一元函數的導數及其應用小結年級：高二（下）學科：數學（人教A版）新課引入

為了描述現實世界中的運動、變化現象，在數學中引入了函數.刻畫靜態現象的數與刻畫動態現象的函數都是數學中非常重要的概念.在對函數的深入研究中，數學家創立了微積分，導數是微積分的重要內容之一，是現代數學的基本概念，蘊含著微積分的基本思想.導數導數的概念及其意義導數的運算導數在研究函數中的應用導數的概念導數的幾何意義基本初等函數的導數公式導數的四則運算法則簡單復合函數的導數函數的單調性函數的極值與最大（小）值平均速度瞬時速度割線斜率切線斜率抽象本章知識結構問題1

平均變化率與瞬時變化率之間有什么內在聯系？平均速度瞬時速度極限

無限趨近于0

無限趨近于問題1

平均變化率與瞬時變化率之間有什么內在聯系？極限yxOP0PyxOP0割線斜率

無限趨近于0切線斜率問題1

平均變化率與瞬時變化率之間有什么內在聯系？平均變化率瞬時變化率極限平均速度瞬時速度割線斜率切線斜率物理學幾何學追問

有人說，“導數就是瞬時變化率”，你有什么認識？

即：

導數就是瞬時變化率導函數當

，平均變化率

并把這個確定的值叫做

在

處的導數，記作

或

，

對于函數

，

無限趨近于一個確定的值，即

有極限

，則稱

在

處可導，追問

你能從物理和幾何兩方面解釋導數的意義嗎？物理方面：表示瞬間的變化率，如瞬時速度、瞬時加速度幾何方面：表示曲線在某點處的切線斜率問題2

利用定義推導函數

的導數時，其基本步驟是什么呢？第一步，計算

，并化簡；第二步，觀察當

時，

的極限，求

；

第三步，得到.基本初等函數的導數函

數導

數

（c是常數）

特別地，特別地，如：導數的四則運算法則簡單復合函數的導數公式問題3

利用導數可以研究函數的哪些性質？其基本步驟是什么？用導數研究函數的性質函數的單調性觀察圖象

在某個區間

上，如果，那么

函數

在區間

上單調遞增;

在某個區間

上，如果，那么

函數

在區間

上單調遞減;概括定義1.求出函數的定義域；

2.

求導函數及函數

的零點；3.用

的零點將

的定義域劃分成若干個區間，分析

在各區間上的正負，得出

的單調性.總結判斷函數單調性的一般步驟

追問

函數在上單調遞增，其導數值一定為正嗎？如：在上單調遞增，用導數研究函數的性質函數的單調性函數的極值觀察圖象概括定義

對于函數

在

處，.

在點

附近的左側

，右側

，則把

叫做函數的極大值點，

叫函數的極大值;

在點

附近的左側

，右側

，則把

叫做函數的極小值點，

叫函數的極小值;總結求函數極值的一般步驟1.求出函數的定義域；

2.

求導函數及函數

的零點；3.分析零點附近

的正負，

如果“左正右負”，則該零點為極大值點，如果“左負右正”，則該零點為極小值點;4.求出極值.問題3利用導數可以研究函數的哪些性質？其基本步驟是什么？追問

導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？0不是極值點.如：用導數研究函數的性質函數的單調性函數的極值觀察圖象函數的最值1.求出函數的定義域；

2.

求導函數及函數

的零點；3.分析零點附近

的正負，

如果“左正右負”，則該零點為極大值點，如果“左負右正”，則該零點為極小值點;4.求出極值.5.將函數的各極值與端點處的函數值比較，進而得出最值.總結求函數最值的一般步驟問題3利用導數可以研究函數的哪些性質？其基本步驟是什么？

追問：我們利用這些性質還研究了哪些問題呢？轉化為：轉化為：的圖象與

軸的交點個數.轉化為：或

函數零點問題

判斷

的零點個數.

如：證明不等式問題證明：

，

如：恒成恒成立、存在性問題如：立，求

的取值范圍.實際問題利潤最大、用料最省如：轉化為：“利潤”函數的最大值、“用料”函數的最小值問題4

本章主要應用了哪些數學思想方法呢？極限思想數形結合思想分類與整合思想化歸與轉化思想數學思想方法課后作業

1.

總結梳理本章的主要題型和方法．

2.已知函數.（1）求曲線