2024年中學高三數學4月模擬考試卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、試場號、座位號及準考證號。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4.考試結束后，只需上交答題紙。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

L復數二滿足i（二+。=2+，，則目=（）

A.y/28百C.y/5D.M

2.已知,卜q=則￡在5上的投影向量為（）

A.正￡B.-ac.—b1T

D-b

2222

3.若非空集合力，B,C,O滿足：AC\C=C,Br\C=D,則()

AA^CB.DcAC.JCl5=<PD4r1。=①

4.拋物線y2=2px（p>0）上的點P（2,2）到焦點的距離為（）

A-B.2C-D.1

22

5.球缺指的是一個球被平面截卜的一部分，垂直「截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設球的半徑

為R,球缺的高為則球缺的體積/=不力圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直

徑的球在圓錐外的體積為（）

64萬62不

A.——B.-----

7575啜

6.已知某4個數據的平均值為6,方差為3,現加入數據8和10,則這6個數據的方差為（）

1374

42B.—C-

333

7.已知函數/(x)=(sinx-JJcosx)cosx,若/（X）在區間一宗9上是單調函數，則實數9的取值范圍是（）

nnItItItn

A.區一若C.D.

6,3r-i2312

8.設點若在圓。"2+產=1上存在點汽，使得NOMN=60,則〃，的取值范圍是（）

4-B.（?卜6,6]D[-2,2]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

1

9.設橢圓（？:三+當=1的左、右焦點分別為耳、亮，尸是C上的動點，則F列結論正確的是（）

4橢圓C的離心率e=|

81吶+附|=5

《△Pg5面積的最大值為12

0|尸4|的最小值為當

10.四棱錐尸-488的底面為正方形，PDJ_底面/5CO,PD=AD=1,方=：麗，PF=^PA

平面4OED平面尸BC=/,PCD平面OEF=G,則（）

4直線/與平面PAD有一個交點

BPCIDE

C.PG=-PC

5

D三棱錐尸-ERG的體積為J；

Ov

H.已知。"=2",b?=3n-l,數列｛4｝和｛4｝的公共項由小到大排列組成數列｛q｝,則（）

4c4=32

B.｛c.｝為等比數列

C數列《*的前”項和S“e[l,5）

D.廊如、加不是任一等差數列的三項

三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（2x-l）S的二項展開式中x4的系數為.

13.已知4件產品中有2件次品，現逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數為X,則

/町=—

14.已知aeN*,函數/"）=03'-*">0恒成立，則。的最大值為.

四、解答題，本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某手機月印公司對一小區居民開展5個月的調查活動，使用這款Xm人數的滿意度統計數據如E：

月份X12345

不滿意的人數y1201051009580

（1）求不滿意人數y與月份x之間的回歸直線方程夕=最+6,并預測該小區io月份對這款/叩不滿意人數:

（2）工作人員從這5個月內的調查表中隨機抽查100人，調查是否使用這款加P與性別的關系，得到下表：

2

根據小概率值a=001的獨立性檢驗，能否認為是否使用這款/即與性別有關？

使用力配不使用/印

女性4812

男性2218

^x,^-nxy

附：回歸方程$=晟+白中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為5=丹--------a=y~^

/?|

/=,「叱3；n=acd

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)+b++

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知A/8C中，角4.8.C所對的邊分別為a.b,c,且csm—^=asinC.

⑴求才:

(2)若a=3,D為BC邊上一點,AD=2,2DB=DC,求的面積.

17.如圖，在直三棱柱/BC-44G中，=8。=2,=3,點￡),E分別在棱AA^CC.h,AD=2DAX,

ClE=2EC,F為與孰的中點.

(1)求證：川?|〃平面QEF；

(2)當三棱柱ABC-48￡的體積最大時，求平面DEF與平面ABC夾角的余弦值.

3

22

18.已知雙曲線氏0-4=1的漸近線為y=±2x,焦距為2?，直線/與E的右支及漸近線的交點自上

a'b"

至下依次為。、4、B、D

(1)求E的方程：

(2)證明：［4。|=忸。|：

(3)求2?的取值范圍?

19.已知函數/(x)=sinx+ln(l+x)-ox,aGR.

(1)當a=0時，求/(x)在區間(-1,2〃)內極值點的個數：

(2)若/(x)40恒成立，求。的值；

(1A_.2/J-I..

(3)求證：ysin-T<2,n——r-,n2>n>2,neN.

劣V/-1Jn-\

4

2024年高三三校聯考數學模擬卷參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.復數二滿足，（二+，）=2+f,則匕|=（）

40B.jC忑D.M

【答案】D

2.已知卜卜慟=1,p+B卜JJ,則￡在g上的投影向量為（）

4與1-c,^-b1-

B.—aD；b

2222

【答案】D

3.若非空集合4,8,c,。滿足：/nc=c,8nc=。，則（）

A.AQCB.DQAC4n8=中D.AC\D=^

【答案】B

4拋物線好=2"（2>0）上的點尸（2,2）到焦點的距離為（）

A-5.2C-DA

22

【答案】A

5.球缺指的是一個球被平面截卜.的一部分，垂直「截面的直徑被截后剩卜?的線段為球缺的高，設球的半徑

為R,球缺的高為〃，則球缺的體積/="獷圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直

徑的球在圓錐外的體積為（）

64乃62乃2E23萬

A.——B.——C.——D.——

75752525

【答案】4

【解析】

作圓錐P。的軸截面PAB,軸截面與球。內接圓錐底面交于44

所求體積即為球缺p-4aBi與內接圓錐p。2的體積之差

42r4

軸截面頂角為sina=二，設圓錐尸。）底面半徑為小則2=--，即〃=二

5sina5

則圓錐股的高為g，則噎［吟曾《=罌

Q4481

球缺的高為丁則展缺

"375"

64期

力=喂統-72

"7?

6.已知某4個數據的平均值為6,方差為3,現加入數據8和10,則這6個數據的方差為（)

5

【答案】B

7.已知函數/3=懶工-65卜05孫若/。）在區間上是單調函數，則實數9的取值范圍是（）

「五九、八「7Tn[八，冗冗]冗江

43JBr?3j士廠旬°卜『同

【答案】C

【解析】

f（x）=sinxcosx-yJicos'x=-sin2x->/3^+COS^X=-sin2^--cos2^--=sinfzx--l--

''22222（3）2

令，=2x-：,則尸=$而，——

32

因為xe~,0,所以，e-n,20-y

又因為/（x）在區間上是單調函數，則/=疝位-乎在區間-兀,2。-冷上是單調函數

所以-X即-弓<2"-看，解得-}”后

8.設點M（見1）,若在圓。：/+丁=1上存在點2,使得NOMM=60,則機的取值范圍是（）

1A-J，；C.[->/3,73]D[-2,2]

【答案】A

【解析】

由圓的性質可知：圓上一點丁，與M，O所組成的角NOW,當A/7與圓相切時，NOMT最大

若圓上存在點N,使得NOMN=60,則NOW260

由M（肛1）和/+爐=1可知，過M且與圓相切的一條直線為y=L切點7（0,1）

則在直角三角形。MT中，3。仍=篙*5從而『A/區乎=>-??川

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設橢圓。工+工=1的左、右焦點分別為耳、片，戶是C上的動點，則下列結論正確的是（）

2516

4橢圓。的離心率e=g

A附卜附|=5

C.APK6面積的最大值為12

6

。|尸耳|的最小值為與

【答案】AC

—"1—>—-3—-

10.四棱錐尸一力5。)的底面為正方形，PD工底面4BCD,PD=AD=l,PE-PB,PF-PA,

24

平面/lOEn平面P3C=/,PCD平面￡>￡F=G,則()

4直線/與平面PAD有一個交點

B.PCLDE

C.PG=-PC

5

D三棱錐P-EFG的體積為烹

【答案】BD

【解析】

4取棱PC中點。，連接EQ,DQ

因為￡是棱P8的中點，則BC//EQ

因為AD/IBC,則即A,D,E,。四點共面，貝h為直線

因為/Du平面尸X。，七平面H4。，則E。〃平面尸40,即〃/平面尸40.4錯誤

8因為尸。，底面43C。，4￡>u平面⑷3c。，則

因為底面是正方形，ADLCD,PDcCD=D,則4￡)_L平面尸DC,則加)_LPC

因為尸。=4。，則△PQC為等腰直角三角形，PC1DQ

因為《￡>小。。=。，且￡>Qu平面/QQE,則PC_L平面/。。萬，則PCJ.DE,8正確

C設"=4,7b=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=-PF+-PG-2PE

PC3A

415—?3—?

因為O,￡E,G四點共面，則§+^-2=1,2=-.即PG=§PC,C錯誤

〃〃1〃133〃93

D"p-EFG='E-PFG=2H-PFG=Q'g【B-P4c=而*P-ABC二麗，。正確

11.已知=2",bn=3n-\,數列｛q｝和他｝的公共項由小到大排列組成數列匕｝,則()

4c4=32

8｛%｝為等比數列

C數列，.，的前〃項和S“e[l,5)

、°n,

D.廊M、框不是任一等差數列的三項

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,c4=128,A錯誤

8設1H=4,即。=2"=3左一1

m

am+1=2-2=2(3A-l)=3(2A-l)+l,不是他,｝中的項,即不是匕｝的項

7

。」尸用的最小值為日

【答案】AC

*1*—,3*

10.四棱錐產一45。的底面為正方形，PD工底面4BCD,PD=AD=l,PE=-PB.PF—PA,

24

平面ZOEf]平面尸8C=/,尸CCI平面。￡F=G,則()

4直線/與平面PAD有一個交點

B.PCVDE

C.PG=-PC

5

D三棱錐P-EFG的體積為之

t答案】BD

【解析】

4取棱PC中點。，連接EQ,DQ

因為￡是棱M的中點，則BC7/EQ

因為4V/8C,則仞〃E0,即A,D,E,。四點共面，貝股為直線EQ

因為u平面PAD,召。匕平面PAD,則EQ/I平面PAD,即III平面PAD,A錯誤

8因為P￡)_L底面WCO,4￡>u平面488,則尸

因為底面48C。是正方形，ADLCD,PDcCD=D,則/￡)_L平面P0C,則仞，/3c

因為產。=/。，則為等腰直角三角形，PCLDQ

因為4。八￡)。=。，且/。，￡>Qu平面/小￡,則PC_L平面/小〃，則尸CJ.DE,8正確

C設”=義，PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=-PF+-PG-2PE

PC32

415--3

因為G四點共面，則一+——2=1,2=-,即尸6=不「。，C錯誤

323

.〃1〃133〃93

Dlp_￡FG=IE-PFG=5'B-PFG=2X4X5XB"PAC=4QP-ABC=麗，。正確

IL已知4=2",bn=3n-\,數列｛凡｝和他｝的公共項由小到大排列組成數列｛q｝,則()

4c4=32

8.｛%｝為等比數列

c數列,4忸前〃項和5,?1.5)

、anJ

D.瓜、如、框不是任一等差數列的三項

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,04=128,4錯誤

8設仇=4桁=4,即。,=2析=3%_]

%=22=2(31)=3(2無-1)+1,不是他｝中的項,即不是匕｝的項

8

m

(m+2=4-2=4(3A-l)=3(4A-l)-l,是｛〃｝中的項，即是｛c“｝的項

..號=手=4,則2=2W，即｛6｝為等比數列，8正確

C.

仁錯位相減法計算得S0=5-24F-4-S，且b才>aS,單調遞增，所以s.w[l,5)

2n

D設點、&■、通是等差數列｛〃｝的第八八P項，｛4｝的首項為4,公差為d

"=4+(1)d

小T=(jfd=曰=曬_2

???,有=4+(j-l)d=.

42=(p-i)d>12p-i

y/s=4+(p-i)d

?,?芳是有理數，M-2是無理數

原假設不成立，即廊弧、如不是任一等差數列的三項

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(2x-1)，的二項展開式中x4的系數為

【答案】-80

13.己知4件產品中有2件次品，現逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數為X,則

￡(')=

8

【答案】-

【解析】

X=2,3

X=2,檢測的兩件產品均為正品或均為次品，則2('=2)=且*^=；

X=3,只需前兩件產品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則

14.已知aeM,函數/(》)=產一/>0恒成立，則。的最大值為.

【答案】7

【解析】

9

先考慮xe(0,+oo)的情況，則e">xa=>3jr>alnx=>->—

ax

令g(x)=，,則g'(x)=號竺,則g(x)在(O,e)單調遞增,(e,+oo)單調遞減，則g(x)max=g(e)=g

因此之>1,即a<3e=8154

ae

當a=8,xf-?時，顯然/(x)>0不成立

ixa

當a=7時，Vxe(^o,0].e>0>x,即/(、)>。恒成立，則4^=7

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.某手機4卬公司對一小區居民開展5個月的調查活動，使用這款/印人數的滿意度統計數據如K：

月份X12345

不滿意的人數y1201051009580

(1)求不滿意人數)'與月份x之間的回歸直線方程?=良+3并預測該小區10月份對這款力卬不滿意人數:

(2)工作人員從這5個月內的調查表中隨機抽查100人，調查是否使用這款/即與性別的關系，得到下表：

根據小概率值a=0。的獨立性檢驗，能否認為是否使用這款[即與性別有關？

使用力印不使用』即

女性4812

男性2218

附：回歸方程/=公+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為'=號-------a=y~bx

2n(ad-bc)'

,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)"=4+b+c+d

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】

,?,33--s-1+2+3+4+5,―120+105+100+95+80

(1)由表中的數據可知：X=-------------------=3,y=--------------------------------=100

5___

1410-1500

:工=丹...-==-9G=歹一后■=100-(-9)x3=127

55-45

/-1

二所求得回歸直線方程為了=一以+127............................................................................................................5分

當x=10時，j=-9x10+127=37

?，該小區10月份的對這款沏，不滿意人數預估為37A................................................................................9分

10

(2)零假設為“°：是否使用這款4勿與性別無關10分

由表中的數據可得.鵬普篁號—>6635-，........................12分

根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷從不成立，即認為是否使用這款力即與性別有關，此推斷

的錯誤概率不大于0.01....................................................................13分

16.已知ANBC中，角48c所對的邊分別為a,b.c,l.rsin^|^=asinC.

⑴求Z：

(2)若a=3,。為8c邊上一點，AD=2,2DB=DC,求AHBC的面積.

【解析】

月+1'/?+「*

(1)因為csin---=asinC,由正弦定理得sinCsin--—=sinJsinC

因為Ce(0,7t),可得sinC>0,又因為空？=可得sm"J=cos!

22222

同亍以sin-----=cos—=sinJ=2sin—cos-,g|Jcos—=2sin—cos—

2222222

又因為（￡（0；）,可得8s〈>0,所以sinq=g,所以<=?，可得N=1.....................6分

22222263

（2）由2D3=DC知而=g.正+：礪

貝”而+^|JB|2+^|78|-|JC|COSZSJC,即4=++

化簡得護+4<?+26c=36①.................................................................8分

224-I2_025—。2

在△45。中，由余弦定理得cos4QB=m-^==-

2x2x14

72%）2_L2O_L2

在中，由余弦定理得cos40C=一二匚？-

2x2x28

S-/?2?-A2

而/ADB+NADC=TI,所以COS4￡>B+8SZ/1QC=0,則±_^+U-=O,即2?十〃=唱②....埼分

48

由??得F+4c2+2兒=2（2/+/）

由于6x0,得b=2c,代入②得c?=3......................................................13分

所以小3C的面積為』icsmZ8/C=c2sinN8/C=邁.........................................15分

22

17.如圖，在直三棱柱48C-481G中，48=8C=2,44=3,點￡>,￡分別在棱44“Cq上，，4。=2皿，

CtE=2EC,尸為4a的中點.

(1)求證：4B"/平面DEF：

(2)當三棱柱43C-/4G的體積最大時，求平面DEF與平面N8C夾角的余弦值.

【解析】

試卷第6頁，共11頁

11

(1)連接4G交。E于點M,連接MF、AE.DC^ABt

2

因為NQ=2￡>4，ClE=2EC,所以4。=。/=3/4=2

因為4D//CE,所以四邊形為平行四邊形，所以4M=A/q

因為8尸=尸6，所以MF〃AB、

因為A/Fu平面。EF,/4&平面。所，所以力用〃平面。EF..................................6分

(2)因為【必、4跖=\ABCBB、35uABC

又因為￡的=gN8.8CsinN/18C=2sin443c

所以當4BC=W時5?而取最大值2

即當HB_LBC時直三棱柱ABC-44G的體積最大...........................徉.............9分

又叫，平面.，/鳳比^平面”。，所以明L48,BBJBC叩——

34.

如圖建立空間直角坐標系，則。(20,2),￡(0,2,1),

所以詼=(一2,2,-1),醞=(0,-1,2)

/*

設平面DEF的法向量為萬=(xJ,二)

n-DE=-2x+2y-:=0_(3)

則(一'，取"=不2」.................................................12分

n-EF=-y+2:=0V2)

又平面Z8C的一個法向量為而=(0,0,1)......................................................13分

\m-n\12犧

cos。=??

設平面與平面,夾角為9,則-H-H'二L二R

所以平面。EF與平面48c夾角的余弦值為檔黑??

..........................................15分

12

18.已知雙曲線E：r-4v=1的漸近線為y=±2x,焦距為2",直線/與E的右支及漸近線的交點自上

ab-

至下依次為C、/、B、D

(1)求E的方程：

(2)證明:\AC\=\BD\,

(3)求Sr*的取值范圍.

12

【解析】

c=有

二

2

(1)由題意知:-=2則<b=2,則氏x-^-=4分

a

222=75

c=a+b

(2)易知/的斜率為0時不成立

設/:x=my+，，/>0

X=叩+/

-1)y2+^mty+4/2-4=0

-8ml4r-4

??(W22

?AI=164+/-1)>0,"+以=不？=中T6分

x=my+1

<,y2=>(4/w2-1)J2+8/W^+4/2=0

女一了一

z八一8M4/

A=16’>0,y+y=-,yy=—-................................................................8分

cD4/w2-IcD4/w-1

.?.%+%—_A1W

22

???線段.48、CO的中點重合

，|/。|=忸必..............................................................................10分

⑶|/C|=￡^M=；x后..........

22|4/W-1|

。到直線1C的距離d

14分

一^AAOC=豹"=能產x，=小島】―[+舟

/>0

A〕=16(4〃/+/2-1)>0

-2/

X」+-=---；--->0

AB荷-1

-4/n2-t1人

X.Xft=------;------>0

ABW-l

13

19.已知函數/(x)=sinx+ln(l+x)-ox,awR.

(1)當。=。時，求/(x)在區間(-L2”)內極值點的個數；

(2)若/(x)40恒成立，求。的值；

-3rlic,2n-l,、.

(3)求證：Xsin；-<2In-------ln2,n>2,n&N.

/〃T

【解析】

⑴o=0時，/(x)=sinx+ln(l+x)

?'?/(x)在x?(-I,,)單調遞增，在xe(萬"二次)內單調遞增

v/'(jf)=cosx+—

1+X

二當xe仔,，時，/'(X)單調遞減，/(5卜7^>°,/'(^)=-1+—^-<0

V2)1+—