第24講衛星變軌問題雙星模型目錄復習目標網絡構建考點一衛星的變軌問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1兩類變軌的起因知識點2變軌前后各運行物理參量的比較【提升·必考題型歸納】考向變軌前后各運行物理參量的比較考點二天體追及相遇問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點天體追及相遇問題基本規律【提升·必考題型歸納】考向天體追及相遇問題基本規律的應用考點三雙星和多星問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1雙星模型知識點2多星模型【提升·必考題型歸納】考向1雙星模型考向2多星模型真題感悟掌握衛星變軌問題和追及相遇問題的基本規律。掌握雙星模型和多星模型的基本規律?？键c要求考題統計考情分析（1）衛星變軌問題（2）天體的追及相遇問題（3）雙星模型和多星模型2023年湖北卷第2題2022年浙江卷第8題2021年天津卷第5題高考對這不內容的考查比較頻繁，多以選擇題的形式出現，題目的背景材料多為我國在航天領域取得的成就，比如神州飛船、天宮軌道艙等?？键c一衛星的變軌問題知識點1兩類變軌的起因兩類變軌離心運動近心運動示意圖變軌起因衛星速度突然增大衛星速度突然減小萬有引力與向心力的大小關系GMmr2GMmr2知識點2變軌前后各運行物理參量的比較（1）速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。（2）加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。（3）周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。（4）機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1<E2<E3。①在A點，由圓周Ⅰ變至橢圓Ⅱ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；②在B點，由橢圓Ⅱ變至圓周Ⅲ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；反之也有相應的規律?？枷蜃冘壡昂蟾鬟\行物理參量的比較1．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙成功對接，對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ；神舟十二號飛船處于半徑為的圓軌道Ⅰ，當經過點時，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到處與核心艙對接，則神舟十二號飛船（）A．沿軌道Ⅰ運行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運行的速度B．在軌道Ⅰ上運行的周期大于在軌道Ⅱ上運行的周期C．神舟十二號飛船在飛向核心艙的過程中，引力勢能增大，動能減小，機械能守恒D．在軌道Ⅰ上運動經過點的加速度小于在軌道Ⅱ上運動經過點的加速度【答案】C【詳解】A．由萬有引力提供向心力有得可知，運行速度大小與環繞物體的質量無關，r越小，運行速度越大，高軌低速，即：沿軌道Ⅰ運行的速度大于沿軌道Ⅲ運行的速度，故A錯誤；B．由開普勒第三定律可知，高軌長周期，在軌道Ⅰ上運行的周期小于在軌道Ⅱ上運行的周期，故B錯誤；C．在神舟十二號飛向核心艙的過程中，在橢圓軌道上只受引力作用，萬有引力做負功,引力勢能增大，動能減小，機械能守恒，故C正確；D．由萬有引力提供向心力有得可知與地球距離相等的位置，加速度大小相同，故D錯誤。故選C。2．2021年5月15日，我國“天問一號”探測器成功在火星表面著陸。若某探測器登陸火星前先后沿圖示圓軌道I、橢圓軌道II、圓軌道II運行，B為軌道II的近火點。假設探測器的質量不變，則探測器（）

A．在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期B．在軌道II上運行的向心加速度小于在軌道I上運行的向心加速度C．在軌道II上的動能總是大于在軌道III上的動能D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速【答案】AD【詳解】A．根據開普勒第三定律可知探測器在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期，故A正確；B．根據萬有引力提供向心力有解得所以在軌道II上運行的向心加速度大于在軌道I上運行的向心加速度，且在A點的向心加速度相等，故B錯誤；C．探測器在軌道II上的A點加速進入軌道I，根據萬有引力提供向心力有解得可知探測器在軌道I的速度小于III的速度，進而可知在軌道II上A點的動能小于在軌道III上的動能，故C錯誤；D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速，故D正確。故選AD。考點二天體追及相遇問題知識點天體追及相遇問題基本規律繞同一中心天體，在同一軌道平面內不同高度上同向運行的衛星，因運行周期的不同，兩顆衛星有時相距最近，有時又相距最遠，這就是天體中的“追及相遇”問題。相距最遠當兩衛星位于和中心天體連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)相距最近兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)考向天體追及相遇問題基本規律的應用1．我國的北斗三號衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星共30顆衛星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛星，繞行方向均與地球自轉方向一致。已知地球自轉周期為，衛星B的運行周期為，圖示時刻，衛星A與衛星B相距最近。下列說法正確的是（）

A．衛星A、B、C的向心加速度的大小關系為B．衛星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛星AC．經過時間，衛星A與衛星B又一次相距最近D．衛星A、C的發射速度小于第一宇宙速度【答案】AC【詳解】A．根據得如圖可知，A正確；B．衛星C向后噴氣加速做離心運動，不能追上同軌道的A，B錯誤；C．根據衛星A與衛星B又一次相距最近的時間間隔為，C正確；D．第一宇宙速度是最小發射速度，則衛星A、C的發射速度大于第一宇宙速度，D錯誤；故選AC。2．地球的兩顆衛星繞地球在同一平面內做勻速圓周運動，環繞方向如圖所示。已知衛星一運行的周期為，地球的半徑為，衛星一和衛星二到地球中心的距離分別為，，引力常量為G，某時刻兩衛星與地心連線之間的夾角為，下列說法正確的是（）

A．衛星二的機械能一定大于衛星一的機械能B．地球的質量C．衛星二圍繞地球做圓周運動的周期D．從圖示時刻開始，經過時間兩衛星第一次相距最近【答案】D【詳解】A．因為未知兩衛星的質量，所以無法比較它們機械能的大小，A錯誤；B．對衛星一由牛頓第二定律解得地球質量為故B錯誤；C．由開普勒第三定律可得衛星二圍繞地球做圓周運動的周期故C錯誤；D．兩衛星共線且在同一側時相距最近，設經過t時間，兩衛星第一次相距最近解得故D正確。故選D?？键c三雙星和多星問題知識點1雙星模型(1)模型構建：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖所示。(2)特點：①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。知識點2多星模型(1)模型構建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。(3)四星模型：①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)?？枷?雙星模型1．如圖1所示，河外星系中兩黑洞A、B的質量分別為和，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，簡化為如圖2所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，。下列說法正確的是（）

A．黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質移到黑洞A上，他們之間的引力變大C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，他們運行的周期變大D．人類要把宇航器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，發射速度一定大于第三宇宙速度【答案】BD【詳解】A.黑洞A、B運行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度更大，A錯誤；B.設它們相距為L，角速度為ω，根據牛頓第二定律得；可得則當B的質量減小，A的質量增加時，兩個質量的乘積變大，故它們的引力變大，B正確；C.根據；整理得根據可知角速度不變，周期不變，C錯誤；D.人類要把航天器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，必須沖出太陽系，所以發射速度一定大于第三宇宙速度，D正確。故選BD。2．中國天眼FAST已發現約500顆脈沖星，成為世界上發現脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖是相距為L的A、B星球構成的雙星系統繞O點做勻速圓周運動情景，其運動周期為T。C為B的衛星，繞B做勻速圓周運動的軌道半徑為R，周期也為T，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠大于C與B之間的引力。引力常量為G，則（）A．A、B的軌道半徑之比為 B．C的質量為C．B的質量為 D．A的質量為【答案】D【詳解】B．C繞B做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，有解得故不能求出C的質量，故B錯誤；C．雙星系統在萬有引力作用下繞O點做勻速圓周運動，對A研究對B研究解得雙星的總質量故C錯誤；D．A的質量故D正確；A．A、B的軌道半徑之比為故A錯誤。故選D。考向2多星模型3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，三星質量也相同?，F已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統中三個星體的質量均為m，且兩種系統中各星間的距離已在圖中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（）A．直線形三星系統中星體做圓周運動的線速度大小為B．直線形三星系統中星體做圓周運動的周期為C．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為【答案】D【詳解】A．直線三星系統中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據星體受到另兩個星體的引力作用可得星體做圓周運動的線速度大小為故A錯誤；B．直線三星系統中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據星體受到另兩個星體的引力作用可得解得星體做圓周運動的周期為故B錯誤；C．根據幾何關系可得：三角形三星系統中星體受另外兩個星體的引力作用，圓周運動的軌道半徑為由萬有引力提供向心力得解得三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為故C錯誤；D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為故D正確。故選D。4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的四顆星組成的四星系統，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G。則下列說法正確的是（）A．星體做勻速圓周運動的軌道半徑為B．若實驗觀測得到星體的半徑為R，則星體表面的重力加速度為C．星體做勻速圓周運動的周期為D．每個星體做勻速圓周運動的向心力大小為【答案】ABC【詳解】A．根據題意可知四星系統模型如下所示，四邊形頂點到對角線交點O的距離即為星體做圓周運動的半徑r，根據圖中幾何關系可得故A正確；B．物體在星體表面所受的重力等于星體對其施加的萬有引力，設物體質量為，根據萬有引力定律有解得故B正確；CD．根據題意可知，任意一個星體都受到其他三個星體的引力作用，根據對稱性可知每個星體所受引力合力大小相等，且指向對角線的交點O。對上圖模型中右上角星體分析受力，可知其所受萬有引力合力大小為星體做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有聯立兩式可得故C正確，D錯誤。故選ABC。1．（2023年湖北高考真題）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯妊赝环较蚶@太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為，如圖所示。根據以上信息可以得出（

）

A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C．火星與地球表面的自由落體