規律探索

題型1:數式的規律探索

題型2:坐標的規律探索

規律探索

題型3:圖形的規律探索

規律探索問題在中考中常以選擇題、填空題的形式

出現，難度中等，規律性較強，重點考查數式、坐標和規律探索

圖形的規律探索問題，涉及整式的計算、一次函數、反

比例函數、二次函數、圓、特殊三角形、勾股定理、圖

形變換等相關知識，以及類比、數形結合、轉化與化歸

等數學思想.此類題型常涉及以下問題：①探究數式規律

問題；②證明數式成立問題；③探究圖形周長、面積問

題；④利用函數求坐標問題等.右圖為規律探索問題中各

題型的考查熱度.

_______________________________________________________________________________1,

題型1:數式的規律探索

橫縱向分析各數式之間的數量關系，適當續寫幾個數式

解題模板：尋找蛔規律，列出第n個球

驗證已知數式是否符合規律，化簡后得出結論

美航一扃麗

咽1.觀察下列算式:2:2,22=4,23=8,24=16,2s=32,26=64,27=128,28=256……觀察后,

用你所發現的規律寫出22022的末位數字是,

【答案】4

【分析】通過觀察給出算式的末尾數可發現，每四個數就會循環一次，根據此規律算出第2022個算式的個

位數字即可.

【詳解】解：通過觀察給出算式的末尾數可發現，每四個數就會循環一次，

2022+4=505……2,

.?.第2022個算式末尾數字和第2個算式的末尾數字一樣為4,

22022的末位數字是4,

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，總結歸納數字的變化規律是解題的關鍵.

【變式1-1】如圖是一個電子青蛙游戲盤，已知48=7,BC=6,AC=5,BP0=3,電子青蛙在邊上的兄

處，第一步跳到月處，使84=即，第二步跳到鳥處，使C￡=C4,第三步跳到月處，使4居=4月......

按上述的規則跳下去，第2023步落點為P2023,則々與P2023之間的距離為.

【答案】0

【分析】根據上述規則，顯然6次完成一個循環.因為2023+6=372..」，則鳥⑼與4重合，于是得到結論.

【詳解】解：第一步跳到片處，使地=陽=3,

第二步跳到E處，使c‘=cq=3,

第三步跳到A處，使/乙="6=2,

第四步跳到《處，Bg=BP&=5,

第五步跳到月處，（累=瑪=1,

第六步跳到P6處，AP5=AP6=4,與＜重合，

二6次一循環,則2023+6=37231,則芻必與耳重合.

二6與今23之間的距離為0,

L

!故答案為：0.

【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中各點的變化規律，利用數形結

!合的思想解答.

【變式1-2】將從1開始的自然數，按如圖的規律排列，在2,3,5,7,10,13,17,…處分別拐第1,

：2,3,4,5,6,7,…次彎，則第101次拐彎處的那個數是.

21f22>23f24->25,26

I木W

207f839—10

小木W

1961—2H

小小。丈

185―4—312

!tI|

17v16v]5-14e13

【答案】2602

【分析】拐彎處的數相鄰兩數的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，據此規律作答即可得.

【詳解】解：拐彎處的數與其序數的關系如下表：

拐彎的序數01234567

拐彎處的數12357101317

由此可知，拐彎處的數相鄰兩數的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，

因為101=2x50+1,

所以第101次拐彎處的那個數是1+2x0+2+3+…+50）+51=2602,

故答案為：2602.

【點睛】本題考查了數字的變化規律，正確找出數字之間的排列規律是解題關鍵.

親前三廠逋貓iT

曬2.按一定規律排列的式子：-亞當，-學,2學，……第〃個式子是,

aaaa

【答案】（-1）”?嗎料

I【分析】根據所給式子找出各部分的規律解答即可.

J___________________________________________

1--------------------------------------------------------------------------------------------------1

【詳解】解：36,86,15瓦246,…,分子可表示為:n(n+2)b.

ja,a3,a5,a7....分母可表示為：/“t,

I則第n個式子為：(-1)"產叱？九

a

I故答案是：(-1)"I

【點睛】本題考查了規律型：數字類規律與探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應

I用發現的規律解決問題.此題注意分別觀察各部分的符號規律.

【變式2-1】觀察下列等式：

第1個等式：?i=i+1A=34；

1x22

一17

第2個等式：a=\-\----=—；

22x36

113

第3個等式：a3=l+-^—=—；

33x412

第4個等式：%=1+白1=今?!；

根據以上規律解答以下問題：

⑴寫出第5個等式：；寫出第〃個等式：；

111

(2)由分式性質可知：/7(/7+1-y,試求%+%+%+…+出022-2023的值.

1311+1)+1

【答案】⑴氏=1+4才氏=1+而旬=+；

(2)———.

''2023

【分析】(1)類比給出的4個等式，寫出第5個等式即可，進而得出第〃個等式;

(2)利用得到的規律將原式變形，再計算即可.

131

【詳解】⑴解：^=1+--=—；

55x630

1〃+1)+1

a=1+------=—^-----』—.

(2)解:原式=1+---+1+----+1+----+--?+1+

2022x2023

20222023

【點睛】此題考查數字的變化規律，從簡單情形入手，找出一般規律，利用規律解決問題.

【變式2-2】觀察下列等式：

第1個等式：22-l2-2xl=l;

22

第2個等式：3-2-2X2=1；

第3個等式：42-32-2x3=1;

第4個等式:52-42-2x4=l；

按照以上規律，解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：;

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含力的等式表示)，并證明.

【答案】⑴6-52-2x5=1

⑵(“+1)2-2"=1,證明見解析

【分析】(1)根據題目中等式的特點，可以寫出第5個等式；

(2)根據題目中等式的特點，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等即可證明猜想.

【詳解】⑴解：第5個等式是62-5?-2x5=1；

故答案為：62-52-2x5=l.

(2)解：猜想：第〃個等式：+=

證明：:左邊=("+1)2-“2-2”

=n2+2〃+1-n2-2n

=1=右邊-

【點睛】本題考查數字的變化、列代數式，整式的運算，明確題意，發現式子的變化特點，寫出相應的等

式和猜想和證明是解答本題的關鍵.

類型三：固定累加型

曬3.觀察下列由連續的正整數組成的等式:

第1層1+2=3

第2層4+5+6=7+8

第3層9+10+11+12=13+14+15

第4層16+17+18+19+20=21+22+23+24

則第7層等號右側的第一個數是.

則第?層等號右側的第一個數是.

【答案】57n2+n+l

【分析】不難看出每一層等式左邊第1個數為等式右邊的第1個數為等式左邊第1個數加上層數再加

1,據此可求解.

【詳解】解：1?第1層1+2=3

第2層4+5+6=7+8

第3層9+10+11+12=13+14+15

第4層16+17+18+19+20=21+22+23+24

...第7層等號右側的第一個數是：7?+7+1=57,

第〃層等號右側的第一個數是：n2+n+l.

故答案為：57,n2+n+l.

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的式子總結出存在的規律.

【變式3-1】觀查下列等式，探究其中的規律并回答問題：

1+8=32,

1+8+16=52,

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=/,

(1)第4個等式中正整數后的值是；

(2)根據已知等式可歸納出第"個等式為(〃是正整數).

【答案］91+8+16+24+32+■?-+8?=(2n+1)2

【分析】⑴第1個等式中正整數為3,其中3=lx2+l；第2個等式中正整數為5,其中5=2x2+l；第3

個等式中正整數為7,其中7=3x2+L故得出第4個等式中正整數k=4x2+l=9；

(2)觀查等式左側，等式個數每增加1,等式中就會增加這個等式個數的8倍；故可歸納出第〃個等式.

【詳解】解⑴：第1個等式中正整數為3,其中3=lx2+l；

第2個等式中正整數為5,其中5=2x2+l；

第3個等式中正整數為7,其中7=3x2+l；

,第4個等式中正整數4=4x2+1=9；

故答案為：9.

(2)：第1個等式左側為l+8=l+8xl；

第2個等式左側為1+8+16=1+8+8x2；

第3個等式左側為1+8+16+24=1+8+16+8x3；

第4個等式左側為1+8+16+24+32=1+8+16+24+8x4；

第〃個等式左側可歸納為1+8+16+24+32+…+8”；

由(1)中知第〃個等式右側為(2仁+1產

第〃個等式可歸納為1+8+16+24+32+-+8〃=(2"+1)?的形式

故答案為：1+8+16+24+32+…+8"=(2〃+1)2.

【點睛】本題考查用歸納法推導規律.解題的關鍵與難點在于將等式的個數與數值建立聯系.

【變式3-2】若干個有規律的數，排列如下:

第

行

一1

第

行

二-1-3

第

行

三

第

行139

四

第

行

五-1-3-9-27

1392781

試探究：

⑴第2012個數在第幾行？這個數是多少？(每行的數都是從左往右數)

(2)寫出第"行第左個數的代數式；(用含"，左的式子表示)

⑶求第2012個數所在行的所有數之和S

【答案】⑴第63行，這個數為3嗎

r

(2)(-1)“+/3A；

【分析】每一行的數的個數和行數都是相同的，奇數行的數字都是3/,偶數行的數字都是(-3)n1,統|

一為(-1)川十，3/；

(1)設第2012個數在第"行，貝卜+2+3+...+〃=誓。，估算得出答案即可；

(2)有以上分析直接寫出即可；

(3)寫出第2012個數所在行的所有數，進一步求和即可.

(D?

解：?.,每一行的數的個數和行數都是相同的，奇數行的數字都是3/,偶數行的數字都是(-3)n1,設行|

I

數為"，數字個數為七

左=1+2+3+...+〃=---------,

2

油”A9F14-62x(62+1)

2

西口才63x(63+1)

^3w—63—2016;

2

62x(62+1)63x(63+1)

——---------=1953<2012<——----------=2016,

22

所以第2012個數在第63行，從左往右數第2012-1953=59個，這個數為3§8；

⑵I

I

解：由以上分析可直接寫出為(-1)n+I3k,；

(3)

,262

解：???lS=1+3+3+...+3(D

..35=3+32+...+362+363②

由②-①得25=363-1

363-1

.-.S=1+3+32+...+362=-——.

2

【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的聯系，得出規律，解決問題.

類型四：漸變累加型

曬4.如圖，有一個起點為0的數軸，現有同學將它彎折，虛線上從下往上第一個數為0,第二個數為6,第

三個數為21,……，則第十個數是（）

012345

A.378B.351C.702D.756

【答案】A

【分析】觀察圖形中數字變化（增加）情況，發現后一個數總是在前一個數的基礎上加上一個數，探索加

數規律即可.

【詳解】解：第一個數是0,

第二個數是6,

第三個數是0+6+15=21,

第四個數是0+6+15+24=45,

第五個數是0+6+15+24+33=78,

方法一：規律探索,

第〃個數是0+9x0+6+9x1+6+9x2+6+…+9（〃-2）+6

=6（〃-1）+9（0+1+2+…+〃-2）

,、9（〃一1）伍一2）

=6（?-1）+-^——------L

—2

當〃=10時，代入上式得：

（?7-l）（9n-6）

2

r-

9x84

2

=378

方法二：第10個數是0+6+15+24+33+42+51+60+69+78=378,

故選：A.

【點睛】本題考查探索數字規律技能技巧，耐心統計數據，認真分析數據變化從中找出規律最為關鍵.

【變式4-1］按一定規律排列的等式：1=12,1+3=22,1+3+5=3?,1+3+5+7=42,........按此規律

1+3+5+7+9+…+2023=()

A.10102B.10112C.10122D.202I2

【答案】C

【分析】通過觀察可以看出：規律為一個等式，等號左邊為連續奇數的和，且奇數的個數、最后一個奇數

都與等式的序數有關，即：第〃個等式左邊有，個奇數，最后一個奇數為2〃-1等號的右邊為序數的平方,

即：

【詳解】解：規律為：1+3+5+7+...+(2〃-1)="

貝打+3+5+7+9+…+2023中,

2?-1=2023

解得：77=1012

則等號右邊為：10122

故選C

【點睛】本題主要考查了觀察、歸納概括總結的能力，歸納出規律是解題的關鍵.

【變式4-2】請觀察下列等式，找出規律并回答以下問題.

1^1111111111

U2--2'2^3~2~3'3^4"I-?'4^5-4-5...........

(1)按照這個規律寫下去，第5個等式是：；第〃個等式是：.

(2)①計算：-p—+'''1JO1

1x22x33x449x50

②若。為最小的正整數，^3=0,求:

1?1?1?1?L+]_______

茄+僅+1乂6+1)+(Q+2)@+2『@+3)G+3J+《+97肌97),

]_]2__i_14651

(2)①二；②

【答案】⑴￡46n〃+119800

【分析】(1)根據規律可得第5個算式；根據規律可得第n個算式；

(2)①根據運算規律可得結果.

②利用非負數的性質求出“與6的值，代入原式后拆項變形，抵消即可得到結果.

111111

【詳解】⑴根據規律得：第5個等式是第〃個等式是菽西甲丁病；

(2)ffi—+—+—+--^———

''-1x22x33x449x50,

_49

~50；

②。為最小的正整數，V^3=0,

:a=1,6=3,

1111,1

原式=——+---+----+----FL+

1x32x43x54x698x100

=lx(i-l)lx(L-l-)LxA1、1/1、11

++(----)++(----)+??+f

232242352462

1111111111、

=—x(1-----1-----------1----------1----------F?—I--------------)

2324354698100

2299100

_14651

-19800,

【點睛】本題主要考查了數字的變化規律，發現規律，運用規律是解答此題的關鍵.

題型2坐標的規律探索

根據條件表示前幾個點的坐標

根據前幾個點的坐標特征尋找規律

解題模板:

依據坐標規律得出結論

—

類型一：周期型

曬5.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形0/3CDE繞點。順時針旋轉〃個45。，得到正六

邊形OA“BnC"DnE",當”=2030時，正六邊形。4203082030G030D2030E2030的頂點AMO的坐標是（）

【答案】B

【分析】根據題意可知正六邊形循環了8次，由2030+8=253……6可知。6和乃河的坐標相同，即可求出

結果.

【詳解】解：由題意可知：正六邊形繞點。順時針旋轉一圈，旋轉了8個45。，

?.?當”=2030時，2030+8=253……6,

AO3O的坐標與。6的坐標相同，

如圖所示：過點AALOE于點”過點。作DFLx軸于點尸，

'.'ZDEO=120°,DE=EO=L

:.ZEDO=ZDOE=30°.

'.'ZDFO=90°

NFDE=30°

DF

???在RtZ\Z)FF中，cos30°=-----

DE

:.DF=DEcos300=—

2

DF

??.在Rt△0DF中，sin60°=-----

OD

3福

0D6=OD=VJ,Z￡OD6=60°,

又丁皿"0=90。,在中

HR

cos60°=°”sin60。=一^

OD'OD6

/73

.-.OH=OD6COS60°=—,HD6=OD6Xsin60°=-

22

又?.?點2在第三象限,

，點。6的坐標為

故選：B.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，坐標與圖形的變化,解直角三角形,學會探究規律的方法,確定2和4。3。

是解決問題的關鍵.

【變式5-1】如圖所示，已知點4-1,2),將長方形/2。。沿x軸正方向連續翻轉2022次，點/依次落在

點4,4,4,……，4()22的位置，則/2022的坐標是.

【答案】(3033,0)

【分析】先求出4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),4(8,1),找到規律求解.

【詳解】解：由題意得：從/開始翻轉，當旋轉到4,時，/回到矩形的起始位置，所以為一個循環，故

坐標變換規律為4次一循環.

4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),

4(8,1),4(9,0),4(9,0),4(11,2),

4(14,1),4。(15,0),41(15,0),(17,2),

4"+1(6"+2,1),4“+2(6〃+3,0),4"+3(6”+3,0),A4n+4(6n+5,2),

當《022時，即4〃+2=2022,解得“=505,

.?.橫坐標為6〃+3=6X505+3=3033,縱坐標為0,

則422的坐標(3033,0),

故答案為：(3033,0).

【點睛】本題主要考查圖形的旋轉變換，解題關鍵是找到圖形在旋轉的過程中，點坐標變化規律進而求解.

【變式5-2】如圖，在平面直角坐標系中，對。進行循環往復的軸對稱變換，若原來點N的坐標是。,2),

則經過第2022次變換后點/的對應點的坐標為.

關力軸對稱關于x軸對稱關力柏對稱關于謝對稱?…”

【答案】(-1,-2)

1分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環組，依次循環，用2022除以4,然后根據商和余數的情況確

定出變換后的點/所在的象限，解答即可.

【詳解】解：點/第一次關于y軸對稱后在第二象限，

點A第二次關于x軸對稱后在第三象限，

!點/第三次關于y軸對稱后在第四象限，

I點A第四次關于x軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，

I所以，每四次對稱為一個循環組依次循環，

廠.?2022+4=505余2,

經過第2022次變換后所得的/點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為

|故答案為：（T-2）.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，點的坐標變換規律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環組

|依次循環是解題的關鍵，也是本題的難點.

!親izmir

|咽6.正方形4月G。，&B￡2Ci,44GG，按如圖所示的方式放置，點4,4,4,…和點G,J,c3,

I…分別在直線y=b+6（左＞0）和X軸上，已知點4（1,1）,B]（3,2）,則砥21的坐標是（）

C.（22021-1,22020）D,（22021+1,22020）

【答案】C

【分析】根據耳（1,1）,B2（3,2）,B3（7,4）........寓的橫坐標為2"-1,用的縱坐標為2"一,

再求解即可.

【詳解】解：...瓦（覃），即用（2—,2i）

???4（01），

,「鳥（3,2）,即易（22-1,2~）

G4=2,

|片=1,

i.??44=44，

I

IAA2AXBX=45°,

I：.y=x+1f

I.C2B2=A2B2=A3B2,

I4c2=4,

I

j.?.員（7,4）,即2僅3-1,237）

I，紇的橫坐標為2"-1,紇的縱坐標為2"一，

⑼的坐標是啰⑼-1，22期），I

|故選:C.

i

【點睛】本題考查圖形的變化規律，通過觀察所給的圖形，探索出正方形邊長與點坐標的關系是解題的關

i鍵.

【變式6-1］如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫坐標分別為整數的點，其順序按圖中方向排列，如（1,0）J

i

I（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）...根據這個規律，第2021個點的坐標

i

【答案】（45,4）

【分析】以正方形最外邊上的點為準考慮，點的總個數等于最右邊上點的橫坐標的平方，且橫坐標為奇數

1時最后一個點在x軸上，為偶數時，從x軸上的點開始排列，求出與2021最接近的平方數為2025,然后

i寫出2021的坐標即可.

【詳解】解：根據圖形，以最外圍的正方形邊長上的點為準，點的總個數等于x軸上右下角的點的橫坐標

|的平方，例如：右下角的點的橫坐標為1,共有1個，1=F；

:右下角點的橫坐標為2時，共有4個，4=2?;

右下角的點的橫坐標為3時，共有9個，9=32;

右下角的點的橫坐標為4時，共有16個，16=42；

右下角的點的橫坐標為〃時，共有M個,

452=2025,45是奇數,

.??第2025個點的坐標為(45,0),

二第2021個點的坐標為(45,4),

故答案為：(45,4)

【點睛】本題考查了點的坐標的規律變化，從正方形的觀點考慮更簡便，注意正方形的右邊的點的橫坐標

是奇數還是偶數是解題的關鍵.

【變式6-2］已知:如圖，4(1,0),4(1,1),4(-14),4(TT),4(2,-D

⑴繼續填與：4,4,4,4,4o，4

(2)試與出點4oi7，"2018

【答案】⑴(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)

(2)(505,-504)；(505,505)

【分析】(1)根據圖示坐標系各象限橫縱坐標符號特點即可求解；

(2)找到點的橫縱坐標符號的規律即可求解.

【詳解】(1)解：根據圖示坐標系各象限橫縱坐標符號特點知4(2,2),4(-2,2),4(-2,-2),

4(3,-2).4。(3,3),41(-3.3).

故答案為：(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)；

(2)解：根據(1)可得：在第一象限的點的橫坐標依次加1,縱坐標依次加1,

i在第二象限的點的橫坐標依次加-1,縱坐標依次加1;

!在第三象限的點的橫坐標依次加-1,縱坐標依次加-1,

，在第四象限的點的橫坐標依次加1,縱坐標依次加T,

［第一，二，三象限的點的橫縱坐標的絕對值都相等，并且第四象限的橫坐標等于相鄰4的整數倍的各點除

I以4再加上1.

!...點出”（505,-504）,（505,505）,

|故答案為：（505,-504）；（505,505）.

【點睛】本題主要考查了通過圖示及坐標系內各象限橫縱坐標的特點判斷坐標，還考查了尋找規律，難度

|適中.

i_______________________________________________________

I類型三：固定累加型

|屈隨7.如圖,在平面直角坐標系中,點4,4,4,…和耳，與，與，…分別在直線y=和x軸上.A。/4,

:^44與，△鳥4鳥，…都是等腰直角三角形.如果點4（U）,那么點外吠的縱坐標是（）

【答案】A

【分析】設點4,4,4,....應臉坐標，結合函數解析式，尋找縱坐標規律，進而解題.

【詳解】解：過4作1軸于耳，過4作4心1%軸于與，過4作《41%軸于…

如圖，

L

_3

=3

?V2022-5y202i，

又丁乂二1,

_仆丫必

故選：A.

【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規律型：點的坐標，通過運算發現

縱坐標的規律是解題的關鍵.

【變式7-1］在平面直角坐標系中，正方形43。的位置如圖所示,點/的坐標為（1,0）,點。的坐標為（0,2）,

延長CS交x軸于點4,作正方形4片CC；延長。耳交x軸于點4,作正方形482c2G,…按這樣的規律

⑶

C.5x(/-q)\40404042

。5七）

22

示

r【分析】先利用勾股定理求出38C=/「，再用三角形相似得出42=苧，4芻=I守百，找出規律1

I402152021=(|)2021V5,即可求出第2021個正方形的面積.

【詳解】解：,點/的坐標為(1,0),點。的坐標為(0,2),

!:.OA=1,OD=2,BC=AB=AD=G

i?正方形45cZ),正方形4B/C7C,

i：.AOAD+￡AiAB=QGQ,AADO+AOAD=90°,

i：.AAiAB=^ADO,

\'：AAOD=AAiBA=90o,

\：./\AOD^/\AiBA,

AOOD

I'

1_2

「?懣一百

\.…也

\?-4B=2，

I:.AlBi=AlC=AlB+BC=-s/5,

9L32L

1同理可得，4S2=-V5=(-)A/5,

|同理可得，4尾=(|)3指，

|同理可得，^020^2020=(j)2020V5,

?.第2021個正方形的面積=：x斯=5x|.

I故選：C.

【點睛】此題考查正方形的性質，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，解題關鍵在于找到規律.

1【變式7-2】如圖，在平面直角坐標系中，將A/BO繞點A順時針旋轉到△/BiG的位置，點3、O分別落|

i在點片、G處，點用在X軸上,再將△N8C繞點用順時針旋轉到V44c2的位置，點在X軸上，將V/￡C2|

，繞點G順時針旋轉到的位置，點4在x軸上，依次進行下去……若點/6,。)，8(0,2),則點打。221

I的坐標為.

L

【分析】由勾股定理可計算出的長，其周長為°=6,△408經過3次旋轉后點燈的橫坐標為

OA+AB+OB=p=6,即為三角形的周長，縱坐標為2,即以(6,2)；再經過3次旋轉后點風的橫坐標為

2{OA+AB+OB)=2p=A2,即為三角形的周長2倍，縱坐標為2,即以(12,2)；再經過3次旋轉后點屏的橫

坐標為3(OA+AB+OB)=3°=18,即為三角形的周長的3倍，縱坐標為2,即從(18,2)；...；一般地，

△/。8經過3"次旋轉后點8?"的橫坐標為"(OA+AB+OB)=np=6n,即為三角形的周長的"倍，縱坐標為

2,B2n(6n,2).從而根據規律可求得星022的坐標.

【詳解】:/(|，°)，/0,2)

3

/.OA=-,OB=2

2

在用中，由勾股定理得：AB=y]OA2+OB2=^22+^=|

35

/\A0B的周長為p=—+—+2=6

22

△405經過3次旋轉后點片的橫坐標為04+48+08=0=6,即為三角形的周長，縱坐標為2,即&(6,2)；

△/。8再經過3次旋轉后點出的橫坐標為2(CM+/8+O8)=2p=12,即為三角形的周長2倍，縱坐標為2,

即氏(12,2)；

再經過3次旋轉后點瓦的橫坐標為3(0/+/2+02)=3/2=18,即為三角形的周長的3倍，縱坐標為2,即

瓦(18,2)；

一般地，經過3〃次旋轉后點燈〃的橫坐標為〃(OA+AB+OB)=np=6n,即為三角形的周長的"倍，縱坐標

為2,即心"(6〃，2).

■??2022是偶數

.'.52022(6066,2)

故答案為：(6066,2)

【點睛】本題是平面直角坐標系中坐標規律探索問題，先由特殊情況出發，得出一般性規律，再回到特殊

情況，體現了數學中的歸納思想，這是問題的關鍵.注意數形結合.

美麗廠葡菱京加畫一

畫8.如圖在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,0)

(2.1)(3.2)(3,1),(3,0)(4,0).根據這個規律探索可得，第2022個點的坐標為

()

(5,3)

⑶2-2)*2)

/1(3l)t(41J

(2,1)：產斗4,1"(5,1)

,J|J|

O(1,0)(2,0)(3,0)0,0)(5J))x

A.(2022,8)B.(63,5)C.(64,5)D.(64,4)

【答案】C

【分析】把第一個點(1,0)作為第一列,(2,1)和(2,0)作為第二列，以此類推，第一列有1個點,

第二列有2個點…第"列有"個點，可得前力列共有硬個點，第〃列最下面的點的坐標為60)

最后按照規律可得第2022個點的坐標.

【詳解】解：把第一個點(1,0)作為第一列，(2,1)和(2,0)作為第二列，以此類推，第一列有1

個點，第二列有2個點…第〃列有“個

,前〃列共有1+2+3+…+〃="("+1)個點,第"列最下面的點的坐標為5,0),

2

?1+2+3+…+63=63(63+1)=2016,且列數是偶數時，點的順序是由下而上，列數是奇數時，點的順序

2

是由上而下，

.?.第2016個點的坐標為(63,0),

第2017個點的坐標為(64,0)

第2018個點的坐標為(64,1)

第2019個點的坐標為(64,2)

第2020個點的坐標為(64,3),

第2021個點的坐標為(64,4),

r

i令x=0,則產令尸0,則x=-1.

3

V3

i.,.OC=1,OD=—.

3

I/tanZDCO=—=—,

OC3

I?/.ZDCO=30°.

△043/是正三角形，

i：.AAiOBi=QQ°.

i/.ZG47O=Z^7CO=30°,

I.OAi=OC='\.

L?.第一個正三角形的高=1xsin6(T=心；

2

|同理可得：第二個正三角形的邊長=1+1=2,高=2xsin6(r=VL

I

i第三個正三角形的邊長=1+1+2=4,高=4xsin6(T=2VL

|第四個正三角形的邊長=1+1+2+4=8,高=8xsin60o=46；

I,,,

［第〃個正三角形的邊長=2廬，高=2〃4百.

1.,.第〃個正三角形頂點N"的縱坐標是2獷入省.

|故選：D.

【點睛】本題是一次函數綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質，一次函數圖象上點的坐標特征.

I

【變式8-2】如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點P(l,0).點尸第1次向上跳動1個單位至點耳(1,1),緊接

I著第2次向左跳動2個單位至點心(-1,1),第3次向上跳動1個單位至點心，第4次向右跳動3個單位至點

|乙，第5次又向上跳動1個單位至點與，第6次向左跳動4個單位至點片，…照此規律，點尸第2022次

i跳動至點鳥022的坐標是.

I

【答案】(-506,1011)

【分析】設第"次跳動至點根據部分點的坐標找出變化規律"&(〃+L2”)，&向5+1,2〃+1),

&+2(fT2"+l),&+3(fT，2〃+2)”，照此規律由2022=4x505+2代入求解即可.

【詳解】解：設第〃次跳動至點

由圖知，4。，1)、巴(-1,1)、A(T2)、6(2,2)、由2,3)、6(-2,3)、,(-2,4)、由3,4)、…,

二可得：點的變化規律為七("+1,2"),&+|(〃+1,2"+1),&+《〃_1,2〃+1),辦+3(-〃-1，2〃+2),

?.-2022=4x505+2,

5022(-505-1,2X505+1),即鳥022(-506,1011),

故答案為：(-506,1011).

【點睛】本題考查了平面直角坐標系內點的規律，根據部分點的坐標找到規律是解題關鍵，屬于中考常考

題型.

1題型3:圖形的規律探索

1

1

題目腌圖形的變化規律

\

解題模板：.利傭規陋出相酬儲a

i

//仿照數式規律的遁蛙法得出■迨

1類型一：周期型

麗9.桌面上有一個正方體.每個面均有一個不同的編號(1,2,3,....6),且每組相對面上的編號和為

7.將其按順時針方向滾動(如圖)，每滾動90。算一次，則滾動第2022次后,正方體朝下一面的數字是

IggWB-

第1次第2次第3次

A.5B.4C.3D,2

【答案】B

【分析】先找出正方體相對的面，然后從數字找規律即可解答.

【詳解】解：由圖可知：

3和4相對，2和5相對，1和6相對，

將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90。算一次，骰子朝下一面的點數依次為5,4,2,3,且依

次循環，

.2022+4=505……2,

二.滾動第2022次后，骰子朝下一面的點數是：4,

故選：B.

【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，先找出正方體相對的面，然后從數字找規律是解題的關

鍵.

【變式9-1】如圖是按一定規律擺放的圖案，按此規律，第2021個圖案與第1~4個圖案中相同的是第一

個.（只填數字）

【分析】根據題目中的圖案，可以發現圖案的變化特點，從而可以得到2021個圖案與第1~4個圖案中相

同的是第幾個.

【詳解】解：由圖可得，每四個圖案為一個循環，

.2021+4=505……1,

,第2021個圖案與第1~4個圖案中相同的是第1個，

故答案為：1.

【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現圖案的變化特點，利用數形結合的思

想解答.

【變式9-2】如圖，周長為6個單位長度的圓上的六等分點分別為N,B,C,D,E,E點/落在2的位

置，將圓在數軸上沿負方向滾動，那么落在數軸上-2025的點是.

【答案】F

【分析】由于圓的周長為6個單位長度，所以只需先求出此圓在數軸上環繞的距離，再用這個距離除以6,

看余數是幾，再確定和誰重合.

【詳解】解：由圖形可知，旋轉一周，點3對應的數是1,點C對應的數為0,點。對應的數為-1,點E對

應的數據為-2,點尸對應的數為-3,點A對應的數為-4,

在數軸上-2025到2的距離為2027,

2027+6=337?5,對應的點應該為圓上的第6個點，即點尸

故答案為：F

【點睛】本題考查了數軸，找出圓運動的周期與數軸上的數字的對應關系是解答此類題目的關鍵.

卜

麗10.如圖是一組有規律的圖案.它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成.第（1）個圖案有4個

三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖形有10個正三角形，…依此規律，若第〃個圖案有

2023個三角形，貝什=（）

A.670B.672C.673D.674

【答案】D

【分析】由題意可知：第（1）個圖案有3+1=4個三角形，第（2）個圖案有3x2+l=7個三角形，第（3）

個圖案有3x3+1=10個三角形，…依此規律，第〃個圖案有（3〃+1）個三角形，進而得出方程