歷年高考數學真題精編

17二項式定理

一、單選題

1.(2006?山東)已知［尤2-；］的展開式中第三項與第五項的系數之比為-之，其中f=一1，

則展開式中常數項是()

A.-45iB.45iC.-45D.45

4432

2.（2022?北京）若（2x-1）=a4x+a3x+a2x+axx+a0,貝|%%:=（）

A.40B.41C.-40D.-41

2

3.（2020?全國）(x+乙)(x+y)5的展開式中濘y3的系數為()

X

A.5B.10

C.15D.20

(1+1)(1+幻6展開式中一的系數為

4.（2017?全國）

A.15B.20

C.30D.35

5.（2017?全國）。+，(2%?1)5的展開式中工3尸的系數為

A.-80B.-40C.40D.80

在，2一的二項展開式中，第4項的二項式系數是(

6.（2020?山東））

A.56B.-56C.70D.-70

(/+x+y)5的展開式中，％5y2的系數為

7.（2015?全國）

A.10B.20

C.30D.60

8.（2013?全國）設m為正整數，(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y)2m+i展

開式的二項式系數的最大值為b,若13a=7b,則11!=

A.5B.6C.7D.8

9.（2015?湖北）已知（l+x）”的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項

式系數和為（）.

A.212B.211C.210D.29

10.（2015?湖南）己知［石-云）的展開式中含1的項的系數為30,則。等于（

A.73B.-如C.6D.-6

二、填空題

11.（2023?天津）在，三一）1的展開式中，/項的系數為.

12.（2007.四川）的展開式中的第5項為常數項，那么正整數〃的值是

13.（2022?全國）［-+的展開式中的系數為（用數字作答）.

14.（2022?浙江）已知多項式0+2）0-1）4=〃0+。1%+〃2工2+。3/+。4/+〃5/,貝U

15.（2020?全國）（d+2升的展開式中常數項是（用數字作答）.

X

16.（2021?天津）在（2d+：］的展開式中，工6的系數是.

17.（2020?天津）在1+蛾］的展開式中，d的系數是.

18.（2019?浙江）在二項式（0+x）9的展開式中，常數項是；系數為有理數的項的個

數是.

19.（2021.北京）在（丁一工）4的展開式中，常數項為.

X

20.（2014?全國）（x-y）（x+y）8的展開式中無2y7的系數為.（用數字填寫答案）

參考答案:

1.D

【分析】由二項式展開項通項公式結合第三項與第五項的系數之比列式可解出〃=10,即可

求出常數項.

k5k

【詳解】由二項式展開項通項公式可得第％+1項為1h=（：%2"心（_爐一=（-療2r，

故第三項與第五項的系數之比為

㈠)2c33

——n---〃一50九一50=0,解得〃=10

(TV14—1)(〃—2)(〃—3)14

4x3x2xl

（〃wN*）,

由2"q=。”=8得故常數項為勾=（-i『c：0=45.

故選：D

2.B

【分析】利用賦值法可求佝+%+。4的值.

【詳解】令％=1,則。4+。3+。2+4+。0=1,

令X——1f貝!]g—q+/一q+%=（—3）—81,

M1+81-

RA〃4++。0==41,

故選：B.

3.C

【分析】求得（X+a展開式的通項公式為（reN且"5）,即可求得“+[]

與展開式的乘積為C"6-y或C"~y+2形式，對r分別賦值為3,1即可求得的

系數，問題得解.

【詳解】（x+療展開式的通項公式為小（居"且廠45）

所以（尤+二]的各項與（x+?展開式的通項的乘積可表示為：

22

xTr+l=xc^-y=G產y和匕大=上6一了=c，-y+2

XX

在工4+1=。梟6-？，中，令廠=3,可得：尤心=以尤3y3,該項中W的系數為I。，

22

在匕7；M=C#jy+2中，令r=i,可得：^=C^y\該項中三丁的系數為5

XX

所以x3;/的系數為10+5=15

故選：C

【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及

分析能力，屬于中檔題.

4.C

【分析】化簡已知代數式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中無2的系數.

【詳解】因為（1+4（1+尤）6=（1+無）6+《X（l+X）6,則（1+4展開式中含/的項為

XX

C^2=15X2；4X（1+以展開式中含/的項為2xC%4=15/,故/的系數為15+15=30,

XX

故選：C.

5.C

【詳解】（x+y）（2i-,丫=兀（2%-y）5+y（2%-y）s,

由（2x-y）5展開式的通項公式&]=G（2x）*（_y）"可得:

當r=3時，x（2x-y）5展開式中x3j3的系數為C^x22x（-1）3=-40；

當r=2時，y（2尤-才展開式中x3y3的系數為C；X23X（T）2=80,

貝1）丁〉3的系數為80—40=40.

故選C.

【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：

第一步根據所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注

意二項式系數中〃和廠的隱含條件，即〃，廠均為非負整數，且佗廠，如常數項指

數為零、有理項指數為整數等）；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項.

（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解.

6.A

【分析】本題可通過二項式系數的定義得出結果.

父x7x6

【詳解】第4項的二項式系數為或=三—=56,

3x2

故選：A.

7.C

【詳解】在(d+x+y)5的5個因式中，2個取因式中/剩余的3個因式中1個取X,其余因

式取y,故丁產的系數為c；C；C；=30,故選C.

考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數.

【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數，試題形式新穎，是中檔題,

求多項展開式式某■項的系數問題，先分析該項的構成，結合所給多項式，分析如何得到該

項，再利用排列組知識求解.

8.B

【詳解】試題分析：由題意可知=:向=b,13a=76,，131=7g篇,即

]3(2”。！7(2/?+1)1

ml-ml+!

9m+1

「.13=7——「，解得m=6.故B正確.

考點：1二項式系數；2組合數的運算.

9.D

【詳解】因為(1+%)〃的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以(7：=(/,解得

〃=10,

所以二項式(1+無產中奇數項的二項式系數和為」：-=>.

考點：二項式系數，二項式系數和.

10.D

[詳解]&]=，令r=l，

可得-5a=30解得〃=-6.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，屬于容易題.

11.60

【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式%=(-1)，26「隈。*98*,令

18-4左=2確定上的值，然后計算/項的系數即可.

【詳解】展開式的通項公式小=建(2/廣［一口=(一琰X26YXC：X/"

令18—4左=2可得，k=4,

則Y項的系數為(-I)，x26TxC：=4x15=60.

故答案為：60.

12.8

【分析】

根據二項式展開式的通項公式可得第5項為4M=(-D'C'z,結合題意即可求解.

【詳解】由題意知，展開式的通項公式為

X

T=cxn-r(--y=(-iycx^2r,

r+lnXn

所以第5項為4=(-Dy/、

由第5項為常數項，得〃-8=0,解得〃=8.

故答案為：8.

13.-28

【分析】11-1,+舊8可化為"+')8-!"+丁)8,結合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為y)8=(x+y)8-?(x+y)8,

所以“-(x+A'的展開式中含的項為CM、'_Zc^3/=-28x2/,

(l-￡|(x+M的展開式中小的系數為一28

故答案為：-28

14.8-2

【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令1=0求出〃°,再令x=l

即可得出答案.

【詳解】含爐的項為:%.C^.x.(-1)3+2.Ctx2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故%=8；

令％=0,即2=%,

令光=1,艮fl。=%+4+/+。3+。4+。5，

%+%+/+。4+05=-2,

故答案為：8；—2.

15.240

【分析】寫出］二項式展開通項，即可求得常數項.

【詳解】p+jj

其二項式展開通項：

=￡"2-2，(2)'.尤一，

=q(2)r-x12-3r

當12-3廠=。，解得，=4

卜+1J的展開式中常數項是：C：-24=C<16=15x16=240.

故答案為：240.

【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關鍵是掌握

(。+》)"的展開通項公式考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.

16.160

【分析】求出二項式的展開式通項，令X的指數為6即可求出.

【詳解】,+1J的展開式的通項為J=C；(2x3p-QJ=2.產』，

令18—4廠=6,解得廠=3,

所以尤$的系數是23^=160.

故答案為：160.

17.10

【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令工的指數為2,即可求出.

【詳解】因為卜+機;的展開式的通項公式為

4M=C05-(1)=C；-2r-xMr(r=0,l,2,3,4,5),令5—3r=2,解得r=l.

所以/的系數為C；x2=10.

故答案為：10.

【點睛