第03講勾股定理易錯易混淆專題集訓一．勾股定理1．（2022秋?清苑區期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網格線于點D，則CD的長為（）A． B．0.8 C．3﹣ D．2．（2023秋?東陽市期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC＝6，AC＝8．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，則S2+S3﹣S1的值為（）第2題第3題A．4 B．3 C．2 D．03．（2023秋?海曙區期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四塊陰影部分的面積如圖所示分別記為S、S1、S2、S3，若S＝10，則S1+S2+S3等于（）A．10 B．15 C．20 D．304．（2023春?渠縣校級期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（）A．225 B．250 C．275 D．3005．（2023秋?龍華區期中）如圖，以Rt△ABC的三邊長向外作等邊三角形，若，則圖中陰影部分的面積是．6．（2023春?長沙期中）如圖，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三邊為邊向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一點，記正方形ACDE和正方形AHIB的面積分別為S1，S2，若S1＝16，S2＝25，則四邊形ACBP的面積等于．7．（2023春?潛江月考）已知a是的整數部分，，其中b是整數，且0＜c＜1，那么以a、b為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是．8．（2023春?江門校級期中）兩根木條的長度分別是4cm和5cm，再添加一根木條，釘成一個直角三角形木架，則所添加木條的長度可以是．9．（2023春?鄂州期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，則圖中所有正方形的面積的和是cm2．10．（2022秋?鄞州區期末）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，點B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a為整數．（1）求點A和點B的坐標；（2）若點C（m，0）為x軸上一點，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，求m的值．11．（2023春?福州期中）定義：若某三角形的三邊長a，b，c滿足ab+a2＝c2，則稱該三角形為“類勾股三角形”．請根據以上定義解決下列問題：（1）判斷等邊三角形是否為“類勾股三角形”，并說明理由；（2）若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度數；（2）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A．證明：△ABC為“類勾股三角形”．12．（2023春?德州期中）下面是小敏寫的數學日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應的任務．2023年3月22日天氣：晴無理數與線段長．今天我們借助勾股定理，在數軸上找到了一些特殊的無理數對應的點，認識了“數軸上的點與實數一一對應”這一事實．回顧梳理：要在數軸上找到表示±的點，關鍵是在數軸上構造線段OA＝OA′＝．如圖1，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數軸上分別交于點A，A'，則點A對應的數為，點A′對應的數為﹣．類似地，我們可以在數軸上找到表示±，±，…的點．拓展思考：如圖2，改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數軸上構造出線段OB與OB'，其中O仍在原點，點B，B'分別在原點的右側、左側，可由線段OB與OB′的長得到點B，B′所表示的無理數!按照這樣的思路，只要構造出特定長度的線段，就能在數軸上找到無理數對應的點!任務：（1）“拓展思考”中，線段OB的長為，OB'的長為；點B表示的數為，點B'表示的數為．（2）請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請在圖3所示的數軸上，畫圖確定表示±的點M，N；B．請在圖3所示的數軸上，畫圖確定表示2﹣的點M．二．勾股定理的證明13．（2023?杭州模擬）如圖，“趙爽弦圖”是用四個相同的直角三角形與一個小正方形無縫隙地鋪成一個大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項中正確的是（）第13題第14題A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝2414．（2023秋?泰山區期中）我國古代數學家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么ab的值為（）A．49 B．25 C．12 D．1015．（2023秋?綠園區期末）如圖，2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標其原型是我國古代數學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且a2+b2＝ab+10，那么圖中小正方形的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．516．（2023春?莒南縣期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，點D，E，F，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A．420 B．440 C．430 D．41017．（2022秋?長春期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144（2023秋?二道區期末）如圖①，四個全等的直角三角形與一個小正方形，恰好拼成一個大正方形，這個圖形是由我國漢代數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為cm．三．勾股定理的逆定理19．（2023春?禹州市期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且（a+c）（a﹣c）＝b2，則（）A．∠A為直角 B．∠B為直角 C．∠C為直角 D．∠A是銳角20．（2023春?汕尾期末）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都為1，則∠ABC是（）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．無法確定21．（2023春?東麗區期末）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，則△ABC（）A．不是直角三角形 B．是以a為斜邊的直角三角形 C．是以b為斜邊的直角三角形 D．是以c為斜邊的直角三角形22．（2023秋?沈河區校級期中）如圖所示，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的是（）A． B．S△ABC＝4.5 C．點A到直線BC的距離為2 D．∠BAC＝90°23．（2023春?蒙城縣校級期中）已知a，b，c是三角形的三邊長，且滿足+（b﹣3）2+|c﹣4|＝0，則三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．底與腰不相等的等腰三角形 D．直角三角形24．（2023春?貴州期末）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，I為△ABC各內角平分線的交點，過點I作AB的垂線，垂足為H，則IH的長為（）A．1 B． C．2 D．25．（2023春?鞍山期末）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，這塊菜地的面積是（）A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m226．（2023春?鳳山縣期末）在△ABC中，AC＝3，AB＝4，當BC＝時，△ABC是直角三角形．27．（2023秋?鼓樓區校級月考）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC＝°．（2023秋?南關區校級期中）已知在△ABC中，AB＝m2+n2，BC＝2mn，AC＝m2﹣n2（m＞n＞0）．試問△ABC是直角三角形嗎？若是，請說明理由．四．勾股數29．（2023秋?市北區期中）滿足a2+b2＝c2的三個正整數a、b、c，被稱為勾股數．下列各組數是勾股數的是（）A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．30．（2023?瀘州）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，該著作中給出了勾股數a，b，c的計算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質的奇數．下列四組勾股數中，不能由該勾股數計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25五．勾股定理的應用31．（2023春?懷柔區期末）如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛艦從同一港口O同時出發，1號艦沿東偏南60°方向以9節（1節＝1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏西60°方向以12節的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達A，B兩點，此時兩艦的距離是（）A．9海里 B．12海里 C．15海里 D．30海里32．（2023秋?杏花嶺區校級月考）如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時的速度從A地出發向正東方向前進，乙以12千米/時的速度從C地出