高中數學精編資源2/2《用空間向量研究距離問題》同步學案情境導入1.空間中的距離包括哪些?提示:點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離.2.求解空間距離常用的方法有哪些? 提示:定義法,轉化法,等體積法和向量法.自主學習自學導引1.點到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點.設AP=a,則向量AP在直線l在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=2.點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ=_________=________=預習測評1.已知點A111,B-3A.4B.2C.4D.32.已知平面α的一個法向量n=-2-21,點A(-1,3,0)在α內,則點PA.10B.3C.8D.103.已知平面α//平面β,直線l?α,α與β之間的距離為d,有下列四個命題:①β內有且僅有一條直線與l的距離為d;②β內所有的直線與l的距離都等于d;③β內有無數條直線與l的距離為d;④β內所有直線與α的距離都等于d.其中真命題是()A.①B.②C.①④D.③④4.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是()A.6B.6C.3D.3新知探究探究點1點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離知識詳解1.點到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點設AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=|2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線之間的距離的關鍵是在其中的一條直線上取一定點,則該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離.典例探究例1如圖,在空間直角坐標系中,有長方體ABCDA'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,則點B到直線A'C的距離為______.變式訓練1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C探究點2點到平面、直線到平面、兩個平行平面的距離知識詳解1.點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此2.直線到平面的距離如圖,設直線a//平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,過A作AC?α,垂足為C因為AB?所以|AB所以直線a到平面α的距離d=|AC3.兩個平行平面的距離如圖(1)用公式d=|AB?n||n|(2)轉化為點到平面的距離或直線到平面的距離來求解.典例探究例2已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,變式訓練2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面AA.1B.2C.2D.3變式訓練3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點E,F分別在(1)求證:EF//平面ABC(2)求直線EF到平面ABC1D變式訓練4如圖,在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1易錯易混解讀例如圖所示,在三棱錐S-ABC中,ΔABC是邊長為4的正三角形,平面SAC?平面ABC,SA=SC=23,M,N分別為AB,SB的中點,求點B到平面CMN課堂檢測1.已知直線l過定點A231,且方向向量為n=(0,1,1),則點PA.3B.2C.10D.22.兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A211,且兩平面的一個法向量為nA.3B.2C.3D.33.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P