考研數學（數學一）模擬試卷1（共9套）（共210題）考研數學（數學一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數y=f(x)在點x0的以下結論正確的是()A、若f’(x)=0，則f(x0)必是一極值B、若f"(x)=0，則點(x0，f(x0))必是曲線y=f(x)的拐點C、若極限存在(n為正整數)，則f(x)在x0點可導，且有D、若f(x)在x0處可微，則f(x)在x0的某鄰域內有界標準答案：D知識點解析：選項A不一定正確，反例：f(x)=x3，x=0時f’(0)=0，此點非極值點。選項B不一定正確，需加條件：f"(x)在x0點兩側異號。選項C所給的只是必要條件，即僅在子列上收斂，這是不夠的。同時n趨近于無窮一般專指正無窮，所以式中的只是趨近于0+的。選項D可微的函數必連續，從而函數在該點的某鄰域內必然有界。故選D。2、設函數f(x)在(一∞，+∞)上連續，則()A、函數∫0xt2[f(t)+f(一t)]dt必是奇函數B、函數∫0xt2[f(t)-f(一t)]dt必是奇函數C、函數∫0x[f(t)]3dt必是奇函數D、函數∫0xf(t3)dt必是奇函數標準答案：A知識點解析：令F(x)=x2[f(x)+f(一x)]，由題設知F(x)是(一∞，+∞)上的連續函數，且F(一x)=(一x)2[f(一x)+f(x)]=x2[f(x)+f(一x)]=F(x)，即F(x)是偶函數，于是對任意的x∈(一∞，+∞)，G(x)=ft2f(t)+f(一t)]dt=∫0xF(t)dt，滿足即G(x)是奇函數，故選項A正確。注意：也可舉例說明選項B，C，D都不正確。為此設f(x)=x，于是x2[f(x)一f(一x)]=x2[x一(一x)]=2x3，它們都是(一∞，+∞)上的偶函數，這表明選項B，C，D都不正確。故選A。3、設a為常數，則級數A、絕對收斂B、條件收斂C、發散D、斂散性與a的取值有關標準答案：C知識點解析：4、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()A、只有1條B、只有2條C、至少有3條D、不存在標準答案：B知識點解析：對應于t0處曲線切線的方向向量為τ={1，一2t0，3t02}，該切線(平面)與平面x+2y+z=4平行與該平面的法向量n={1，2，1}垂直因此只有兩條切線與平面平行。故選B。5、設A是5×4矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎解系，則A的列向量的極大線性無關組是()A、α1，α3B、α2，α4C、α2，α3D、α1，α2，α4標準答案：C知識點解析：由Aη1=0知α1+α2一2α3+α4=0。①由Aη2=0知α2+α4=0。②因為n—r(A)=2，所以r(A)=2，所以可排除選項D；由②知α2，α4線性相關，故應排除選項B；把②代入①得α1，一2α3=0，即α1，α3線性相關，排除選項A；如果α2，α3線性相關，則r(α1，α2，α3，α4)=r(2α3，α2，α3，一α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾，因此α2，α3線性無關。故選C。6、設那么(P-1)2008A(Q2009)-1=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：P，Q均為初等矩陣，因為P-1=P，且P左乘A相當于互換矩陣A的1，3兩行，那么P2008A表示把A的1，3兩行互換2008次，從而(P-1)22008A=P2008A=A。又(Q2009)-1=(Q-1)2009，且而Q-1右乘A相當于把矩陣A的第2列加至第1列，那么A(Q2009)-1=A(Q-1)2009表示把矩陣A的第2列的2009倍加至第1列。故選B。7、設A，B，C是三個隨機事件，P(ABC)=0，且0＜P(C)＜1，則一定有()A、P(ABC)=P(4)P(B)P(C)B、P[(A+B)|C]=P(A|C)+P(B|C)C、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)D、標準答案：B知識點解析：選項A：由于不知道P(A)或P(B)是否為零，因此選項A不一定成立。選項B：P[(A+B)C]=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一P(ABC)=P(AC)+P(BC)，可見選項B正確。選項C：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)，由于不能確定P(AB)，P(AC)，P(BC)的概率是否全為零，因此選項C不一定成立。8、設總體X服從正態分布N(0，σ2)，X1，X2，X3，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，S2分別是該樣本的均值和方差，若統計量F～F(1，n一1)，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標準答案：知識點解析：10、設f(u，υ)為二元可微函數，z=f(x2y，3yx)，則標準答案：2yx2y-1f’+3yxlnyf’2知識點解析：由多元復合函數求導法則，有11、若冪級數的收斂半徑為R，則級數的收斂半徑為________。標準答案：知識點解析：12、設Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，標準答案：知識點解析：13、已知α=(a，1，1)T是矩陣的逆矩陣的特征向量，那么a=________。標準答案：一1知識點解析：設α是矩陣A-1屬于特征值λ0的特征向量，由定義A-1α=λ0α，知α=λ0A.α，即14、從正態總體N(μ，σ2)中抽取一容量為16的樣本，S2為樣本方差，則________。標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標準答案：將第二個方程對t求導并注意y=y(t)得知識點解析：暫無解析16、將函數展開成x一2的冪級數，并求出其收斂域。標準答案：知識點解析：暫無解析17、設函數u(x，y)具有連續的一階導數，1為自點O(0，0)沿曲線γ=sinx至點A(π，0)的有向弧段，求下面曲線積分：∫l=(yu(x，y)+xyu’(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu’y(x，y)+ey2一x)dy。標準答案：知識點解析：暫無解析18、設f(u，υ)具有連續偏導數，且f’u(u，υ)+f’u(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標準答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2e-2xf(x，x)+e-2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]，在條件f’u(u，υ)+f’υ(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，即f’1(u，υ)+f’2(u，υ)：sin(u+υ)eu+υ中令u=x，υ=x得f’1(x，x)+f’2(x，x)=sin(2x)e2x，于是y(x)滿足一階線性微分y’(x)+2y(x)=sin2x。通解為y(x)=e-2x[∫sin2x．e2xdx+C]，知識點解析：暫無解析19、設f(x)和g(x)在區間(a，b)可導，并設在(a，b)內f(x)g’(x)一f’(x)≠0，證明在(a，b)內至多存在一點ξ，使得f(ξ)=0。標準答案：(反證法)：假設在(a，b)內存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，令φ(x)=f(x)e-g(x)，則φ’(x)=e-g(x)[f’(x)一f(x)g’(x)]。因為φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理知，至少存在一點ξ介于ξ1，ξ2之間，使φ’(ξ)=0，即e-g(ξ)[f’(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]=0，于是有f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)=0，這與題設矛盾，所以假設不成立。故在(a，b)內至多存在一點ξ，使得f(ξ)=0。知識點解析：暫無解析20、設A=(αij)m×n，y=(y1，y2，…，yn)T，b=(b1，b2，…，bm)T，x=(x1，x2，…，xn)T，證明方程組Ay=b有解的充分必要條件是方程組無解(其中0是n×1矩陣)。標準答案：必要性：設方程組Ay=b有解，則對滿足ATx=0的向量x0，bTx0=yTATx0=yT×0=0，知識點解析：暫無解析21、設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型A的一個特征值。(Ⅰ)試用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用正交變換；(Ⅱ)求f在條件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值點(x1，x2，x3)；(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩陣，求K的值。標準答案：得到矩陣A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=一2。對λ1=λ2=7，解齊次方程組(7E—A)x=0得基礎解系α1=(1，一2，0)T，α2=(1，0，一1)T。對λ=一2，解齊次方程組(一2E—A)x=0得基礎解系α3=(2，1，2)T。知識點解析：暫無解析22、設二維隨機變量(x，Y)在區域D上均勻分布，其中D={(x，y)}|x|+|y|≤1}。又設U=X+Y，V=X一Y，試求：(Ⅰ)U和V的概率密度fU(u)與fV(υ)；(Ⅱ)U和V的協方差Cov(U，V)和相關系數ρUV。標準答案：知識點解析：暫無解析23、設總體X的概率密度為其中θ＞0，μ，θ為未知參數，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本。(Ⅰ)試求μ，θ的最大似然估計量(Ⅱ)判斷是否為θ的無偏估計量，并證明。標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學（數學一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)為微分方程y’一xy=g(x)滿足y(0)=1的解，其中g(x)=∫0xsin[(x—t)2]dt，則有()A、在點x=0處f(x)取極大值B、在點x=0處f(x)取極小值C、點(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點D、點x=0不是f(x)的極值點，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：由題意知，y’(0)一0，y"=y+xy’+g’(x)，y"(0)=1+g’(0)，又g(x)∫0xsin(u2)du,g’(x)=sin(x2)，g’(0)=0，所以y"(0)=1＞0，故選(B)．2、設y=y(x)在[0，+∞)可導，在x∈(0，+∞)處的增量滿足△y(1+△y)=a，當△x→0時a是△x的等價無窮小，又y(0)=1，則y(x)=()A、1+xB、(1+x)[一ln(1+x)+1]C、D、ln(1+x)+1標準答案：B知識點解析：由y(0)=1，得C=1，所以y=(1+x)[一ln(1+x)+1]，故應選(B)．3、設平面區域D1={(x，y)|0≤z≤1，1一x≤y≤1}，則I1，I2，I3的大小關系為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2標準答案：B知識點解析：由于D1D2，記D3=D2—D1={(x，y)|0＜x＜1，≤y＜1一x}，當(x，y)∈D3時，x+y＜1，從而有ln(x+y)＜0，所以I2—I1=即有I2＜I1，而當(x，y)∈D2且(x，y)≠(0，1)，(1，0)時，ln(x+y)＞所以I2＞I3．綜上可知I3＜I2＜I1，應選(B)．4、設函數f(x)在[一1，1]上有定義，在點x=0處可導，則f’(0)=0是級數斂的()A、充分必要條件B、充分條件，而非必要條件C、必要條件，而非充分條件D、既非充分條件，又非必要條件標準答案：C知識點解析：如果級數由此可得f(0)=0，假若f’(0)≠0，不妨設f’(0)＞0，則有從而得知從某項起，級數為正項級數，且發散，與題設矛盾，故必有f’(0)=0．另外，當f’(0)=0時，未必有f(0)=0，如取f(x)=1+x2，則此時=f(0)=1≠0，級數發散，綜上可知，選(C)．5、已知，B是3階非零矩陣，且AB=0，則()A、a=1時，B的秩必為1B、a=1時，B的秩必為2C、a=一3時，B的秩必為1D、a=一3時，B的秩必為2標準答案：C知識點解析：本題考查秩的性質，屬于基礎題．由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．若a=1，則r(A)=1，從而r(B)≤2．又B是3階非零矩陣，即r(B)≥1，故r(B)=1或r(B)=2．若a=一3，則r(A)=2，從而r(B)≤1，又r(B)≥1，所以r(B)=1，故應選(C)．6、下列矩陣中，正定矩陣是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：本題考查具體數字矩陣正定的判定，屬于基礎題．(A)中a33=一3＜0，(B)中二階順序主子式=0，(C)中|A|=0，均不是正定矩陣，(D)中三個順序主子式△1=2，△2=6，△3=5，均大于零，故應選(D)．7、設正態總體X～N(u，σ2)，X1，X2，…，Xn為其簡單隨機樣本，樣本均值為，若的值()A、與μ和σ都有關B、與μ和σ都無關C、與μ有關，與σ無關D、與μ無關，與σ有關標準答案：B知識點解析：本題主要考查正態總體樣本均值的分布及一般正態分布的標準化，是一道有一定難度的綜合題．8、設(X，y)服從二維正態分布，其聯合概率密度為，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：本題主要考查二維正態分布的邊緣分布及正態總體的三大抽樣分布，是一道有一定難度的綜合題．二維正態分布的聯合概率密度為由題設知μ1=μ2=0，σ12=σ22=22，ρ=0．由于二維正態分布的邊緣分布一定是一維正態分布且相關系數ρ=0的充分必要條件是X與Y獨立，從而X～N(0，22)，y～N(0，22)，且X與Y獨立，于是故應選(D)．進一步分析，(A)、(B)、(C)明顯錯誤．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設f(x)=∫0x(t2+2t+3)dt，則標準答案：2(x2+2x+3)．知識點解析：f’(x)=x2+2x+3=2f’(x)=2(x2+2x+3)．10、方程y"+y’2=0的通解為________．標準答案：y=ln(x+c1)+c2．知識點解析：11、函數在點M(1，1，1)處沿曲面2z=x2+y2在點M處的外法線方向1的方向導數標準答案：知識點解析：曲面2x=x2+y2在點M(1，1，1)處的外法線向量為(1，1，一1)，又因為12、設曲線C為圓周x2+y2=R2，則(x+2y)2ds=________．標準答案：57cR3．知識點解析：13、設，若存在秩大于1的三階矩陣B使得BA=0，則An=________．標準答案：知識點解析：由于BA=0，則r(B)+r(A)≤3，又因為r(B)＞1，所以r(A)≤3—r(B)≤1顯然r(A)≥1，所以r(A)=1，即矩陣A的各行對應成比例，于是14、設隨機變量X和Y相，互獨立，且X～N(0，1)，Y～N(0，2)，則D(X2+Y2)=________．標準答案：10知識點解析：因為X和Y相互獨立，所以X2與Y2相互獨立，D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)．由于X～N(0，1)，所以X2～χ2(1)，故D(X2)=2，Y～N(0，2)，則則D(Y2)=8，所以D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)=2+8=10．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設=a(a≠0)，求n及a的值．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設l為從點A(一1，0)沿曲線y=x—x3到點B(1，0)的有向弧段，求第二類曲線積分I=∫L(exsinx+3y—cosy)dx+(xsiny—y)dy．標準答案：做水平輔助線與曲線y=x—x3構成兩個封閉曲線．位于第一象限中的封閉曲線記為l1，為負向；位于第三象限中的記為l3，為正向．對于前兩個積分用格林公式，第三個積分直接以y=0代入計算．l1與l3所圍成的有界閉區域分別記為D1與D3．于是知識點解析：暫無解析17、設f(x)是在[a，b]上連續的單調增加的正函數，t∈[a，b]，由y=f(x)，y=f(a)，x=t所圍的圖形的面積為S1(t)，由y=f(x)，y=f(b)，x=t所圍成的圖形的面積為S2(t)．(Ⅰ)證明：存在唯一的t0∈(a，b)，使S1(t0)=S2(t0)；(Ⅱ)問函數S1(t)+S2(t)是否有最小值．標準答案：(Ⅰ)S1(t)=∫at[f(x)一f(a)]dx，S2(t)=∫tb[f(b)一f(x)]dx．令F(t)=S1(t)一S2(t)=∫at[f(x)一f(a)]dx—∫at[f(b)一f(x)]dx，則F’(t)=f(t)一f(a)+f(b)一f(t)=f(b)知識點解析：暫無解析18、求曲面4z=3x2+3y2一2xy上的點到平面x—y—z=1的最短距離．標準答案：曲面上的點設為(x，y，z)，它到平面x—y—z=1的距離為在約束條件3x2+3y2一2xy一4z=0下求d2的最小值，設F(x，y，z，λ)一(x—y一z一1)2+λ(3x2+3y2一2zy一4z)，知識點解析：暫無解析19、設f(u)有連續一階導數，計算標準答案：由高斯公式得知識點解析：暫無解析20、已知下列非齊次線性方程組：(Ⅰ)求解方程組(a)．(Ⅱ)當方程組(b)中的參數a，b，c為何值時，方程組(a)與(b)同解．標準答案：(Ⅰ)對(a)中的增廣矩陣作初等行變換，取x4為自由變量，令x4=1，代入(a)所對應的齊次線性方程組，求得x3=一2，x2=一5，x1=6，故(a)所對應的齊次線性方程組的基礎解系為ξ=(6，一5，一2，1)T．令x4=0，代入(Ⅰ)中，得x3=一1，x2=一4，x1=6，知識點解析：暫無解析21、設A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩陣B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩陣A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩陣P，使得P一1AP為對角矩陣．標準答案：(Ⅰ)(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)對照A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B，可知(Ⅱ)因為α1undefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined知識點解析：暫無解析22、(Ⅰ)證明X和Y是相互獨立的．(Ⅱ)求(Z1，Z2)的概率分布．標準答案：(Ⅰ)設X和Y的邊緣概率密度函數分別是fX(x)，fY(y)，則所以，X～E(1)，Y～E(1)．由于f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y是相互獨立的．(Ⅱ)由于Z1的取值為1，2，Z2的取值為3，4，因此(Z1，Z2)的取值為(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)．P(Z1=知識點解析：暫無解析23、已知X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為與S2．若E(X)=u，D(X)=σ2，記yi—Xi一．求(Ⅰ)Yi與Yi(i≠j)的相關系數；(Ⅱ)若f(Y1+Yn)2是σ2的無偏估計量，求常數c．標準答案：(Ⅰ)因為X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，所以X1，X2，…，Xn相互獨立且同分布，故E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，先算協方差：Cov(Yi，Yi)=Cov(Xi，Xi)一Xundefinedundefined知識點解析：暫無解析考研數學（數學一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設函數f(x)滿足關系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點．標準答案：C知識點解析：暫無解析2、設函數f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n為正整數，則f’(0)=A、(-1)n-1(n-1)!．B、(-1)n(n-1)!．C、(-1)n-1n!．D、(-1)nn!．標準答案：A知識點解析：暫無解析3、A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、已知E(X)=1，E(X2)=3，用切比雪夫不等式估計P{一1＜X＜4}≥a，則a的最大值為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得則a的最大值為，選(C)．6、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：7、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：8、(2010年試題，6)設A為4階實對稱矩陣，且A2+A=0,若A的秩為3，則A相似于()．A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：由A2+A=0得｜A2+A｜=｜A+E｜=0，即0和一1是矩陣A的所有可能特征值．又A的秩為3，且其為4階實對稱矩陣，故一1是A的三重特征值，即知A相似于故正確答案為D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，則t的取值范圍是__________.標準答案：知識點解析：暫無解析10、標準答案：e-1/2知識點解析：11、標準答案：知識點解析：12、標準答案：3E知識點解析：13、標準答案：7/8知識點解析：14、標準答案：由題設，設原積分中兩部分的積分區域分別如圖所示，則知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學（數學一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當x→0時，下列四個無窮小量關于x的階數最高的是()．A、2x3－x5B、－2C、－1D、標準答案：D知識點解析：(1)因而僅(D)入選．2、在區間[0，+∞)內方程+sinx一1=0()．A、無實根B、有且僅有一個實根C、有且有兩個實根D、有無窮多個實根標準答案：B知識點解析：設f(x)=+sinx一1，注意到當x≥1時，f(x)＞0，所以只需在[0，1]上討論f(x)=0的根的情況．f(0)=－1＜0，f(1)=1+sin1＞0，由零點定理知，f(x)在[0，1)內至少存在一個實根．但當X∈(0，1)時，f′(x)=x－1／3+cosx＞0．這說明f(x)在(0，1)內單調增加，因此f(x)=0在(0，1)內最多只有一個實根．綜上所述，f(x)=0在(0，1)內只有唯一實根，從而方程+sinx一1=0在[0，+∞)內只有一個實根．僅(B)入選．3、設y=f(x)二階可導，且f′(x)＞0，f″(x)＜0，令△y=f(x+△x)－f(x)，當△x＜0時，則()．A、△y＜dy＜0B、△y＞dy＞0C、dy＜△y＜0D、dy＞△Ay＞>0標準答案：A知識點解析：由f′(x)＞0及f″(x)＜0可知函數y=f(x)的圖形是單調上升且是凸的．值得注意的是當△x＜0時，由下圖可知△y＜0，且dy=f′(x)△x＜0，由圖易看出｜△y｜＞｜dy｜，故△y＜dy＜0，僅(A)入選．4、設F(t)=f(x2+y2+z2)dv，其中f為連續函數，f(0)=0，f′(0)=1，則=()．A、πB、4π／5C、3π／5D、2π／5標準答案：B知識點解析：F(t)=f(x2+y2+z2)dv=f(ρ2).ρ2sinφdρ5、設A是一個n階矩陣，先交換A的第i列與第j列，然后再交換第i行與第j行得到的矩陣記為B，則下列五個關系：(1)｜A｜=｜B｜；(2)r(A)=r(B)；(3)A≌B；(4)A～B；(5)AB中正確的有()．A、(1)，(2)B、(1)，(2)，(3)C、(1)，(3)，(5)D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)標準答案：D知識點解析：由題設有EijAEij=B，Eij有些什么性質呢?(1)｜Eij｜=－1，因而｜Eij｜｜Eij｜=1，故｜Eij｜｜A｜｜Eij｜=｜B｜，即｜A｜=｜B｜．(2)因｜Eij｜≠0，故Eij可逆，所以r(EijA)=r(A)，r(AEij)=r(A)，故r(B)=r(EijAEij)=r(AEij)=r(A)．(3)由EijAEij=B說明了A≌B(A與B等價)．(4)因=Eij，故EijAEij=AEij=B，所以A～B(A與B相似)．(5)因Eij=，故EijAEij=AEij=B，所以AB(A與B合同)．因此，選項(D)正確．6、設A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，要使ABX=0與BX=0為同解方程組的充分條件是()．A、r(A)=mB、r(A)=sC、r(B)=sD、r(B)=n標準答案：B知識點解析：顯然BX=0的解為ABX=0的解．反之，設ABX=0的解為BX0，當r(A)=s時，因B為s×n矩陣，故A(BX)=0只有零解，從而BX=0，即ABX=0的解也為BX=0的解，亦即當r(A)=s時，ABX=0與BX=0同解．7、某班組共有員工10人，其中女員工3人．現選2名員工代表，至少有1名員工當選的概率是()．A、27／45B、36／45C、21／45D、24／45標準答案：D知識點解析：基本事件的總數為，即10名員工選2名的組合數，至少有一名女員工當選，其中所含的基本事件數為．因而所求概率為僅(D)入選．8、已知隨機變量X1與X2相互獨立，且有相同的分布如下：則D(X1+X2)=()．A、1．2B、1．0C、0．8D、0．6標準答案：A知識點解析：由題設有E(Xi)=2×0．3+3×0．4+4×0．3=3，E()=22×0．3+32×0．4+42×0．3=4×0．3+9×0．4+16×0．3=9．6，D(Xi)=E()一[E(Xi)]2=9．6—32=0．6(i=1，2)，故D(X)=D(X1)+D(X2)=0．6+0．6=1．2．僅(A)入選．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設f(x)在點x=a處可導，則=__________．標準答案：一2f′(a)知識點解析：10、以y=c1xex+c2ex為通解的二階常系數齊次線性方程為__________．標準答案：y″－2y′+y=0知識點解析：由題設知，方程以r=1為二重特征根，從而特征方程為(r一1)2=0，即r2一2r+1=0，于是二階常系數齊次線性方程應為y″－2y′+y=0．11、二重積分I==__________．標準答案：知識點解析：由下圖易知12、設隨機變量X服從參數為n=100，p=0．2的二項分布；Y服從參數為λ=3的泊松分布，且X與Y相互獨立，則D(2X－3Y)=___________．標準答案：91知識點解析：由題設知，X～B(100，0．2)，Y～π(3)，因此有D(X)=npq=100×0．2×(1—0．2)=16，D(Y)=λ=3，故D(2X一3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×16+9×3=91．13、已知三元二次型XTAX=+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩為2，則其規范形為___________．標準答案：知識點解析：因A=，且r(A)=2，故｜A｜=0．易求得｜A｜=－(a+2)(a一1)2．于是由r(A)=2知，a=－2．由｜λE一A｜=λ(λ一3)(λ+3)=0可知A的特征值為一3，0，3．在正交變換下該二次型的標準形為，故其規范形為三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)14、設有拋物線Γ：y=a—bx2(a＞0，b＞0)，試確定常數a、b的值使得(1)Γ與直線y=x+1相切；(2)Γ與x軸所圍圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積為最大．標準答案：Γ與x軸所圍圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積為Vy=π顯然Vy中含兩個參數a與b．下求出a與b的關系．因Γ與直線y=x+1相切，即相交又相切．設切點為(x0，y0)，則在切點處兩曲線的函數值相同，且其斜率相等，因而有解之得=4(1一a)．將上述關系代入Vy中，則Vy僅含一個參數a，即Vy=2π(a2一a3)．令(Vy)′a=0得a=2／3．因而b=3／4．而當a=2／3時，因(Vy)′a｜a=2／3=[2π(2—6a)]a=2／3=2π(2—4)＜0，故當a=2／3，b=3／4時，Γ與直線y=x+1相切，且它們所圍圖形繞y軸旋轉所得旋轉體體積最大．知識點解析：先求出旋轉體體積的表示式，然后利用拋物線Γ與直線y=x+1相切的條件求出參數a和b的關系，將體積化為一個參數的函數，由取最大值的條件得到a、b的取值．15、計算I=(x+y+z)2dv，其中Ω為由球面x2+y2+z2=2和拋物面z=x2+y2所圍成．標準答案：因(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx中xy+yz為y的奇函數，Ω關于平面xOz對稱，故(xy+yz)dv=0．又Ω關于平面yOz也對稱，而xz為x的奇函數，故(x2+y2+z2)dv．由x2dv，其中Ω1={x，y，z)｜x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2,x≥0)．利用柱面坐標易求得同法可求得故(x2+y2+z2)dxdydz=一89)．知識點解析：注意到Ω關于z軸即平面xOz對稱，要充分利用被積函數的子函數的奇偶性以簡化計算，計算時用柱面坐標系求之．16、計算線積分(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中c是曲線x2+y2+z2=2Rx，x2+y2+z2=2ax(z＞0，0＜a＜R)且按此方向進行，使它在球的外表面上所圍區域∑在其左方．標準答案：由球面方程x2+y2+z2=2Rx，易求得球面法線方向余弦為由斯托克斯公式，得由于曲面∑關于坐標面xOz對稱，而函數f2(x，y，z)=y關于變量y為奇函數，因而ydS=0，而zdσ=Rπa2，其中Dxy為坐標面xOy上x2+y2+z2=2ax所圍成的區域，所以原積分=2πa2R．知識點解析：利用斯托克斯公式的另一種形式：將第二類空間曲線積分直接化為第一類曲面積分計算，其中cosα、cosβ、cosγ是∑上各點法線方向的余弦．曲面∑由方程z=z(x，y)給出，當∑取上側時，有17、展開函數f(x)=為傅里葉級數．標準答案：(這里用到cosnπ=(一1)n(n為整數))=0．(這里用到sinnπ=0(n為整數))所給函數滿足收斂定理條件(在端點x=±π處f(x)連續且f(π)=f(－π))，由傅里葉級數公式，有知識點解析：求函數f(x)的傅里葉級數展開式，先確定f(x)的周期2l，利用公式求出傅里葉系數，得到傅里葉級數若f(x)在(一l，l)內有定義且滿足狄利克雷條件，進一步若f(x)在[一l，l]上連續，則若f(x)在[一l，l]上連線，f(一l)=f(l)，則18、已知三階矩陣A滿足A3=2E，若B=A2+2A+E，證明B可逆，且求B－1．標準答案：由A3=2E得到A3+E=3E，即(A+E)(A2一A+E)=3E，故A+E可逆，且(A+E)－1=(A2一A+E)／3．于是B=(A+E)2可逆，且B－1=[(A+E)2]－1=[(A+E)－1]2=[(A2一A+E)／3]2=(A2一A+E)2／9．知識點解析：A的元素沒有給出，利用可逆矩陣的定義證之．注意到B=A2+2A+E=(A+E)2，只需證A+E可逆．19、求正交矩陣Q，將實對稱矩陣A=化為對角矩陣．標準答案：方法一因A的特征多項式為｜λE一A｜=(λ一2)2(λ一8)，故A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=8．現分別求出屬于它們的線性無關的特征向量．當λ1=λ2=2時，解(2E一A)X=0．由得到屬于λ1=λ2=2的線性無關的特征向量為α1=[一1，1，0]T，α2=[一1，0，1]T．用施密特方法將α1與α2正交化，為此令β1=α1=[一1，1，0]T，則β2=α2于是β1，β2為相互正交的特征向量．當λ3=8時，解(8E－A)X=0．因由基礎解系的簡便求法知，屬于λ=8的特征向量為α3=[1，1，1]T．將β1，β2，α3單位化分別得到則所求的正交矩陣Q=[η1，η2，η3]=方法二因A有二重特征值λ1=λ2=2，可用基礎解系正交化的方法求出正交矩陣．已知α1=[一1，1，0]T為屬于λ1=2的一個特征向量．設屬于λ1=2的另一特征向量為[x1，x2，x3]T=X．下求X使之與α1正交．因X為λ1=2的另一特征向量，故必滿足系數矩陣為①的方程，即故x1+x2+x3=0．②又X與α1正交，有XTα1=0，即一x1+x2=0．③聯立式②、式③得到故X=[一1／2，一1／2，1]T，則α1，X，α3為兩兩正交的向量組，將其單位化得到于是所求的正交矩陣為Q=[η1，η2，η3]=知識點解析：一般用施密特正交化的方法求出正交矩陣Q，使Q－1AQ為對角矩陣．但如A的特征值中含有一個二重特征值，也可不必用施密特正交化的方法，而用基礎解系正交化的方法求出正交矩陣Q，使Q－1AQ為對角陣．其一般步驟是先求出二次型矩陣的特征值、特征向量，將屬于同一特征值的線性無關的特征向量正交化，再將所有特征向量單位化，使這些正交單位特征向量為列向量所構成的矩陣即為所求的正交矩陣，它也是正交變換的變換矩陣．20、已知ξ、η相互獨立，且都服從N(0，1／2)的分布，求E(｜ξ一η｜)．標準答案：因ξ與η相互獨立，且都服從N(0，1／2)的分布，故ξ一η服從正態分布，又E(ξ一η)=E(ξ)一E(η)=0，D(ξ一η)=D(ξ)+D(η)=1，因而ξ一η～N(0，1)．故知識點解析：先根據題設求出ξ一η的分布，再利用期望定義求之．21、設X和Y為獨立的隨機變量，X在區間[0，1]上服從均勻分布，Y的概率密度函數為求隨機變量Z=X+Y的分布函數Fz(z)．標準答案：依題設可知，X的概率密度函數為而FZ(z)=P(Z≤z)=f(x，y)dxdy，其中區域D為一∞＜x+y≤z．因而為求出FZ(z)，必須先求出聯合概率密度f(x，y)．由上述fY(y)與fX(x)的表示式易求得因f(x，y)取非零值的定義域的邊界點為(0，0)，(0，1)，(1，2)，(0，2)，相應地，x+y=z的可能取值為0，1，2，3．因而z應分下述情況分別求出分布函數Fz(z)：(1)z≤0；(2)0＜z≤1；(3)1＜z≤2；(4)2＜z≤3；(5)z＞3．于是當z≤0時，f(x，y)=0，則FZ(z)=0．當0＜z≤1時，則當1＜z≤2時(參見下圖)，則當2＜z≤3時，則FZ(z)=1一(3一z)3．當z＞3時，易求得FZ(z)=1．綜上得到知識點解析：由獨立性即可寫出(X，Y)的概率密度函數．求X、Y的線性函數的分布函數一般直接按定義求之．考研數學（數學一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在x＝x0處可導，且f’(x0)＞0，則存在δ＞0，使得()。A、f(x)在區間(x0－δ，x0＋δ)內單調增加B、f(x)＞f(x0)在區間(x0，x0＋δ)內成立，但在區間(x0－δ，x0)內不成立C、f(x)＞f(x0)在區間(x0－δ，x0)內成立，但在區間(x0，x0＋δ)內不成立D、f(x)＞f(x0)當0＜｜x－x0｜＜δ時成立標準答案：B知識點解析：解根據導數的定義，有從而由極限的保號性(不等式性質)知，存在δ＞0，使得當0＜｜x－x0｜＜δ時，有這表明：當x0＜x＜x0＋δ時，f(x)＞f(x0)，而當x0－δ＜x＜x0時，f(x)＜f(x0)，僅(B)入選。注意條件“f(x)在點x＝x0處可導，且f’(x0)＞0”不足以保證f(x)在點x＝x0的某一鄰域內單調增加，如果進一步假設導函數f’(x)在點x＝x0處連續，就可保證f(x)在點x＝x0的某一鄰域內單調增加了。雖然f’(x)＝1，但f’(x)在任何區間(0，δ)內無窮次地改變符號，所以f(x)不可能在任何區間(－δ，δ)內單調增加，因而(A)中結論是錯誤的。2、下列結論中不正確的是()。A、z＝f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則它在點(x0，y0)處必連續B、z＝f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則它在點(x0，y0)處沿任意方向的方向導數都存在C、z＝f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則f’x，f’y在點(x0，y0)處必連續D、z＝f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則它在點(x0，y0)處的偏導數必存在標準答案：C知識點解析：解因不存在，故f’x(x，y)在點(0，0)處不連續，所以(C)不正確，僅(C)入選。3、微分方程(x2－1)dy＋(2xy－cosx)dx＝0滿足初始條件y(0)＝1的特解是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：解一原方程可化為x2dy＋2xydx－dy－dsinx＝d(x2y)－d(y＋sinx)＝d(x2y－y－sinx)＝0，兩邊積分得到x2y－y－sinx＝y(x2－1)－sinx＝c。由y(0)＝1得－1－0＝c，即c＝－1，故，僅(A)入選。解二原方程可化為，直接套用公式，得到由y｜x＝0＝1得c＝－1，故滿足初始條件的特解為，僅(A)入選。4、設S是平面x＋y＋z＝4被圓柱面x2＋y2＝1截出的有限部分，則曲面積分＝()。A、0B、C、D、π標準答案：A知識點解析：解由題設條件知D：x2＋y2≤1，且z(x，y)＝4－x－y，f(x，y，z)＝y，故z’x＝－1，z’y＝－1，則因D關于x軸對稱，而被積函數y關于y為奇函數，故僅(A)入選。5、設A是5×4矩陣，B是四階矩陣，滿足2AB＝A，B*是B的伴隨矩陣，若A的列向量線性無關，則秩r(B*)＝()。A、0B、1C、3D、4標準答案：D知識點解析：解一由2AB＝A得A(2B－E)＝0，從而r(A)＋(2B－E)≤4，又因A是5×4矩陣，A的列向量線性無關，由此知秩r(A)＝4，從而秩r(2B－E)＝0，即2B－E＝0。于是B＝E，r(B)＝r(E)＝r(E)＝4，故r(B*)＝4，僅(D)入選。解二因A為列滿秩，故秩(A)＝4，則由2AB＝A得到r(2AB)＝r(A)＝4，而r(2AB)＝r(AB)＝r(B)，故r(B)＝r(2AB)＝r(A)＝4。于是秩(B*)＝4，僅(D)入選。6、下列二次型中，正定的二次型是()。A、f1(x1，x2，x3)＝x12＋5x22－x32＋4x1x2＋6x1x3＋8x2x3B、f2(x1，x2，x3)＝2x12＋x32－2x1x2＋2x1x3＋2x2x3C、f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3D、f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3標準答案：D知識點解析：解一用排除法，可知僅(D)入選。(A)f1中有一x32項，故取(x1，x2，x3)＝(0，0，1)≠0時，有f1(0，0，1)＝－1<0，因此f1不正定。(B)f2中缺x22項，故取(x1，x2，x3)＝(0，1，0)≠0時，有f2(0，1，0)＝0，因此f2不正定。(C)f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3＝(x1－x2)2＋2x22＋2x32＋4x2x3＝(x1－x2)2＋2(x1＋x2)2，取(x1，x2，x3)＝(1，1，－1)≠0，有f3(1，1，－1)＝0，因此f3不正定。解二f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3＝(x1＋x2＋2x3)2＋2x22－4x2x3＋3x32＝(x1＋x2＋2x3)2＋2(x2－x3)2＋x32，因正慣性指數p＝3＝n(未知量個數)，故f4正定f4的對應矩陣為其各階順序主子式均大于零：故f4正定，僅(D)入選。7、設隨機變量X，Y獨立，且E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)存在，則下列等式中不成立的是()，下列表示式中的a，b均為常數。A、E(aX±bY)＝aE(X)±bE(Y)B、E(aX·bY)＝abE(X)·E(Y)C、D(aX＋bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)D、D(aX－bY)＝a2D(X)－b2D(Y)標準答案：D知識點解析：解對于隨機變量線性組合的方差，有如下等式成立：D(aX±bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)±2abcov(X，Y)，而對于X，Y獨立的情形，因cov(X，Y)＝0，故D(aX±bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)，僅(D)入選。8、設隨機變量列X1，X2，…，Xn，…相互獨立，則根據辛欽大數定律，當n充分大時，X1，X2，…，Xn，…依概率收斂于其共同的數學期望，只要X1，X2，…，Xn，…，()。A、服從同一離散型分布B、有相同的數學期望C、服從同一連續型分布D、有相同的泊松分布標準答案：D知識點解析：解一因為隨機變量列X1，X2，…，Xn，…服從辛欽大數定律的條件是：各個隨機變量獨立同分布，而且數學期望存在，顯然4個選項中只有(D)滿足此條件，僅(D)入選。解二可用排除法判別之，選項(A)、(C)雖然服從同一分布，但不能保證數學期望存在，故排除(A)、(C)，而選項(B)中缺少同分布這一條件，也應排除，僅(D)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設，f具有二階連續偏導數，則＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：4x3f’1＋2xf’2＋x4yf"11－yf"22知識點解析：解＝3x2f＋x3yf’1－xyf’2。值得注意的是，f’1，f’2與f一樣都是關于的函數，即再次對x或y求偏導時，也必須運用復合函數求導法則，得到＝4x3f’1＋2xf’2＋x4yf"11－yf"22。10、冪級數的收斂區域是＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：[－3，1)知識點解析：解一原級數可化為，則故即－3＜x＜1。當x＝1時，得到數項級數該級數為P＝1／2＜1的級數，故發散。當x＝－3時，得到數項級數該級數為P＝1／2＞0的交錯級數，收斂，故所給冪級數的收斂區間為[－3，1)。解二因為所以的收斂區間為(－2，2)。再由－2＜x＋1＜2可解得－3＜x＜1，即收斂區間為(－3，1)，關于端點處的斂散性的討論同解一。11、微分方程yy"－(y’)2＝y4滿足y(0)＝1，y’(0)＝1的特解為y＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：解令y’＝P，則，代入原方程，得到＝y2(2∫ydy＋c1)＝y2(y2＋c1)由初始條件y(0)＝1，y’(1)＝1得到c1＝0，于是p＝y2，則再由初始條件y(0)＝1，得到c2＝－1，故。12、設常數a>0，L為擺線一拱，0≤t≤2π，則I＝∫Lyds＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：13、已知三階矩陣A的特征值1，2，3，則[(3A)*]－1的最大特征值是＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：解因[(3A)*]－1＝(33－1A*]－1故[(3A)*]－1的三個特征值為，最大的特征值為。14、已知(X，Y)的聯合分布律為：則X，Y的相關系數ρXY＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：解一先將聯合分布律改寫為下述表格形式，在此同一表格中可求出X，Y及XY的分布律：因而X，Y及XY的分布律分別為：故E(X)＝0．45，E(Y)＝0．55，E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)＝0．25，cov(X，Y)＝E(X，Y)－E(X)E(Y)＝0．25－0．45×0．55＝0．0025。D(X)＝p1(1－p1)＝0．45×(1－0．45)＝0．45×0．55，D(Y)＝P2(1－P2)＝0．55×(1－0．55)＝0．55×0．45，解二由聯合分布表易求得P1＝P(X＝1)＝0．45，P2＝P(Y＝1)＝0．55。由上述結論得到E(X)＝0．45，D(X)＝0．45(1－0．45)＝0．45×0．55，E(Y)＝0．55，D(Y)＝0．55(1－0．55)＝0．55×0．45，E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)＝0．25，則cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0．25－0．45×0．55，三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)＝0，f(1)＝1。證明15、存在c∈(0，1)，使得f(c)＝；標準答案：令F(x)＝f(x)－1／2，則F(0)＝f(0)－1／2＝－1／2＜0，F(1)＝f(1)－1／2＝1－1／2＝1／2＞0。由零點(介值)定理知，存在c∈(0，1)，使F(c)＝0，即f(c)＝1／2。知識點解析：暫無解析16、存在ξ≠η∈(0，1)，使得。標準答案：在[0，c]及[c，1]上對f(x)分別使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得于是＝2c＋2(1－c)＝2，得證。知識點解析：注意上面利用(1)的結論證明了(2)的結論，但(1)的結論也可由(2)的結論推出。事實上，由得到2f2(c)－2cf(c)－f(c)＋c＝f(c)[2f(c)－1]－c[2f(c)－1]＝[f(c)－c][2f(c)－1]＝0。因f(x)不一定滿足f(x)＝x，故有2f(c)－1＝0，即f(c)＝1／2。17、設。標準答案：解因在[－1，3]內有f(x)的兩個瑕點0與2，故所求的積分是瑕積分。知識點解析：暫無解析18、將展為x－1的冪級數，并指出其收斂域。標準答案：＝1－x＋x2－…＋(－1)nxn＋…，－1＜x＜1，得到(2)由于級數①的收斂區間為－1＜＜1，即－1＜x＜3，級數②的收斂區間為－1＜＜1，即－3＜x＜5，故級數③的收斂區間為－1＜x＜3，但在x＝－1與x＝3處，級數③發散，故收斂域為(－1，3)。知識點解析：暫無解析19、設ABCDA為一矩形回路，其中A＝A(－1，1)，B＝B(－1，－1)，C＝C(ξ，－1)，D＝D(ξ，1)，求。標準答案：解當ξ＜0時，在矩形回路中連續可導，易求得。由格林公式即得。當ξ＞0時，這時矩形回路含有原點，為挖掉這個原點以r＜min(1，ξ)為半徑作圓，則可在以圓外到ABCDA所圍的區域D內使用格林公式：知識點解析：暫無解析20、已知n維向量α1，α2，…，αs線性無關，如果n維向量β不能由α1，α2，…，αs線性表出，而γ可由α1，α2，…，αs線性表出，證明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ線性無關。標準答案：證一利用拆項重組法及線性無關的定義證之。由題設γ可由α1，α2，…，αs線性表出，可設γ＝c1α1＋c2α2＋…＋csαs，又令k1α1＋k2(α1＋α2)＋…＋ks(αs＋αs－1)＋k(β＋γ)＝0。將其拆項重組得到(k1＋k2＋kc1)α1＋(k2＋k3＋kc2)α2＋…＋(ks＋kcs)αs＋kβ＝0。因α1，α2，…，αs線性無關，而β不能由α1，α2，…，αs線性表出，故α1，α2，…，αs，β線性無關，因而k＝0，k1＋k2＋kc1＝0，k2＋k3＋kc2＝0，…，ks＋kcs＝0，即k1＋k2＝0，k2＋k3＝0，…，ks－1＋ks＝0，ks＝0，解得k1＝k2＝…＝ks－1＝ks＝0，即α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ線性無關。證二注意到α1，α2，…，αs，β線性無關，γ＝c1α1＋c2α2＋…＋csαs，由而α1，α2，…，αs，β線性無關，由矩陣表示法即知α1，α2，…，αs，β＋γ線性無關。知識點解析：暫無解析設A是n階方陣，A＋E可逆，且f(A)＝(E－A)(E＋A)－1。證明：21、[E＋f(A)](E＋A)＝2E；標準答案：[E＋f(A)](E＋A)＝E＋A＋f(A)(E＋A)＝E＋A＋(E－A)(E＋A)－1(E＋A)＝E＋A＋E－A＝2E。知識點解析：暫無解析22、f[f(A)]＝A。標準答案：f[f(A)]＝[E－f(A)][E＋f(A)]－1，由(上題)可知[E＋f(A)]－1＝，故f[f(A)]＝[E－f(A)](E＋A)／2＝[E－(E－A)(E＋A)－1](E＋A)／2＝(E＋A)／2－(E－A)(E＋A)－1(E＋A)／2＝(E＋A)／2－(E－A)／2＝A。知識點解析：暫無解析設隨機變量(ξ，η)的概率密度為試求23、(ξ，η)的分布函數；標準答案：將φ(x，y)定義域中的邊界線段延長為直線，它們將整個平面分成5個子區域：①D1：x≤0或y≤0時，F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝∫－∞x∫－∞yφ(x，y)dxdy＝＝0。②D2：0＜x≤1，0＜y≤2時，F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝∫－∞x∫－∞yφ(x，y)dxdy③D3：x＞1，0＜y≤2時，F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X＜1，0＜Y≤y)④D4：0＜x≤1，y＞2時，F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X≤x，0≤Y≤2)⑤D5：x＞1，y＞2時，F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X≤1，0≤Y≤2)知識點解析：暫無解析24、。標準答案：知識點解析：暫無解析25、食用加碘鹽對人的身體有利，但鹽中含碘量過多，則會對身體有害，國家有關部門規定：每公斤食用鹽內含碘量不得超過20mg，現對某廠生產的食鹽進行抽查，隨機地抽出16包(每包1kg)，測量每包含碘量的平均值為24mg，樣本標準差S＝2．6mg，設每包含碘量服從正態分布N(μ，σ2)。問該廠生產的加碘鹽的含碘量是否合格?(α＝0．05)，并求μ的置信度為95%的置信區間。參考數據：t0．05(15)＝1．7531，t0．05(16)＝1．7459，t0．025(15)＝2．1315，t0．025(16)＝2．1199。標準答案：解(1)H0：μ＝μ0＝20，H1：μ＞μ0＝20。檢驗統計量為H0的拒絕域為R＝{T＞tα(n－1)}。計算觀測值為t＝＝6．1538，查表得tα(n－1)＝t0．05(15)＝1．7531。因6．1538＞1．7531，即t＞tα(n－1)落在拒絕域內，拒絕H0，接受H1：μ＞μ2，即含碘量超過標準，不合格。(2)σ2未知，μ的置信度為1－α＝0．95即α＝0．05的置信區間為其中tα/2(n－1)＝t0．025(15)＝2．1315，代入上式即得所求的置信區間為＝(24－1．39，24＋1．39)＝(22．61，25．39)。知識點解析：暫無解析考研數學（數學一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設g(x)在x=0的某鄰域內連續且又設f(x)在該鄰域內存在二階導數且滿足x2f"(x)一[f’(x)]2=xg(x)．則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、f(0)不是f(x)的極值．D、f(0)是否為f(x)的極值要由具體的g(x)決定．標準答案：B知識點解析：故f(0)為f(x)的一個極小值．2、設f(x)在區間(一∞，+∞)上連續且嚴格單調增加，又設則φ(x)在區間(一∞，+∞)上()A、嚴格單調減少．B、嚴格單調增加．C、存在極大值點．D、存在極小值點．標準答案：B知識點解析：令上式分子為Ф(x)=(x—a)f(x)一∫axf(t)dt=(x一a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x—a)[f(x)一f(ξ)]，其中，當a＜x時，a＜ξ＜x，從而f(ξ)＜f(x)；當a＞x時，a＞ξ＞x，從而f(ξ)＞f(x)．所以不論a＜x還是a＞x，總有Ф(x)＞0．所以當x≠a時φ’(x)＞0．從而知在區間(一∞，a)與(a，+∞)上φ(x)均為嚴格單調增加．以下證明在區間(一∞，+∞)上φ(x)也是嚴格單調增加．事實上，設x2∈(a，+∞)，則其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在開區間(a，x2)內．同理，設x1∈(一∞，a)，則有φ(x)一φ(x1)=f(a)一f(ξ1)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上兩個不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3、設則f(x，y)在點O(0，0)處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續．C、連續但不可微．D、可微．標準答案：C知識點解析：所以f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．若在點0(0，0)處可微，則應有但是上式并不成立，事實上，所以f(x，y)在點O(0，0)處不可微．故應選(C)．4、下述命題①設f(x)在任意的閉區間[a，b]上連續，則f(x)在(一∞，+∞)上連續；②設f(x)在任意的閉區間[a，b]上有界，則f(x)在(一∞，+∞)上有界；③設f(x)在(一∞，+∞)上為正值的連續函數，則在(一∞，+∞)上也是正值的連續函數；④設f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數，則在(一∞，+∞)上也是正值的有界函數．其中正確的個數為()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：B知識點解析：①與③是正確的，②與④是不正確的，理由如下：①是正確的．設x0∈(一∞，+∞)，則它必含于某區間[a，b]中，由于題設f(x)在任意閉區間[a，b]上連續，故在x0處連續，所以在(一∞，+∞)上連續．論證的關鍵之處是：函數f(x)的連續性是按點來討論的，在區間上每一點處連續，就說它在該區間上連續．③是正確的．設x0∈(一∞，+∞)，則f(x0)＞0，且在x0處連續．由連續函數的四則運算法則知，在x0處也連續，所以且在(一∞，+∞)上連續．②是不正確的．反例：設f(x)=x，在區間這個界與[a，b]有關，容易看出，在區間(一∞，+∞)上f(x)=x就無界了．④是不正確的．反例：f(x)=ex2，在區間(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數，而在(一∞，+∞)上無界，這是因為當x→±∞時，故應選(B)．5、設A，B是n階實對稱可逆矩陣．則下列關系錯誤的是()A、A，B等價．B、AB，BA相似．C、A，B合同．D、A2，B2合同．標準答案：C知識點解析：(A)成立，A，B均是可逆矩陣，均可以通過初等行變換化成單位矩陣，即有可逆矩陣P，Q，使得PA=QB=E，即有Q－1PA=B，故AB．(B)成立，取可逆矩陣P=A，則有P－1(AB)P=A－1(AB)A=BA．故AB～BA．(D)成立，A，B是實對稱可逆矩陣，特征值分別為λi，μi(i=1，2，…，n)均不為零，Ai2，Bi2的特征值分別為λi2＞0，μi2＞0，(i=1，2，…，n)A2，B2均是正定矩陣．它們的正慣性指數均為n(負慣性指數為零)．故由排除法，應選(C)．對于(C)，取均是可逆的實對稱矩陣，但A的正慣性指數為2，B的正慣性指數為1，故A，B不合同．6、設A是3階矩陣ξ1=(1，2，一2)T，ξ2=(2，1，一1)T，ξ3=(1，1，t)T是線性非齊次方程組Ax一b的解向量，其中b=(1，3，一2)T，則()A、t=一1時，必有r(A)=1．B、t=一1時，必有r(A)=2．C、t≠一1寸，必有r(A)=1．D、t≠一1時，必有r(A)=2．標準答案：C知識點解析：由ξ1，ξ2，ξ3是Ax=b的解向量，t≠一1時，r(B)=3，知ξ1，ξ2，ξ3線性無關，ξ1－ξ2，ξ2－ξ3是對應齊次方程組Ax=0的兩個線性無關解，故r(A)≤1，但A≠O(若A=0，則Ax=b無解，這和題設條件矛盾)，故必有，r(A)=1，故應選(C)．7、將一枚均勻硬幣連續拋n次，以A表示“正面最多出現一次”，以B表示“正面和反面各至少出現一次”，則()A、n=2時，A與B相互獨立．B、n=2時，AB．C、n=2時，A與B互不相容．D、n=3時，A與B相互獨立．標準答案：D知識點解析：當n=2時，由P(AB)≠P(A)P(B)知A與B不相互獨立，排除(A)．又P(A)＞P(B)知AB，排除(B)．A∩B=B，故A與B互不相容不成立，排除(C)．當n=3時，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B相互獨立．故應選(D)．8、設隨機變量X1，…，Xn(n＞1)獨立同分布，其方差σ2＞0，記(1≤k≤n)，則(1≤s，t≤n)的值等于()A、B、C、σ2·max{s，t}．D、σ2·min{s，t)．標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知f’(x)=arctan(x－1)2，f(0)=0，則∫01f(x)dx=________．標準答案：知識點解析：f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=∫0xarctan(t－1)2dt，10、設f(u)有連續的一階導數，S是曲面z=6+x2+y2(6≤z≤7)，方向取上側．則曲面積分標準答案：0知識點解析：添平面S1：z=7(x2+y2≤1)，向下，11、橢圓繞x軸旋轉一周生成的旋轉曲面S的面積=________．標準答案：知識點解析：12、標準答案：知識點解析：13、設A是n階矩陣，α，β是n維列向量，a，b，c是實數，已知標準答案：(c－b)a知識點解析：14、設X1，X2，…，Xn為來自標準正態總體X的簡單隨機樣本，記則E(T2)=________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設D為曲線y=x3與直線y=x圍成的兩塊區域，求二重積分標準答案：區域D如圖所示，第一象限部分記為D1，第三象限部分記為D2，于是令x=一t，則第2個積分與第1個積分可合并，第3個積分與第6個積分相抵消，第4個積分與第5個積分相抵消．于是知識點解析：暫無解析16、將函數展開成(x一2)的冪級數，并求出其收斂范圍．標準答案：令u=x一2，于是x=u+2，又因當x=3時，上述級數發散，當x=1時，上述級數收斂，且當x=1時，f(x)連續，故知收斂范圍為1≤x＜3．知識點解析：暫無解析17、設微分方程xy’+2y=2(ex一1)．(Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求存在的那個解(將該解記為y0(x))，以及極限值(Ⅱ)補充定義使y0(x)在x=0處連續，求y’00(x)，并請證明無論x≠0還是x=0，y’0(x)均連續，并請寫出y’0(x)的表達式．標準答案：(Ⅰ)當x≠0時，原方程化為由一階線性方程的通解公式，得通解其中C為任意常數．由上述表達式可知，并不是對于任何常數C，都存在，存在的必要條件是y0’(x)在x=0處連續．又顯然，y0’(x)在x≠0處也連續，故無論x≠0還是x=0，均連續。知識點解析：暫無解析18、設x＞0，證明：且僅在x=1處等號成立．標準答案：從而知，當O＜x＜1時，φ(x)＜0，即有F"(x)＜0．因F’(1)=0，所以當0＜x＜1時，F’(x)＞0．又因F(1)=0，所以當0＜x＜1時，F(x)＜0，從而知當0＜x＜1時，知識點解析：暫無解析19、設點M(ξ，η，ζ)是橢球面上第一象限中的點，S是該橢球面在點M處的切平面被三個坐標面所截得的三角形的上側．求點(ξ，η，ζ)使曲面積分為最小，并求此最小值．標準答案：曲面上點M(ξ，η，ζ)處的法向量為，切平面方程是化簡即得該切平面被三坐標面截得的三角形在xOy平面上的投影區域為求I的最小值等價于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ξ＜c的最大值，約束條件是由拉格朗日乘數法得顯然，當ξ=a或ξ=0時，ω最小，故當時，叫最大，I的最小值為知識點解析：暫無解析20、設A是m×n矩陣，B是m×n矩陣，已知Em+AB可逆．(Ⅰ)驗證En+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(Em+AB)－1A；(Ⅱ)設其中a1b1+a2b2+a3b3=0．證明：W可逆，并求W－1．標準答案：在不存在歧義的情況下，簡化記號，省略E的下標m，n．(Ⅰ)因(E+BA)[E—B(E+AB)－1A]=E+BA一B(E+AB)－1A—BAB(E+AB)－1A=E+BA一B(E+AB)(E+AB)－1A=E+BA一BA=E，故E+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(E+AB)－1A．由(Ⅰ)知E+AB可逆，則E+BA可逆，N(E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A．反之若E+BA可逆，則E+仙可逆，且(E+AB)－1=E－A(E+BA)－1B．因為E+BA=E+(b1，b2，b3)=E+[a1b1+a2b2+a1b3]=E+0=E，故E+BA可逆，(E+BA)－1=E．故W=E+AB可逆，且W－1=E—A(E+BA)－1B=.E.(b1，b2，b3)知識點解析：暫無解析21、(Ⅰ)設f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆線性變換將f化為規范形，并求出所作的可逆線性變換．并說明二次型的對應矩陣A是正定矩陣；(Ⅱ)設求可逆矩陣D，使A=DTD．標準答案：(1)將f(x1，x2，x3)用配方法化為標準形，得f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x23一2x1x2+2x1x3一6x2x3一(x1－x2+x3)2+x22+5x23一4x2x3=(x1－x2+x3)2+(x2—2x3)2+x23．得廠的標準形為f(x1，x2，x3)=y12+y22+y32．所作的可逆線性變換為x=Cy，其中C=A對應的二次型的規范形為y12+y22+y32，正慣性指數P=3=r(A)，故知A是正定矩陣(也可用定義證明，或用順序主子式全部大于零證明A是正定矩陣)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，是f(x1，x2，x3)的對應矩陣，即f(x1，x2，x3)=xTAx．令x=Cy，其中，得f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故CTAC=E，A=(C－1)TC－1=DTD，其中D=C－1．知識點解析：暫無解析22、設在某段時間內來到證券交易所的人數X服從參數為λ的泊松分布，每個來交易所的人購買A股的概率為p．假設股民之間是否購買A股相互獨立，試求在該段時間內交易所X人中共有Y人買A股的數學期望．標準答案：Y=r表示“有r個人買A股”，X=i表示“有i個人來到交易所”，i=r，r+1，…，于是，由全概率公式有從此可看出X人中購買A股的人數y服從參數為λp的泊松分布，所以EY=λp．知識點解析：暫無解析23、設隨機變量X在(0，1)上服從均勻分布，令隨機變量(Ⅰ)求Y的分布函數FY(y)；(Ⅱ)求Y的數學期望EY．標準答案：(Ⅰ)先畫出(0＜X＜1)的圖像．由分布函數定義FY(y)=P{Y≤y}，有當y＜0時，FY(y)=0；當y≥1時，FY(y)=P{Y≤y)=1；知識點解析：暫無解析考研數學（數學一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當x→0時，下列四個無窮小量關于x的階數最高的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：2、在區間[0，＋∞)內方程()。A、無實根B、有且僅有一個實根C、有且有兩個實根D、有無窮多個實根標準答案：B知識點解析：解設，注意到當x≥1時，f(x)＞0，所以只需在[0，1]上討論f(x)＝0的根的情況。f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＋sin1＞0，由零點定理知，f(x)在[0，1)內至少存在一個實根，但當x∈(0，1)時，這說明f(x)在(0，1)內單調增加，因此f(x)＝0在(0，1)內最多只有一個實根。綜上所述，f(x)＝0在(0，1)內只有唯一實根，從而方程在[0，＋∞)內只有一個實根，僅(B)入選。3、若f(－x)＝f(x)(－∞＜x＜＋∞)，且x∈(0，＋∞)時f’(x)＞0，f"(x)＜0，則在(－∞，0)內()。A、f’(x)＞0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’