第1頁（共1頁）2024年甘肅省蘭州市安寧區東方學校中考數學模擬試卷（一）一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）《國家寶藏》節目立足于中華文化寶庫資源．通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）計算（a2b）3?的結果是（）A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b63．（3分）不等式組的解集在數軸上可以表示為（）A． B． C． D．4．（3分）因式分解4b2﹣4ab+a2正確的是（）A．4b（b﹣a）+a2 B．（2b﹣a）2 C．（2b﹣a）（2b﹣a） D．（2b+a）25．（3分）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1＝30°，∠2＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°6．（3分）如圖的數軸上，點A，C對應的實數分別為1，3，且AB長為1個單位長度，若以點C為圓心，則點P表示的實數為（）A． B． C． D．7．（3分）若一次函數y＝（k﹣1）x﹣2的函數值y隨x的增大而減小，則k值可能是（）A．1 B．2 C．1.5 D．08．（3分）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛（）A． B． C． D．9．（3分）已知二次函數y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤410．（3分）五一期間，某地相關部門對觀光游客的出行方式進行了隨機抽樣調查，整理后繪制了兩幅統計圖（尚不完整），下列結論錯誤的是（）A．本次抽樣調查的樣本容量是5000 B．扇形統計圖中的m為10% C．扇形統計圖中“自駕”所對應的扇形的圓心角是120° D．樣本中選擇公共交通出行的有2500人11．（3分）如圖，將正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉得到正方形AEFG，點B的對應點E落在正方形ABCD的對角線AC上，則的長為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AD的中點，F為BE的中點，DF⊥BE，則DF的長為（）A．1 B． C．2 D．2.5二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13．（3分）函數y＝的自變量x的取值范圍是．14．（3分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本）．15．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，則△DEF的周長是．16．（3分）已知正方形ABCD的邊長為4，若G為AB的中點，連接DG交正方形的對角線AC于點E，FB⊥BE，則AF的長是．三、解答題：本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（4分）計算：．18．（4分）解方程：﹣1＝．19．（4分）先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝320．（5分）請閱讀下列材料，完成相應的任務：有這樣一個題目：設有兩只電阻，分別為R1和R2，問并聯后的電阻值R是多少？我們可以利用公式，求得R的值，也可以設計一種圖形直接得出結果如圖①，在直線l上任取兩點A、B，分別過點A、B作直線l的垂線1，BD＝R2，且點C，D位于直線l的同側，連接AD、BC，過點E作EF⊥直線1，則線段EF的長度就是并聯后的電阻值R．證明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依據1），∴（依據2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任務：（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：；依據2：；（2）如圖②，兩個電阻并聯在同一電路中，已知R1＝3千歐，R2＝6千歐，總阻值R＝千歐；（3）請仿照①的作圖過程在圖③中（1個單位長度代表1千歐，例：AB＝CD＝9千歐）畫出（2）中表示該電路圖中總阻值R的線段長（保留作圖痕跡，不寫作法）21．（5分）綜合與實踐【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們開展“利用樹葉的特征對樹木進行分類”的實踐活動．【實踐發現】同學們隨機收集芒果樹、荔枝樹的樹葉各10片，通過測量得到這些樹葉的長y（單位：cm），寬x（單位：cm），分別計算長寬比，整理數據如下：12345678910芒果樹葉的長寬比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0荔枝樹葉的長寬比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【實踐探究】分析數據如下：平均數中位數眾數方差芒果樹葉的長寬比3.74m4.00.0424荔枝樹葉的長寬比1.912.0n0.0669【問題解決】（1）上述表格中：m＝，n＝；（2）①A同學說：“從樹葉的長寬比的方差來看，我認為芒果樹葉的形狀差別大．”②B同學說：“從樹葉的長寬比的平均數、中位數和眾數來看，我發現荔枝樹葉的長約為寬的兩倍．”上面兩位同學的說法中，合理的是（填序號）；（3）現有一片長11cm，寬5.6cm的樹葉，請判斷這片樹葉更可能來自于芒果、荔枝中的哪種樹？并給出你的理由．22．（7分）在平面直角坐標系中，已知k1k2≠0，設函數與函數y2＝k2（x﹣2）+3的圖象交于點A，B．已知點A的橫坐標是2，點B的縱坐標是﹣1．（1）求k1，k2的值．（2）連接OA并延長至點P，使得OA＝AP，過點P作x軸的垂線，交y1的圖象于點D，連接OD．設△OPD的面積為S1，△OCD的面積為S2，求的值．23．（6分）實驗是培養學生的創新能力的重要途徑之一．如圖是小紅同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的三分之一處．已知試管，BE＝AB（1）求酒精燈與鐵架臺的水平距離CD的長度；（2）實驗時，當導氣管緊貼水槽MN，延長BM交CN的延長線于點F（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，求線段DN的長度．（參考數據：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）24．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與BC交于點E，點F在邊AC的延長線上，且．（1）試說明FB是⊙O的切線；（2）過點C作CG⊥AF，垂足為C．若CF＝4，BG＝325．（7分）如圖，將?ABCD的邊AB延長到點E，使BE＝AB，交BC于點F．（1）求證：△BEF≌△CDF；（2）連接BD，CE，若∠BFD＝2∠A26．（6分）小明發現某乒乓球發球器有“直發式”與“間發式”兩種模式，在“直發式”模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線．如圖1和圖2分別建立平面直角坐標系xOy．通過測量得到球距離臺面高度y（單位：dm）與球距離發球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關數據表1直發式x（dm）02468101620…y（dm）3.843.9643.96m3.642.561.44…表2間發式x（dm）024681012141618…y（dm）3.36n1.680.8401.402.4033.203…根據以上信息，回答問題：（1）表格中m＝，n＝；（2）求“直發式”模式下，球第一次接觸臺面前的運動軌跡的解析式；（3）若“直發式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d1，“間發式”模式下球第二次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．27．（8分）旋轉是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．【探究發現】如圖①，在等邊三角形ABC內部有一點P，PA＝2，PC＝1，求∠BPC的度數，連結AP′、PP′，則△BPC≌△BP′A，就可以解決這道問題．下面是小明的部分解答過程：解：將線段BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BP′，連結AP′、PP′，∵BP＝BP′，∠P′BP＝60°，∴△PBP′是等邊三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB＝．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝BA，∴∠ABC﹣∠ABP＝∠P′BP﹣∠ABP，即∠PBC＝∠P′BA．（1）請你補全余下的解答過程．【類比遷移】（2）如圖②，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，PC＝1，求∠BPC的度數．【拓展延伸】（3）如圖③，在②的條件下，若正方形ABCD的邊長為2.28．（9分）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于直線l和線段PQ（P′，Q′分別為P，Q的對應點），則稱線段PQ是⊙O關于直線l的“對稱弦”．（1）如圖，點A1，A2，A3，B1，B2，B3的橫、縱坐標都是整數．線段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O關于直線y＝x+1的“對稱弦”的是；（2）CD是⊙O關于直線y＝kx（k≠0）的“對稱弦”，若點C的坐標為（﹣1，0），求點D的坐標；（3）已知直線y＝﹣x+b和點M（3，2），若線段MN是⊙O關于直線y＝﹣，且MN＝1，直接寫出b的值．

2024年甘肅省蘭州市安寧區東方學校中考數學模擬試卷（一）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）《國家寶藏》節目立足于中華文化寶庫資源．通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形；B、是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、不是軸對稱圖形；故選：B．2．（3分）計算（a2b）3?的結果是（）A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6【解答】解：原式＝a6b3?＝a5b5，故選：A．3．（3分）不等式組的解集在數軸上可以表示為（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式得：1≤x＜3，即表示4與3之間的數且包含3故選：B．4．（3分）因式分解4b2﹣4ab+a2正確的是（）A．4b（b﹣a）+a2 B．（2b﹣a）2 C．（2b﹣a）（2b﹣a） D．（2b+a）2【解答】解：4b2﹣2ab+a2＝（2b﹣a）7．故選：B．5．（3分）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1＝30°，∠2＝50°（）A．130° B．140° C．150° D．160°【解答】解：如圖所示，過∠2頂點作直線l∥支撐平臺，∵工作籃底部與支撐平臺平行、直線l∥支撐平臺，∴直線l∥支撐平臺∥工作籃底部，∴∠1＝∠8＝30°、∠5+∠3＝180°，∵∠3+∠5＝∠2＝50°，∴∠2＝50°﹣∠4＝20°，∴∠3＝180°﹣∠4＝160°，故選：D．6．（3分）如圖的數軸上，點A，C對應的實數分別為1，3，且AB長為1個單位長度，若以點C為圓心，則點P表示的實數為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得∠BAC＝90°，AB＝1，則CB＝＝，那么點P表示的實數為3﹣，故選：A．7．（3分）若一次函數y＝（k﹣1）x﹣2的函數值y隨x的增大而減小，則k值可能是（）A．1 B．2 C．1.5 D．0【解答】解：∵一次函數y＝（k﹣1）x﹣2的函數值y隨著x的增大而減小，∴k﹣6＜0，解得k＜1，所以k的值可以是4．故選：D．8．（3分）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得：，故選：B．9．（3分）已知二次函數y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4【解答】依題意得：k﹣3≠0，解得k≠8，Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×（k﹣4）×1≥0，解得k≤4，故選：B．10．（3分）五一期間，某地相關部門對觀光游客的出行方式進行了隨機抽樣調查，整理后繪制了兩幅統計圖（尚不完整），下列結論錯誤的是（）A．本次抽樣調查的樣本容量是5000 B．扇形統計圖中的m為10% C．扇形統計圖中“自駕”所對應的扇形的圓心角是120° D．樣本中選擇公共交通出行的有2500人【解答】解：A．本次抽樣調查的樣本容量是2000÷40%＝5000，不符合題意；B．扇形統計圖中的m為1﹣（50%+40%）＝10%，不符合題意；C．扇形統計圖中自家對應的圓心角為：360°×40%＝144°，故不符合題意；D．樣本中選擇公共交通出行的約有5000×50%＝2500（人），不符合題意；故選：C．11．（3分）如圖，將正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉得到正方形AEFG，點B的對應點E落在正方形ABCD的對角線AC上，則的長為（）A． B． C． D．【解答】解：∵正方形AEFG，∴AE＝FE，∠E＝90°，∴∠FAE＝45°，∵AD＝1，正方形AEFG是由正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉所得，∴AE＝FE＝1，∴，∴的長＝，故選：B．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AD的中點，F為BE的中點，DF⊥BE，則DF的長為（）A．1 B． C．2 D．2.5【解答】解：連接CE，∵AD是BC邊上的中線，F點為BE的中點，∴DF為△BCE的中位線，∴CE＝2DF，DF∥CE，∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，∵DF⊥BE，∴∠DFE＝∠DFB＝90°，在△DEF和△DBF中，，∴△DEF≌△DBF（SAS），∴∠EDF＝∠BDF，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝ED，∵E為AD的中點，∠ACB＝90°，∴CE＝ED＝CD＝AD，∴AD＝4DF，∵AC＝，∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，解得AD＝3，∴DF＝2．故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13．（3分）函數y＝的自變量x的取值范圍是x≥1．【解答】解：依題意，得x﹣1≥0，解得x≥4．14．（3分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本）．【解答】解：把《論語》《孟子》《大學》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結果有2種、CA，∴抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是＝，故答案為：．15．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，則△DEF的周長是12．【解答】解：∵OC：CF＝1：2，∴OC：OF＝2：3，∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△BOC∽△EOF，∴＝＝，∴△ABC的周長：△DEF的周長＝1：3，∵△ABC的周長為4，∴△DEF的周長為：4×3＝12，故答案為：12．16．（3分）已知正方形ABCD的邊長為4，若G為AB的中點，連接DG交正方形的對角線AC于點E，FB⊥BE，則AF的長是．【解答】解：過點F作FH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．∠ABE＝∠ADE，又∵∠ABE+∠EBC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EBC＝∠EDC．又∵∠ABE+∠FBG＝90°，∴∠FBG＝∠EBC．∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC．∴∠FBG＝∠FGB．∴BF＝FG，∵FH⊥AB，∴GH＝BH，∵AB＝4，G是AB的中點，∴AG＝GB＝2，∴GH＝BH＝5，∴AH＝3，∵∠FHG＝∠DAG＝90°，∠FGH＝∠DGA，∴△FHG∽△DAG∴，即，∴FH＝2．∴AF＝＝＝，故答案為：．三、解答題：本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（4分）計算：．【解答】解：＝＝＝．18．（4分）解方程：﹣1＝．【解答】解：方程去分母得：3y﹣3（y﹣5）＝2y，解得：y＝，檢驗：當y＝時，8y﹣3≠0，故原方程的解為y＝．19．（4分）先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3【解答】解：解法一：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，＝（x﹣y）[（x﹣y）+（x+y）]÷2x，＝（2x2﹣5xy）÷2x，＝x﹣y，當x＝3，y＝﹣6.5時；解法二：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷6x，＝[（x2﹣2xy+y4）+（x2﹣y2）]÷7x，＝（2x2﹣4xy）÷2x，＝x﹣y，當x＝3，y＝﹣5.5時．20．（5分）請閱讀下列材料，完成相應的任務：有這樣一個題目：設有兩只電阻，分別為R1和R2，問并聯后的電阻值R是多少？我們可以利用公式，求得R的值，也可以設計一種圖形直接得出結果如圖①，在直線l上任取兩點A、B，分別過點A、B作直線l的垂線1，BD＝R2，且點C，D位于直線l的同側，連接AD、BC，過點E作EF⊥直線1，則線段EF的長度就是并聯后的電阻值R．證明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依據1），∴（依據2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任務：（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：兩組角對應相等的兩個三角形相似；依據2：相似三角形的對應邊成比例；（2）如圖②，兩個電阻并聯在同一電路中，已知R1＝3千歐，R2＝6千歐，總阻值R＝2千歐；（3）請仿照①的作圖過程在圖③中（1個單位長度代表1千歐，例：AB＝CD＝9千歐）畫出（2）中表示該電路圖中總阻值R的線段長（保留作圖痕跡，不寫作法）【解答】解：（1）證明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（兩組角對應相等的兩個三角形相似），∴（相似三角形的對應邊成比例）．故答案為：兩組角對應相等的兩個三角形相似，相似三角形的對應邊成比例；（2）∵＝+，R5＝3千歐，R2＝3千歐，∴R＝2（千歐），故答案為：2；（3）如圖，線段EF表示R的長．在AB上取點M，使BM＝4，連接CM，過點E作EF⊥BC于點F，則線段EF為所求線段．21．（5分）綜合與實踐【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們開展“利用樹葉的特征對樹木進行分類”的實踐活動．【實踐發現】同學們隨機收集芒果樹、荔枝樹的樹葉各10片，通過測量得到這些樹葉的長y（單位：cm），寬x（單位：cm），分別計算長寬比，整理數據如下：12345678910芒果樹葉的長寬比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0荔枝樹葉的長寬比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【實踐探究】分析數據如下：平均數中位數眾數方差芒果樹葉的長寬比3.74m4.00.0424荔枝樹葉的長寬比1.912.0n0.0669【問題解決】（1）上述表格中：m＝3.75，n＝2.0；（2）①A同學說：“從樹葉的長寬比的方差來看，我認為芒果樹葉的形狀差別大．”②B同學說：“從樹葉的長寬比的平均數、中位數和眾數來看，我發現荔枝樹葉的長約為寬的兩倍．”上面兩位同學的說法中，合理的是②（填序號）；（3）現有一片長11cm，寬5.6cm的樹葉，請判斷這片樹葉更可能來自于芒果、荔枝中的哪種樹？并給出你的理由．【解答】解：（1）把10片芒果樹葉的長寬比從小到大排列，排在中間的兩個數分別為3.7，故m＝；10片荔枝樹葉的長寬比中出現次數最多的是2.7，故n＝2.0；故答案為：2.75；2.0；（2）∵2.0424＜0.0669，∴芒果樹葉的形狀差別小，故A同學說法不合理；∵荔枝樹葉的長寬比的平均數1.91，中位數是4.95，∴B同學說法合理．故答案為：②；（3）∵11÷5.6≈3.96，∴這片樹葉更可能是荔枝樹葉．22．（7分）在平面直角坐標系中，已知k1k2≠0，設函數與函數y2＝k2（x﹣2）+3的圖象交于點A，B．已知點A的橫坐標是2，點B的縱坐標是﹣1．（1）求k1，k2的值．（2）連接OA并延長至點P，使得OA＝AP，過點P作x軸的垂線，交y1的圖象于點D，連接OD．設△OPD的面積為S1，△OCD的面積為S2，求的值．【解答】解：（1）∵點A的橫坐標是2，∴將x＝2代入y8＝k2（x﹣2）+4＝3，∴A（2，2），∴將A（2，3）代入1＝2，∴y1＝，∵點B的縱坐標是﹣2，∴將y＝﹣1代入得，x＝﹣6，∴B（﹣8，﹣1）．∴將B（﹣6，﹣2）代入y2＝k2（x﹣7）+3得：﹣1＝k7（﹣6﹣2）+3，解得：k2＝．（2）作AE⊥x軸于E，則S△AOE＝k8，∵過點P作x軸的垂線，交x軸于點C1的圖象于點D，∴S2＝，AE∥PC，∴△OAE∽△OPC，∴＝（）7＝4，∴S△OPC＝4S△OAE＝6k1，∴S1＝S△OPC﹣S8＝2k1﹣＝k1，∴＝＝3．23．（6分）實驗是培養學生的創新能力的重要途徑之一．如圖是小紅同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的三分之一處．已知試管，BE＝AB（1）求酒精燈與鐵架臺的水平距離CD的長度；（2）實驗時，當導氣管緊貼水槽MN，延長BM交CN的延長線于點F（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，求線段DN的長度．（參考數據：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【解答】解：（1）過點E作EG⊥AC于點G，∵AB＝30cm，BE＝，∴BE＝10cm，AE＝20cm，∵∠AEG＝α＝10°，∴GE＝AE?cosα＝20×cos10°≈19.5（cm），∴CD＝GE＝19.6cm，答：酒精燈與鐵架臺的水平距離CD的長度為19.6cm；（2）過點B作BH⊥CF于點H，BP⊥DE于點P，則BP＝BE?cosα＝10×cos10°≈4.8（cm），EP＝BE?sinα＝10×sin10°≈1.2（cm），∵DE＝21.7cm，∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣5.7＝20（cm），∴BH＝20cm，∵MN＝8cm，∴QH＝8cm，∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°，∴QM＝BQ＝12cm，∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.4+12＝21.8（cm），答：線段DN的長度為21.8cm．24．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與BC交于點E，點F在邊AC的延長線上，且．（1）試說明FB是⊙O的切線；（2）過點C作CG⊥AF，垂足為C．若CF＝4，BG＝3【解答】解：（1）連接AE，∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，，∴＝∠BAE，∴∠ABF＝∠CBF+∠ABE＝∠BAE+∠ABE＝90°，∴FB是⊙O的切線；（2）連接BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CG⊥AF，∴∠GCB＝90°﹣∠ACB＝90°﹣∠ABC＝∠GBC，∴GC＝GB＝3，∵CF＝3，∴FG＝5，∴FB＝5+4＝8，∵tanF＝，∴AB＝6，∴⊙O的半徑＝4．25．（7分）如圖，將?ABCD的邊AB延長到點E，使BE＝AB，交BC于點F．（1）求證：△BEF≌△CDF；（2）連接BD，CE，若∠BFD＝2∠A【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF與△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：四邊形BECD是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四邊形BECD是平行四邊形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四邊形BECD是矩形．26．（6分）小明發現某乒乓球發球器有“直發式”與“間發式”兩種模式，在“直發式”模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線．如圖1和圖2分別建立平面直角坐標系xOy．通過測量得到球距離臺面高度y（單位：dm）與球距離發球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關數據表1直發式x（dm）02468101620…y（dm）3.843.9643.96m3.642.561.44…表2間發式x（dm）024681012141618…y（dm）3.36n1.680.8401.402.4033.203…根據以上信息，回答問題：（1）表格中m＝3.84，n＝2.52；（2）求“直發式”模式下，球第一次接觸臺面前的運動軌跡的解析式；（3）若“直發式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d1，“間發式”模式下球第二次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d2，則d1＝d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】解：（1）由拋物線的對稱性及已知表1中的數據可知：m＝3.84；在“間發式“模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，設這條直線的解析式為y＝kx+b（k≠4），把（0、（8，得，解得：，∴這條直線的解析式為y＝﹣0.42x+5.36，當x＝2時，y＝﹣0.42×8+3.36＝2.52，表格3中，n＝2.52；故答案為：3.84，6.52；（2）由已知表1中的數據及拋物線的對稱性可知：“直發式“模式下，拋物線的頂點為（4，∴設此拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+4（a＜3），把（0，3.84）代入2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直發式“模式下，球第一次接觸臺面前的運動軌跡的解析式為y＝﹣8.01（x﹣4）2+5；（3）當y＝0時，0＝﹣2.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直發式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d6＝24；“間發式“模式下，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線，由已知表2中的數據及拋物線的對稱性可知：“間發式“模式下，這條拋物線的頂點坐標為（16，∴設這條拋物線的解析式為y＝m（x﹣16）2+2.2（m＜0），把（8，0）代入2+7.2，解得：m＝﹣0.05，∴這條拋物線的解析式為y＝﹣2.05（x﹣16）2+3.8，當y＝0時，0＝﹣2.05（x﹣16）2+3.7，解得：x1＝8，x6＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d3，故答案為：＝．27．（8分）旋轉是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．【探究發現】如圖①，在等邊三角形ABC內部有一點P，PA＝2，PC＝1，求∠BPC的度數，連結AP′、PP′，則△BPC≌△BP′A，就可以解決這道問題．下面是小明的部分解答過程：解：將線段BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BP′，連結AP′、PP′，∵BP＝BP′，∠P′BP＝60°，∴△PBP′是等邊三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB＝．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝BA，∴∠ABC﹣∠ABP＝∠P′BP﹣∠ABP，即∠PBC＝∠P′BA．（1）請你補全余下的解答過程．【類比遷移】（2）如圖②，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，PC＝1，求∠BPC的度數．【拓展延伸】（3）如圖③，在②的條件下，若正方形ABCD的邊長為2.【解答】解：（1）∴△ABP′≌△C