【新教材】7.1.2復數的幾何意義

教學設計（人教A版）

教材分析

復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，引入復數以后，這不僅可以使同學對于數的

概念有一個初步的、完整的認知，也為進一步學習數學打下根底.通過本節課學習，要使同學

在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些根本學問，體會

人類理性思維在數系擴充中的作用.

敬學目標與我心需兼

課程目標：

i.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關

系；

2.把握實軸、虛軸、模等概念；

3.把握用向量的模來表示復數的模的方法.

數學學科素養

1.數學抽象：復平面及復數的幾何意義的理解；

2.規律推理：依據平面與向量的關系推出復數與向量的一一對應及復數模公式；

3.數學運算：依據復數與復平面的點一一對應求參數和求復數的模；

4.數學建模：依據復數的代數形式，數形結合，多方位了解復數的幾何意義，提高同學學

習數學的愛好.

政學重窿點

重點：理解復數的幾何意義，依據復數的代數形式描出其對應的點及向量.

難點：依據復數的代數形式描出其對應的點及向量.

教學方法：以同學為主體，小組為單位，采納誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、情景導入

提問：實數可以與數軸上的點一一對應，類比實數，復數能與什么一一對應呢？

要求：讓同學自由發言，老師不做推斷。而是引導同學進一步觀看.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本7072頁，思索并完成以下問題

1、復平面是如何定義的，復數的模如何求出？

2、復數與復平面內的點及向量的關系如何？復數的模是實數還是虛數？

要求：同學完成，以小組為單位，組內可商議?，最終選出代表答復以下問題。

三、新知探究

1.復平面

2.復數的幾何意義

(1)復數z=a+歷(a,6GR)復平面內的點Z(a,b).

(2)復數z=a+歷(a,6WR)平面對量OZ.

［規律總結I實軸、虛軸上的點與復數的對應關系

實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數

對為(0,0),它所確定的復數是z=0+0i=0,表示的是實數.

3.復數的模

----->

⑴定義：向量OZ的模r叫做復數z=(z+6i(m6GR)的模.

(2)記法：復數z=a+6i的模記為|z|或|a+bi|.

(3)公式：\z\=\a+bi\=r=yla2+b2(f>0,rGR).

四、典例分析、舉一反三

題型一復數與復平面內的對應關系

例1求實數a分別取何值時，復數2=生U了+(〃2—2〃-15"“《14)對應的點2滿意以下條

件：

(1)在復平面的其次象限內.

(2)在復平面內的x軸上方.

【答案】(1)〃V—3.(2)a>5或〃V—3.

【解析】(1)點Z在復平面的其次象限內，

/一。一6

那么J---“<+03，解得。<一3.

.a2—2i?—15>0,

[a2-2a-15>0,

(2)點Z在x軸上方，那么,

〔”+3翔，

即(a+3)(a—5)>0,解得a>5或a<—3.

解題技巧(利用復數與點的對應的解題步驟)

(1)復平面內復數與點的對應關系的實質是：復數的實部就是該點的橫坐標，虛部就是該

點的縱坐標.

(2)復數在復平面內對應的點滿意的條件求參數取值范圍時，可依據復數與點的對應關系,

建立復數的實部與虛部滿意的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.

跟蹤訓練一

1、實數x取什么值時，復平面內表示復數z=彳2+x—6+(x2—2x—15)i的點Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直線了一)，-3=0上

【答案】(1)—3<r<2.(2)x=-2.

【解析】由于x是實數，所以f+x—6,/—2x—15也是實數.

/十工一6<0,

⑴當實數x滿意，八即一30y2時，點Z位于第三象限.

(2)當實數x滿意即3x+6=0,x=-2時，點Z位于直

線X—>-3=0上.

題型二復數與平面對量的對應關系

--->--->

例2平面直角坐標系中。是原點，向量OA,03對應的復數分別為2—3i,—3+2i,那么向

量BA對應的復數是()

A.-5+5iB.5-5i

C.5+5iD.-5-5i

【答案】B.

【解析】向量OA,08對應的復數分別為2—3i,—3+2i,依據復數的兒何意義，可得向

量0A=(2,-3),OB=(-3,2).

----->----->-----?

由向量減法的坐標運算可得向量BA=0A-OB=(2+3,-3—2)=(5,-5),依據復數

----->

與復平面內的點一一對應，可得向量BA對應的復數是5—51

解題技巧：(復數與平面對量對應關系的解題技巧)

(1)依據復數與平面對量的對應關系，可知當平面對量的起點在原點時，向量的終點對應

的復數即為向量對應的復數.反之復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段,

即為復數對應的向量.

(2)解決復數與平面對量一一對應的題目時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具,

實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化.

跟蹤訓練二

1、在復平面內，A,B,C三點對應的復數分別為1,2+i,-l+2i.

-----?----->----->

(1)求向量A8,AC,8c對應的復數；

(2)假設A8C。為平行四邊形，求。對應的復數.

----->----->-----?

【答案】(1)AB,AC,8c對應的復數分別為1+i,-2+2i,—3+i.

[2)。對應的復數為-2+i.

【解析】(1)設0為坐標原點，由復數的幾何意義知：

-----?-----?----->

OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2),

-----?-----?

所以/=OB-OA=(1,1),

----->----->----->----->----->

~AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1),

-----?----->----->

所以43,AC,8c對應的復數分別為1+i,-2+2i,-3+i.

-----?----->

[2)由于A3CD為平行四邊形，所以A。==(—3,1),

----->-----?

OD=OA+AD=(1,0)+(-3,1)=(-2,1).所以。對應的復數為-2+i.

題型三復數模的計算與應用

例3設復數Z1=4+3i,Z2=4-3i.

(1)在復平面內畫出復數對應的點和向量;

(2)求復數的模，并比擬它們的模的大小.

【答案】(1〕圖見解析，對應的點分別為，對應的向量分別為，.(2),..

【解析】(1)如圖，復數對應的點分別為，對應的向量分別為,.

22

(2)|Z]|=|4+3z|=A/4+3=5.憶|=|4—3i|=j42+(—3)2=5.

所以.

例4設，在復平面內z對應的點為Z,那么滿意以下條件的點Z的集合是什么圖形？

(1);

⑵.

【答案】(1)以原點。為圓心，以1為半徑的圓.

(2)以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環，但不包括圓環的邊界.

【解析】(1)由得，向量的模等于1,所以滿意條件的點Z的集合是以原點。為圓心，以1

為半徑的圓.

z<2,

(2)不等式可化為不等式〈,

不等式的解集是圓的內部全部的點組成的集合，

不等式的解集是圓外部全部的點組成的集合，

這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿意條件的點Z的集合.簡單看出，

所求的集合是以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環，但不包括圓環的邊界

(如圖).

解題技巧(與復數的模相關的解題技巧)

(1)復數的模是非負實數，因此復數的模可以比擬大小.

(2)依據復數模的計算公式|a+5|=d齊京可把復數模的問題轉化為實數問題解決.

----->

(3)依據復數模的定義|z|=|0Z|,可把復數模的問題轉化為向量模(即兩點的距離)的問題解決.

跟蹤訓練三

1、復數z=a+/i(a《R)在復平面內對應的點位于其次象限，且|z|=2,那么復數z等于

()

A.-1+小iB.1+小i

C.一1+小i或1+小iD.一2+小i

【答案】A.

［居+3=4,

【解析】由題意得解得。=-1.故Z=-1+小i.

1?<0,

五、課堂小