點，C在48兩

點的切線相交于點P,48的中點為0,且P。交C于點￡.當/的斜率為1時，卜同=8.

(1)求C的方程；

(2)若點尸的橫坐標為2,求|。目；

(3)設C在點E處的切線與尸4尸8分別交于點M,N,求四邊形面積的最小值.

19.“燧”常用來判斷系統中信息含量的多少，也用來判斷概率分布中隨機變量的不確定性大

小，一般燧越大表示隨機變量的不確定性越明顯.定義：隨機變量X對應取值外的概率為

Pi=P(X=x),其單位為她的嫡為H(X)=-tp/og2P,，且t2=l.(當2=0,規定

i=lz=l

試卷第3頁，共4頁

R°g2月=0?)

⑴若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為刃(0<"?<1),正面向上的次數為X,分別比較

機=；與”=:時對應”(X)的大小，并根據你的理解說明結論的實際含義；

(2)若拋鄭一枚廈戰萃?勻的硬幣"次，設x表示正面向上的總次數，y表示第"次反面向上的

次數(0或1).。(占,必)表示正面向上為次且第"次反面向上必次的概率，如〃=3時，

p(o,i)=j.對于兩個離散的隨機變量X,y,其單位為6"的聯合崎記為

O

〃(、,丫)=一仕0(A，°)1。芻從4q+￡o1唯心，),且以(匕,0)+力(匕,1)=1.

\z=li=lyz=lz=l

⑴當”=3時，求〃(x,y)的值；

(ii)求證：擊

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】通分，根據數字特征即可判斷兩集合之間關系.

【詳解】M=\xx=k+^,keA=\xx=Z,

k

N=卜=g+1,左ez1=1尤r=^,k&Z

2

因為24+1,左eZ表示所有的奇數，而4+2,左eZ表示所有的整數，則MqN,

故選：A.

2.C

rr1

【分析】對等式兩邊同平方即可得6?c=-：,再利用向量數量積定義和向量夾角范圍即可

2

得到答案.

【詳解】a2=b2+c2+?b-c，即1=1+1+2限1，

:.b-c=即lxlcos(B,c)=-；，則cos卡,寸=一；，

因為伍小［0,兀］,「.B忑夾角|K,

故選：C.

3.D

〃

【分析】根據題意分析可知：平均數為21上+黃2，中位數為2,列式求解即可.

?AR■r口工》―rL,、、/r、t〃上口-tJ、t〃、r1+2+2+機+6+2+821+加

【詳解】由題意可知：這組數據的平均數為-------------------=——)

77

除加外，將數據按升序排列可得1,2,2,2,6,8,

21+

結合”2的任意性可知中位數為2,則一^=2x2,解得機=7.

故選：D.

4.A

【分析】正向可得zeR,則正向成立，反向利用待定系數法計算即可得a=0或6=0,則

必要性不成立.

【詳解】若z=l則zeR,則z?=夕，故充分性成立；

若Z2=￡,設z=a+6i,a,6eR,貝ljz?=/+2abi-〃，F2=a2-2abi-b2,

則2a6=0,a=0或6=0,.1z與7不一定相等，則必要性不成立，

答案第1頁，共15頁

則“Z=7'是。2=廣的充分非必要條件，

故選：A

5.B

【分析】展開同平方并結合二倍角的正弦公式即可得到關于sin26的方程，解出即可.

【詳解】展開得^^(cos8+sin。)=3-f^(cos6-sin。),

兩邊同平方有:(cosO+sin。)？=:(cosO-sinO)，,

194

即5(1+sin2。)=5(1-sin20),解得sin261=1，

故選：B.

6.B

【分析】降次作差得。“+l=2(ai+l),再利用等比數列通項公式即可得到答案.

【詳解】"=1時，q+l=2%,則為=1.

〃22時，an=S“-Si=2a?-?-[2a?-1-(?-1)]=2an-2%_1-1,

?"a“—2a+1,；.a“+1=2(a,-+l),a]+l=2w0,

是2為首項，2為公比的等比數列，+1=2x2$=2?=128".%=127,

故選：B.

7.C

【分析】根據函數奇偶性推出函數關于直線尤=1對稱和關于點(2,1)對稱，則得到其周期,

再計算其一個周期內的和，最后代入計算即可.

【詳解】/(x+1)為偶函數，則/(》+1)=/(-工+1)貝!|〃口關于％=1對稱，

〃x+2)-1為奇函數，則/(_》+2)-1=一/(》+2)+1,

即y(-x+2)+“X+2)=2,則關于點(2,1)對稱,

則由其關于x=1對稱有/(%)=/(-%+2),貝！]/(x)+“X+2)=2,

則f(x+2)++4)=2,作差有/(x)=f(x+4),

???/(x)為周期函數，且周期為4,因為;■(1)+/(3)=2,/(1)=0,則/(3)=2,

因為/(0)=〃2),/(0)+/(2)=2,則〃0)=〃2)=1,

答案第2頁，共15頁

/(4)=/(0)=1,則/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2426

24,⑹=24+0+1=25,

k=lk=\

故選：C.

8.D

【分析】先求出正四棱臺的高，再分析出最大內切球與四側面及下底面相切，再根據三角函

數得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.

【詳解】作出如圖所示正四棱臺，其中。Q為正四棱臺的高，E&為其斜高，

因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,8,側棱長為36,

則80=40，OOj=^(3A/5)2-(472-72)2=373,

因為。。1=36>學=5,故半徑最大的球不與上下底面同時相切，

E4=J(3石『=6,則sinZOEEt=與,則ZOEE}=三,

過a作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則

71

ZOEO=-

?6

則。Li考丹考,則更確定最大內切球與四側面及下底面相切,

即該正四棱臺內半徑最大的球半徑r=生8,球的表面積為

33

答案第3頁，共15頁

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是得到正四棱臺內半徑的最大的球是與側面和底面同時相

切的，再求出其高，得到側棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.

9.AC

【分析】根據正弦型函數的周期即可判斷A；根據其對稱性即可判斷B,利用整體法求出函

數值域即可判斷C；求導并舉出反例即可判斷D.

2兀

【詳解】對A,/(x)周期為萬=兀,，/(兀+x)=/(x),故A對；

對B,令2丁+王=巴+左兀，左eZ,貝=?+蛆，4eZ,

4282

若4學一成立，則/'(x)關于》=獸對稱，

令g+”=普，解得左=:，因為左eZ,則B錯誤；

82168

.71

對C,vxe2x+—eK■^,1,.-.f(x)e(l,2],故c正確;

44,4

對D,/'(x)=2&cos(2x+；J,當x=1時，貝lJ/(x)=O,則D錯誤，

故選：AC.

10.BCD

【分析】建立合適的空間直角坐標系，寫出相關向量，對A計算西?布即可判斷；對B

利用線面平行的判定定理即可判斷；對C,計算得DM=應，則得到其軌跡；對D,根據

線線夾角公式得到關于xj的方程，化簡即可.

【詳解】不失一般性，設正方體棱長為2,如圖建系，因為尸為。，的中點，

則尸(0,0,1,4(2,0,0)，a(0,2,2),

對A,M為/C中點，貝1J"(1,1,0)兩=(1,1,-1),宿=(-2,2,2),

國?鶯=-2+2-2=-2/0,尸河與"G不垂直，故A錯誤.

對B,M為AD中點時，PM//ADt,因為AB"DJAB=DG，

則四邊形/8C.為平行四邊形，則AD/BG，.'.PM/ZBC,,

因為BQu平面4BG，所以尸M〃平面&BG，故B正確；

答案第4頁，共15頁

對C,令M(x,y,O\PM=^DD[='x2=0.DM=6，

.〔Af在以。為圓心，血為半徑的圓上，故C正確；

對D,PM=(x,y,-1),AD=(2,0,0),

x

=cos30=IcosPM,AE>\=,^-^=----

211J/+/+1X2

化簡得上一r=1,其為雙曲線方程，故D正確，

3

故選：BCD.

11.AD

【分析】結合圖象和指、對函數之間的關系即可判斷AB；利用切線不等式e、2x+l即可判

斷C；利用不等式InxVxT即可判斷D.

【詳解】對A,由圖可知：k2,與PT°g;交點/(生2"),(0<?<1)

y=log?x與kQJ的交點89,2-"),(b>1),

根據指數函數與對數函數為一對反函數知：A,B關于V=x對稱，

(a=2~b

故,a+2a=b+2-b,故A正確；

[b=2a

對B,由A知°+6=2-〃+2",故B錯誤；

對C,由0=知外=1,則2'+1」+1,設/(x)=e-xeR,

aa

貝ir(x)=e，-l,則當xe(-8,0)時，r(x)<0,此時/(x)單調遞減；

當xe(O,+e)時,,(尤)>0,此時/(x)單調遞增;

則/卜”/(0)=0,則eJx-120恒成立，即x+lVel當x=0時取等;

答案第5頁，共15頁

4x=-,則有因為LRO,則工+1</，即故c錯誤;

aaaaz十，<c

1_y

對D,設〃(x)=lnx+l-無，xe(O,+<x>),則〃(x)=------,

則當xe(O,l)時，r(x)>0,此時/(尤)單調遞增；

當xe(l,+e)時，r(x)<0,此時/'(x)單調遞減；

則“(X)"(1)=0,即lnx+1-尤V0在(0,+8)上恒成立,

即Inx4x-1在(0,+8)上恒成立,當x=1時取等,

令》=,，則-1,BP\nb>\--,因為b>l,則lnb>l-」，則

b\b)bbb

故2"=6>e4，故D正確.

故選：AD.

【點睛】關鍵點點睛：本題AB選項的關鍵是充分利用圖象并結合指、函數的關系，而CD

選項的關鍵在于兩個不等式/2x+1和InxVx-1的運用.

12.-2

【分析】求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出。的值即可.

【詳解】解：=x2-2ax=x(x-2a),

令/'0)=0,解得；%=0或％=2”，

若函數/(X)=$32+1在尤=_4處取得極大值，

則2a=-4,解得a=-2,

當a=-2時，f'(x)=x(x+4),/'(x)>0nx>^￡r<-4,/f(x)<0=>-4<x<0

所以函數次x)在(-4,0)上單調遞減，在(-%-4),(0,+⑹上單調遞增.滿足題意.

故答案為：-2.

答案第6頁，共15頁

2

13.0.4##—64

5

【分析】由題意可知：〃=4,。=4,根據方差的性質可得。（丫）；根據正態分布的對稱性可

得尸（3<X<5）.

【詳解】由題意可知：〃=4,。=4,即D（X）=16,所以D（y）=4D（X）=64；

因為3+5=2〃，且P（X<3）=0.3,

所以P（3<X<5）=l—2P（X<3）=0.4.

故答案為：0.4；64.

14.立#/百

22

【分析】設尸（乙〃），可得4,4的方程，聯立方程求得。，見'?。?，結合對稱性可知

m2=y,進而列式求/,02,即可得離心率.

【詳解】設尸（九〃）,耳（一C,0），B（C,0）,由題意可知:m^+c,n>09

(x+c),

同理可得：4的方程為>=-%三（x-c）,

n

y=---------(x+c)x=-m

(m2—c2

2

聯立方程“，解得m-c即。一m,---------

y=—n

n

因為。在。上，可知尸，。關于x軸對稱，

且|尸。卜竽，則2同=?,可得/=￡,

又因為直二C=〃，即與一°2=〃2,

n5

答案第7頁，共15頁

1622

---c=n

5

16

由題意可得：V烏+〃2=1,整理得5/_16/_16=0,

a

c2=a2—1

4

解得/=4或(舍去)，貝1°2=/—1=3,

所以。的離心率為

故答案為：f

【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a,b,c

的等量關系或不等關系，然后把6用a,c代換，求e的值.

71

15.(1)-

(2)276+273

【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得cos/=1,則得到A的大??；

(2)利用三角形面積公式得慶=4,再結合余弦定理得6+。的值，則得到其周長.

【詳解】(1)因為(2b-c)cos/=acosC,

由正弦定理，得(2sinB—sinC)cos/=sinAcosC,

即2sinBcos4=sinAcosC+sinCcosA,即2sin5cos^4=sinB.

因為在。中，sinBwO,

所以cos/=L

2

又因為0</<兀，所以4=

(2)因為的面積為百，

所以QQX1=V5,得Q=2A/J.

由工6csin/=豆，即工6cx@=百，

222

所以6c=4.由余弦定理，得a?=〃+/一?°cos/,BP12=b2+c2-bey

答案第8頁，共15頁

化簡得S+c)2=3兒+12,所以S+c>=24,即6+C=2C，

所以AABC的周長為a+6+c=2&+2Vl

16.(1)證明見解析

(2)停履)

【分析】(1)建立合適的空間直角坐標系，得出相關向量，求出石?屋=0,苑?赤=0,

再結合線面垂直的判定即可；

(2)求出相關法向量，得到sin°=司Jr旬，再結合函數單調性即可得到其范圍.

【詳解】(1)以工，瓦I函為基底建立如圖所示空間直角坐標系，

則5(0,0,0),C(2,0,0),^(0,2,0),G(2,0,273),￡(0,0,2732).

當時，￡[0,0,晉)，

所以羽=(0,-2,0),苑=(2,0,2百)，CE=一2,0,qj

所以方=0,%.屈=0,所以CE_L/3,CE_L8C].

又Cl8G=9u平面ABC,,BC、u平面ABC,,

所以CE，平面/BQ.

(2)AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2^2),

設平面AEC的一個法向量為1=(x,y,z),

答案第9頁，共15頁

4c嗎=02%-2>=0

即不妨取點=(百

-2y+2也九z=0

AE-nx-

因為5C」平面ABE,所以平面ABE的一個法向量為％=(2,0,0).

所以|cos6|=

U1

[22（622+1）-

又因為0</<1,易知/?)=/；+2]：+i)在(0」)上單調遞減,

所以sinOe(ga,lJ.

17.(1)0

(2)證明見詳解

【分析】(1)求導，利用導數判斷了(x)的單調性，進而可得/(x)的最小值；

(2)當〃=1時顯然成立，當〃22,結合(1)可得(l+x)*N丘+1,進而可得

。">￡+1=畀一變+1，利用裂項相消法分析證明?

【詳解】(1)因為/(x)=(l+x)Jb-l依>1),貝IJ/，(x)=a[(l+x廣-1],

因為左>1,則左一1〉0,且工〉一1,

當_]<x<0時，則0<X+]<1,可得/'(力=介[(1+到1_1k6]_1)=0；

當x>0時，貝!Jx+l>l,可得/'(x)="(l+x)i-=0；

可知"X)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+為上單調遞增，

所以〃x)的最小值為"0)=0.

(2)因為%,

若〃=1,則S1=%=1+；=|,滿足S,-w22-祟；

若幾22,由(1)可知：y(x)=(1+x)^—Ax—1>0,

答案第10頁，共15頁

即(1+x)丘2丘+1,當且僅當x=0時，等號成立，

Ar1Y,,市殂八1yn,n+\n+2,

令x=W>On,k=〃>l，可得%=l+9>—+1=—r'

且a=巳3=2_3±+1,

22

r,日Cc33445?+1n+2_n+2

可得S”>2--+-------+———+???+------------\-n=2-----------\-n,

n2222222r32n5A2n2n

所以S,「〃>2-〃券+2；

綜上所述：S「〃22一號.

18.(l)x2=4y

(2)2

(3)3

【分析】⑴設直線/的方程為"質+號/（國,必）,5（%,為），再聯立得到韋達定理式，最

后根據焦點弦公式得到P=2,則得到拋物線方程；

（2）首先得到。（2左,2r+1）,再根據導數得到兩條切線方程，再計算出產的坐標，求出發值

則得到相關點坐標，即可求出\QE\；

3

（3）首先證明出SWABNM=^SAABP,再計算出SAABP的表達式,從而得到其最小值.

【詳解】（1）由題意，直線/的斜率必存在.

設直線/的方程為V=區+?/（%,/）,2卜2，%），

A

=kx*

聯立+2^x2-Ipkx-p1=0,（*）,所以，1%+9=20左

12

X=2pyX1x2=~p.

當左=1時，x1+x2=2p,

此時以同=%+%+0=口+孑］+1+"+P=+x2卜力=8,

所以4P=8,即p=2.

所以C的方程為尤2=4%

答案第11頁，共15頁

（2）由（1）知，%+X2=2pk=4k,

則電=2左，代入直線＞=履+1得為=2抬+1,則N3中點。（2左,2公+1）.

因為無2=外，所以yg,

y11

則直線尸4方程為夕-必=y（x-Xj）,y=-xlx--x^,

同理，直線方程為y=gx2X-；考，

1212

—X]X?

所以4_生二=土產=及，

如-Z）2

蟲3*所以尸（2左，一1）.

P444

因為馬=2,2左=2,即4=1,此時0（2,3）,尸（2,-1）,

所以直線尸。的方程為x=2,代入x2=4y,得y=l,

所以E（2,l）,所以|0E|=2.

（3）由（2）知。（24,2/+1）,尸（2左,一1）,

所以直線尸。方程為x=2M

代入x2=4y,得y=2左2,所以￡（2左,2尸），所以￡為P。的中點.

因為C在E處的切線斜率==,

所以C在E處的切線平行于,

3

又因為E為尸。的中點，所以s四邊形/BN”=as?.

由（1）中（*）式得--4丘-4=0,所以占+%=4左，

因為直線N8方程為夕=日+1,

所以=必+%+p=（Ax1+l）+（foc2+1）+2=左（X]+X2）+4=4k2+4.

12左2+21

又PQk,-l）到直線AB的距離h=上=2爐]，

vF+i

11?-------2

所以切府=-|^|-/Z=--（＜2+4）-242+1=4（C2+1）2＞4,

（當且僅當斤=0時取"=”）

答案第12頁，共15頁

、3

所以$四邊形S.ABP-3，

所以四