專(zhuān)題35最值問(wèn)題

考點(diǎn)一：利用對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題

-------\

知識(shí)回顧

1.基本知識(shí)點(diǎn)：

①兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；②點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短。

2,求最值問(wèn)題的類(lèi)型

問(wèn)題基本圖形解題圖形解題思路與步驟

如圖①：如圖，

存在直線(xiàn)1以及直線(xiàn)0.

外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,直P(pán).

___________________1

線(xiàn)/上存在一點(diǎn)M,解題思路：找點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)

使得MP+MQ的值解題步驟：

最小。①?gòu)膯?wèn)題中確定定點(diǎn)與動(dòng)

如圖②：如圖，點(diǎn)。

N

已知NMON以及角②作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)

內(nèi)一點(diǎn)P,角的兩邊點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。通常

0M與ON上存在點(diǎn)O/-----------------------M上情況下其中一個(gè)定點(diǎn)的關(guān)

0

A與點(diǎn)B,使得4PAB于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

的周長(zhǎng)最小。P'存在，找出即可。

如圖③：如圖：③連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定

D

已知NAOB以及角點(diǎn)。與動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn)

內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q,即是動(dòng)點(diǎn)的位置。然后解

角的兩邊上分別存二1題。

在M、N使得四邊形、R

PQMN的周長(zhǎng)最小。

微專(zhuān)題

1.（2023?德州）如圖，正方形A8C￡）的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在8c上，CE=2.點(diǎn)M是對(duì)角線(xiàn)8。上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）

第1題第2題

A.6/B.3A/5C.2A/13D.4^/13

2.（2023?資陽(yáng)）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn).若AB=4,則AE+OE

的最小值是（）

A.472B.275+2C.2713D.2屈

A.1B.72C.V3D.2

4.（2023?廣安）如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡、尸分別為邊A。、

OC的中點(diǎn)，則PE+尸廠的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.75

5.（2023?赤峰）如圖，菱形A8C。，點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上./A8C=120°,點(diǎn)A（-3,0）,點(diǎn)E

是C￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是0c上的一動(dòng)點(diǎn)，則尸。+PE的最小值是（）

3

A.3B.5C.2A/2D.-73

2

6.（2023?安順）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E為C￡>上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R

過(guò)點(diǎn)D作DGLAF,交AF于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)G,N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC,

MN.若S'DCG=J_,則MC+MN的最小值為_(kāi)_______

S"CE9

7.（2023?內(nèi)江）如圖，矩形ABCZ）中，AB=6,AD=4,點(diǎn)、E、E分別是AB、OC上的動(dòng)點(diǎn)，EF//BC,則

AF+CE的最小值是.

8.（2023?賀州）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,E,尸分別是A。，A8的中點(diǎn)，NAOC的平分線(xiàn)

交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸是線(xiàn)段QG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為.

9.（2023?婁底）菱形A8C。的邊長(zhǎng)為2,NA8C=45°,點(diǎn)尸、。分別是8C、8。上的動(dòng)點(diǎn)，C0+P。的最

小值為_(kāi)_______

10.（2023?眉山）如圖，點(diǎn)尸為矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE,PB,若

AB=4,BC=4也,則PE+PB的最小值為

第10題第11題

11.（2023?濱州）如圖，在矩形A8C。中，AB=5,A￡>=10.若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作EP

且分別交對(duì)角線(xiàn)AC、直線(xiàn)BC于點(diǎn)。、尸，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中,AF+FE+EC的最小值為.

12.（2023?自貢）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是的中點(diǎn)，線(xiàn)段EF在邊AB上左右滑動(dòng),

13.（2023?泰州）如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作正方形DEFG.設(shè)

DE=di,點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、曲，則力+出+曲的最小值為（）

A.72B.2C.2-N/2D.4

14.（2023?安徽）已知點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC,/\PAB,APBC,

△PCA的面積分別記為So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,則線(xiàn)段0P長(zhǎng)的最小值是（）

35/37省7a

A.C.38D.

F2~~2~

考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑

知識(shí)回顧

1.解題思路：

通過(guò)確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。

2.確定圓心的方法：

方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)確定圓心。通常存在線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)。

方法②：直徑所對(duì)的圓周角等于90°。找90°的角所對(duì)直線(xiàn)的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個(gè)角相等。

/-------------------\

微專(zhuān)題

15.（2023?泰安）如圖，四邊形ABC。為矩形，A8=3,BC=4,點(diǎn)尸是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段

4尸上一點(diǎn)，ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

12

B.—

5

C.713--D.713-2

2

16.（2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB=10,點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊ABEF,連

接。尸，CF,貝！）/85=,FB+FD的最小值為

第16題第17題

17.（2023?柳州）如圖，在正方形ABC。中，A8=4,G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG

=2,連接DE,將線(xiàn)段。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段。F,連接CR則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為.

18.（2023?無(wú)錫）△A3C是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△OCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線(xiàn)8。與直線(xiàn)AE

交于點(diǎn)?如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，ZDBC=20°,則/區(qū)4尸=°；現(xiàn)將△OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)

1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段AF長(zhǎng)度的最小值是.

專(zhuān)題35最值問(wèn)題

考點(diǎn)一：利用對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題

知識(shí)回顧

3.基本知識(shí)點(diǎn)：

①兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；②點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短。

4.求最值問(wèn)題的類(lèi)型

問(wèn)題基本圖形解題圖形解題思路與步驟

如圖①：如

圖，存在直線(xiàn)1

0.

以及直線(xiàn)外的

P.解題思路：找點(diǎn)作對(duì)

點(diǎn)P和點(diǎn)Q,直__________________1

稱(chēng)

線(xiàn)/上存在一點(diǎn)

解題步驟：

M,使得MP+

①?gòu)膯?wèn)題中確定定

MQ的值最小。

點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)。

如圖②：如

②作其中一個(gè)定點(diǎn)

圖，已知NMON2\N

/關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)

以及角內(nèi)一點(diǎn)

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。通常情況

P,角的兩邊0M

O----------------M下其中一個(gè)定點(diǎn)的

與ON上存在點(diǎn)

o關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)

A與點(diǎn)B,使得

Pf的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)存在，找出

△PAB的周長(zhǎng)最

即可。

小。

③連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另

如圖③：如

D一個(gè)定點(diǎn)。與動(dòng)點(diǎn)所

圖：已知/AOB

在直線(xiàn)的交點(diǎn)即是

以及角內(nèi)兩點(diǎn)

動(dòng)點(diǎn)的位置。然后解

點(diǎn)P與點(diǎn)Q,角

題。

的兩邊上分別

存在M、N使得

cB

四邊形PQMN的

周長(zhǎng)最小。

微專(zhuān)題

1.（2023?德州）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在BC上，CE=2.點(diǎn)〃是對(duì)角線(xiàn)

8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）

A.672B.345C.2A/13D.4屈

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化ME,

MC的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接AE交80于M點(diǎn)，

C關(guān)于8。對(duì)稱(chēng)，

：.AE就是ME+MC的最小值，

:正方形A8CD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且CE=6-2=4,

"：62+42,

AE=y$2+42=2、13，

：.ME+MC的最小值是2反.

故選：C.

2.（2023?資陽(yáng)）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。點(diǎn)E是直線(xiàn)3C上一動(dòng)點(diǎn).若A5

C.2V13D.2屈

【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問(wèn)題，需要通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)A,再連接4。，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得到A。為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理

求線(xiàn)段AO的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)8C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,連接AO,其與3c的交點(diǎn)即

為點(diǎn)E,再作。尸，AB交A8于點(diǎn)R

：.AE^A'E,AE+OE^A'E+OE,當(dāng)且僅當(dāng)4,O,E在同一條線(xiàn)上的時(shí)候和最小，如圖所

示，此時(shí)AE+OE=A'E+OE=AO,

:正方形ABC。，點(diǎn)。為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

?*-0F=FB=yAB=2-

與A關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

：.AB=BA'=4,

：.FA,=FB+BA'=2+4=6,

在中，oN=VFO2+FA/2=2^/10,

故選：D.

3.（2023?荷澤）如圖，在菱形ABC。中，AB=2,ZABC=60°,M是對(duì)角線(xiàn)BD上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，CF=BF,則的最小值為（）

A.1D.2

【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時(shí)，4M,尸三點(diǎn)共線(xiàn)，即求4斤的長(zhǎng)度，根據(jù)題意判斷

△ABC為等邊三角形，且尸點(diǎn)為2C的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長(zhǎng)度即

可.

【解答】解：當(dāng)A、M,P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即當(dāng)M點(diǎn)位于時(shí)，"A+M/的值最小，

由菱形的性質(zhì)可知,

AB=BC,

XVZABC=60°,

/.△ABC為等邊三角形，

?一點(diǎn)為8C的中點(diǎn),AB=2,

：.AF.LBC,CF=FB=\,

在RtAABF中，AF=VAB2-BF2=^3.

故選：C.

4.（2023?廣安）如圖，菱形A3C。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F

分別為邊A。、0c的中點(diǎn)，則PE+PP的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.V5

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T,連接PT,FT.首先證明四邊形ADFT是平行四邊形,

推出AD=fT=2,再證明由尸F(xiàn)+PTN尸T=2,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)T,連接尸T,FT.

:四邊形ABC。是菱形，

J.CD//AB,CD=AB,

,;DF=CF,AT=TB,

：.DF=AT,DF//AT,

四邊形AOfT是平行四邊形，

：.AD=FT=2,

:四邊形ABC。是菱形，AE=DE,AT=TB,

：.E,T關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

：.PE=PT,

:.PE+PF=PT+PF,

"：PF+PT^FT=2,

：.PE+PF^2,

：.PE+PF的最小值為2.

故選：A.

5.（2023?赤峰）如圖，菱形A3CD,點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上.NABC=120°,點(diǎn)A

（-3,0）,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是0c上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（

3

A.3B.5C.272D.-73

2

【分析】根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是8C的中點(diǎn)E,連接。E交AC與點(diǎn)P,

此時(shí)尸Q+PE有最小值，求出此時(shí)的最小值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E,連接。E交AC與點(diǎn)

P,此時(shí)PD+PE有最小值為DE,

；.OA=OC=3,NDBC=60°,

.?.△BCD是等邊三角形，

：.DE=OC=3,

即PD+PE的最小值是3,

故選：A.

6.（2023?安順）已知正方形A8C。的邊長(zhǎng)為4,E為CD上一點(diǎn)、,連接AE并延長(zhǎng)交BC的

延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)。作。GLAR交AF于點(diǎn)H,交BF于點(diǎn)G,N為跖的中點(diǎn)，M

為BD上一動(dòng)點(diǎn),分別連接MC,MN.若“DCG=L，則MC+MN的最小值為_(kāi)___.

S&FCE9

【分析】由正方形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，則有MN+CM=MN+AM^AN,

所以當(dāng)A、M.N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MN+CM的值最小為AN,先證明△OCGs△/CE,再由

S

ADCG=1,可知生=工，分別求出。E=l,CE=3,CF=U,即可求出AN.

SAFCE9CF3

?.?四邊形ABC。是正方形，

二4點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于8。對(duì)稱(chēng)，

ACM=AM,

：.MN+CM=MN+AM>AN,

...當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MN+CM的值最小,

'JAD//CF,

：.ZDAE=ZF,

■:NDAE+NDEH=90°,

'."DG1AF,

；.NCDG+NDEH=90°,

：.ZDAE=ZCDG,

.\ZCDG=ZF,

二△OCGS"CE,

.?SADCG1

^AFCE9

?.?CD—_1,

CF3

???正方形邊長(zhǎng)為4,

:.CF=n,

'：AD//CF,

.AD=DE=_1

"CFCET

：.DE=l,CE=3,

在RtZ\CE/中，EF1=CE1+CF2,

：.EF=yl22+122=3,

是EF的中點(diǎn),

:.EN=3417,

2

在RtZ\ADE中，EA2=AD2+Z)E2,

；.AE="+12=，

:.AN=5A,

2

：.MN+MC的最小值為殳叵，

2

故答案為：殳叵，

2

7.（2023?內(nèi)江）如圖，矩形A8CZ）中，43=6,4。=4,點(diǎn)E、/分別是AB、0c上的動(dòng)點(diǎn),

EF//BC,則AF+CE的最小值是

【分析】延長(zhǎng)8C至I]G,使CG=EF,連接FG,則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE

=FG,貝!JAF+CE=AF+PG,可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AF+CE的值最小為AG,

利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)即可.

【解答】解：延長(zhǎng)BC到G,使CG=ER連接FG,

四邊形EFGC是平行四邊形,

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AF+CE的值最小為AG,

由勾股定理得，AG=JAB?+BG2=個(gè)+（4+4）2=I。,

C.AF+CE的最小值為10,

故答案為：10.

8.（2023?賀州）如圖，在矩形中，AB=8,BC=6,E,尸分別是A。，42的中點(diǎn)，

ZADC的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)、P是線(xiàn)段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值

【分析】如圖，在DC上截取使得DT=DE,連接FT,過(guò)點(diǎn)T作THLAB于點(diǎn)H.利

用勾股定理求出FT=437,EF=5,證明PE+PF=PF+PT》FT,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，在。C上截取。T,使得DT=DE,連接FT,過(guò)點(diǎn)T作TT/LAB于點(diǎn)

H.

:四邊形ABC。是矩形，

AZA^ZADT=90°,

VZAHT=9Q°,

四邊形AHTD是矩形，

'：AE=DE=^AD=3.AF=FB=^AB=4,

22

：.AH=DT=3,HF^AF-AH=4-3=1,HT=AD=6,

FT=VFH2+TH2=Vl2+62=，

平分NADC,DE=DT,

:.E、T關(guān)于￡>G對(duì)稱(chēng)，

：.PE=PT,

：.PE+PF=PF+PT^FT=V37，

,?"￡F=VAE2+AF2=VS2+42=5'

:AEFP的周長(zhǎng)的最小值為5+V37.

故答案為：5+V37.

9.（2023?婁底）菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,NABC=45°,點(diǎn)P、Q分別是2C、2D上的動(dòng)點(diǎn),

CQ+PQ的最小值為.

【分析】連接A。，作AF/LBC于H，利用SAS證明△AB。也△CBQ,得AQ=C。，當(dāng)點(diǎn)

A、。、P共線(xiàn)，4。+尸。的最小值為A”的長(zhǎng)，再求出A”的長(zhǎng)即可.

【解答】解：連接A。，作AH,2c于

：.AB=CB,ZABQ=ZCBQ,

：.AABQ^/\CBQ(SAS),

：.AQ^CQ,

當(dāng)點(diǎn)A、。、P共線(xiàn)，AQ+PQ的最小值為AH的長(zhǎng)，

'：AB=2,ZABC=45°,

：.AH=yf2>

：.CQ+PQ的最小值為加，

故答案為：V2.

10.（2023?眉山）如圖，點(diǎn)尸為矩形A8CZ）的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連

接PE,PB,若A8=4,BC=4A/3,則PE+P8的最小值為.

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',交AC于點(diǎn)F,連接B'E交AC于點(diǎn)P,則PE+PB

的最小值為夕E的長(zhǎng)度；然后求出B'8和BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理

即可求出答案.

【解答】解：如圖，作點(diǎn)2關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)9，交AC于點(diǎn)「連接2,E交AC于點(diǎn)

P,則PE+PB的最小值為8'E的長(zhǎng)度，

?.?四邊形ABCD為矩形，

：.AB=CD=4,ZABC=90°,

在RtzXABC中，AB=4,BC=4百，

；.tan/ACB=^=近，

BC3

AZACB=30°,

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，B'B=2BF,B'B±AC,

：.BF=^BC=243,NCBF=6。。,

：.B'B=2BF=4如,

,:BE=BF,ZCBF^6Q°,

.?.△BE尸是等邊三角形，

；.BE=BF=B'F,

...△BE8是直角三角形，

22=22=6;

.?㈤￡=VB/B-BEV(4V3)-(2V3)

J.PE+PB的最小值為6,

故答案為：6.

11.(2023?濱州)如圖，在矩形ABC。中，AB=5,40=10.若點(diǎn)E是邊A。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)E作EFLAC且分別交對(duì)角線(xiàn)AC、直線(xiàn)BC于點(diǎn)。、F,則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，

AF+FE+EC的最4、值為.

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)利用相似三角形的性質(zhì)求出EH,EF,設(shè)

=x,則D￡=10-尤-9=至-無(wú)，因?yàn)檠?是定值，所以AF+CE的值最小時(shí)，AF+EF+CE

22

的值最小，SAF+CE=y]s2+x2-X)2+52＞可知欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于

在x軸上找一點(diǎn)P(x,0),使得尸到A(0,5),8(」立，5)的距離和最小，如圖1中，

2

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接54'交x軸于點(diǎn)尸，連接AP,此時(shí)朋+P8的值最

小，最小值為線(xiàn)段A'8的長(zhǎng)，由此即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)

:四邊形ABC。是矩形，

AZB=ZBAD=ZBHE=90°,

四邊形A8HE是矩形，

：.EH=AB=5,

VBC=AD=10,

\AC=ylA』2+BC2=452+102=5疾,

'：EF±AC,

：.ZCOF^90°,

AZEFH+ZACB=90°,

'：ZBAC+ZACB^9Q0,

：.ZEFH=ZBAC,

:.△EHFsbCBA,

?EH=FH=EF

"CBABAC，

-5_FH_EF

"1055A/5(

:.FH=>,

22

1S.BF=x,貝ijOE=10-x-$=K-JC,

22

是定值，

：.AF+CE的值最小時(shí)，AF+EF+CE的值最小，

VAF+CE=752+X2+^(^,X)2+52)

欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)尸(x,0),使得P到4(0,5),8(生,

2

5)的距離和最小，如圖1中，

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接BA'交尤z軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)B4+PB的值最

小，最小值為線(xiàn)段A'2的長(zhǎng)，

VA,(0,-5),B(45),

2

?1?A，B=J1O2+吟)2=學(xué)

C.AF+CE的最小值為空，

2

：.AF+EF+CE的最〃、值為空+_^_.

22

解法二：過(guò)點(diǎn)C作CC'//EF,使得CC'=EF,連接C'F.

C

'：EF=CC',EF//CC',

...四邊形KBC'C是平行四邊形,

：.EC=FC',

"：EF.LAC,

：.AC±CC',

AZACC=90°,

=岳232=J(5遙產(chǎn)+鳥(niǎo)藥喑

：.AF+EC=AF+FC'》AC'=—,

2

：.AF+EF+CE的最小值為空+包區(qū).

22

故答案為：空+且巨

22

12.（2023?自貢）如圖，矩形A8CD中，AB=4,BC=2,G是A。的中點(diǎn)，線(xiàn)段EF在邊

A8上左右滑動(dòng)，若EF=1,貝UGE+CF的最小值為.

【分析】解法一：利用已知可以得出GC,EF長(zhǎng)度不變，求出GE+C尸最小時(shí)即可得出

四邊形CGE尸周長(zhǎng)的最小值，利用軸對(duì)稱(chēng)得出E,尸位置，即可求出.

2222

解法二：設(shè)AE=x,則BF=3-x,根據(jù)勾股定理可得:EG+CF=y]x+l+A/（3-X）+2，

由勾股定理構(gòu)建另一矩形EFGH,根據(jù)線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得結(jié)論.

【解答】解：解法一：如圖，作G關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,在CD上截取CW=1,然后連

接8G交A3于E,在E2上截取所=1,此時(shí)GE+C廠的值最小，

"：CH=EF=\,CH//EF,

...四邊形EFCH是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

'：AB=4,BC=AD=2,G為邊AO的中點(diǎn)，

...￡>G'=A￡)+AG'=2+1=3,￡)8=4-1=3,

22=3>

由勾股定理得：HG'=^3+3V2

即GE+CF的最小值為3祀.

解法二：?.?AG=』AD=I,

2

設(shè)AE^x,則BF=AB-EF-AE=4-x-1=3-尤，

22

由勾股定理得：EG+CF^^/x2+12(3-X)+2;

如圖，矩形EFG”中，EH=3,GH=2,GQ=1,

22+22

：.EP+PQ=y]（3-X）+27X+1'

當(dāng)E,P,。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，EP+PQ最小，最小值是3&,

即EG+CF的最小值是372-

故答案為：3M.

13.（2023?泰州）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一

邊作正方形。EFG.設(shè)。￡=力，點(diǎn)尸、G與點(diǎn)C的距離分別為心、曲，則力+必+力的最

小值為（）

A.72B.2C.242D.4

【分析】連接AE,那么，AE=CG,所以這三個(gè)1的和就是AE+EF+FC,所以大于等于

AC,故當(dāng)AEFC四點(diǎn)共線(xiàn)有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接AE,

?.?四邊形。EFG是正方形，

NE￡）G=90°,EF=DE=DG,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD^CD,ZADC^90°,

ZADE=ZCDG,

：.AADE^/\CDG（SAS）,

：.AE=CG,

I.di+d2+d3=E尸+C/+AE,

...點(diǎn)A,E,F,C在同一條線(xiàn)上時(shí)，EF+CF+AE</h,即力+“2+為最小，

連接AC,

:.di+d2+d3最小值為AC,

在RtZXABC中，AC=?AB=2近,

.,.力+必+43最小=AC=2*\/5，

故選：C.

14.（2023?安徽）己知點(diǎn)0是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)尸在△48C外，AABC,

△B4B,APBC,△PCA的面積分別記為So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,則線(xiàn)段0P

長(zhǎng)的最小值是（）

76773

22

【分析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在的左側(cè)，證明△外2的面積是定值，過(guò)點(diǎn)尸作A8的

平行線(xiàn)PM,連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R,交PM于點(diǎn)T.因?yàn)椤魈?的面積是定值，

推出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)求出0T的值，可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)尸在的左側(cè)，M,

fA

SAPAB+S/\ABC=SAPBC+SAMC,/

Sl+So=S2+S3,

*/SI+S2+S3=2SO,

Si+5i+So=2,

Si=—So,

2

???△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,

.?.So=返X62=9我,

=973

過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)PM,連接CO延長(zhǎng)CO交48于點(diǎn)R,交于點(diǎn)T.

..?△以8的面積是定值，

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)PM,

:。是△A3C的中心，

ACTLAB,CTLPM,

：.LAB.RT=^^,CR=3我，O7?=Vs，

22

2

OT=OR+TR=^^~,

2

?：OP、OT,

OP的最小值為顯巨，

當(dāng)點(diǎn)P在②區(qū)域時(shí)，同法可得OP的最小值為工返,

2

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在①③⑤區(qū)域時(shí)，0P的最小值為顯巨，當(dāng)點(diǎn)P在②④⑥區(qū)域時(shí)，最小值

為苧

.?.-5--M--一---電---

22

考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑

知識(shí)回顧

3.解題思路：

通過(guò)確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。

4.確定圓心的方法：

方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)確定圓心。通常存在線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)。

方法②：直徑所對(duì)的圓周角等于90。。找90°的角所對(duì)直線(xiàn)的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩

個(gè)角相等。

微專(zhuān)題

k___________________/

15.（2023?泰安）如圖，四邊形A8C。為矩形，AB=3,8c=4,點(diǎn)P是線(xiàn)段8C上一動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)M為線(xiàn)段A尸上一點(diǎn)，ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

512f—3rrr

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【分析】如圖，取AQ的中點(diǎn)。，連接08,OM.證明/AAW=90°,推出OM=』AQ

2

=2,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，2為半徑的。。.利用勾股定理求出。8,可得結(jié)

論.

【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)。，連接。2,OM.

???四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD^90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^9Q°,

??ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM^9G°,

AZAMD=90°,

：A0=0r)=2,

：.OM=^AD=2,

2

.?.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，2為半徑的O。.

■：°B=VAB2+AO2=VS2+22=(^13，

C.BM^OB-OM=y[}2-2,

的最小值為-2.

故選：D.

16.(2023?黃石)如圖，等邊AABC中，AB=10,點(diǎn)E為高A。上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作

等邊ABEF,連接。RCF,則NBCE=,F2+陽(yáng)的最小值為.

【分析】首先證明△BAE也△■BCP(SAS),推出/氏4石=/2。尸=30°,作點(diǎn)。關(guān)于CP

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接CG,DG,BG,BG交CF于點(diǎn)、F',連接。戶(hù)，此時(shí)3戶(hù)+