復(fù)數(shù)的概念

【概念認(rèn)知】

1.復(fù)數(shù)的概念

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中i叫作虛數(shù)單位,滿足『=二1；復(fù)數(shù)通常用字母

z表示，即2=@+出[,bGR),其中a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

2.復(fù)數(shù)的分類

(2)復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示.

3.復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,bWR}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,deR),我們規(guī)定：a

+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.

【自我小測】

1.(l+/)i的實(shí)部與虛部分別是()

A.1,木B.1+73,0

C.0,1+^3D.0,(1+A/3)i

【解析】選C.(1+#)i可看作0+(1+/)i=a+bi,

所以實(shí)部a=0,虛部b=l+，§.

2.如果(x+y)i=x—1,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為()

A.x=l,y=-1B.x=0,y="1

C.x=l,y=0D.x=0,y=0

【解析】選A.因?yàn)?x+y)i=x—1,

[x+y=0,

所以

[x—1=0,

所以x=l,y=—1.

3.若xi—i?=y+2i,x,y￡R,則復(fù)數(shù)x+yi=()

A.-2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

【解析】選B.由F=-1,得xi—i.2=l+xi,

則由題意得l+xi=y+2i,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x=2,y=l,

故x+yi=2+i.

4.下列命題：

①若a￡R,則(a+l)i是純虛數(shù)；

②若(x2-l)+(X2+3X+2)i(xGR)是純虛數(shù)，則x=±1；

③兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.

其中錯(cuò)誤命題的序號是.

【解析】當(dāng)a=-l時(shí)，(a+l)i=O,故①錯(cuò)誤；若(六一1)+&2+3*+27是純虛數(shù),

[x2-l=0,

[X2+3X+2^0,

即x=l,故②錯(cuò)；兩個(gè)復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實(shí)數(shù)時(shí)，是可以比較大小的，③中忽視了這一特殊

情況，故③錯(cuò).

答案：①②③

5.已知x'+ix+6=2i+5x,若x《R,則x=若xGC,貝陵=

【解析】當(dāng)*￡1^時(shí)?，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得

x~—5x+6=0,

解得x=2；

x=2,

當(dāng)x￡C時(shí)，令乂=@+131.(@,b￡R),

a2—b2—b+6=5a,

則有

,2ab+a=2+5b.

所以x=2或x=3—i.

答案：23—i或2

6.實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(x?+x—6)+(x2-2x-15)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)

純虛數(shù).

【解析】⑴當(dāng)x°—2x—15=0,

即x=-3或x=5時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)X2-2X-15#0,

即xW—3且xW5時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)；

(3)當(dāng)x2+x—6=0且X2—2x—IS^O,

即x=2時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1.設(shè)a,bdR,i是虛數(shù)單位，則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】選B.a+bi為純虛數(shù)，則a=0,bWO,此時(shí)ab=O；反之a(chǎn)b=O不能得出a=0,bWO.

所以“ab=O”是“復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

2.若a,b￡R,且a>b,那么()

A.ai>biB.a+i>b+i

C.ai2>bi2D.bi2>ai2

【解析】選D.虛數(shù)不能比較大小，故A,B錯(cuò)；

因?yàn)閕2=-l,a>b,所以ai2<bi2,故C錯(cuò)D對.

3.如果z=m(m+l)+(m2—l)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()

A.1B.0

C.11D.—1或1

m(m+1)=0,

【解析】選B.由題意知LI。八解得m=0.

向一140,

二、填空題

4.以乖if的虛部為實(shí)部，以81+*i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是.

【解析】mi-y/5的虛部為m，8i2+y/2i=-8+姆i的實(shí)部為一8.

答案：器-8i

5.滿足方程一一2x—3+(9/—6y+l)i=0的實(shí)數(shù)對(x,y)表示的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

X2—2x—3=0,

【解析】由題意知

9y2—6y+l=0,

x=3,

解得I1

共有2個(gè).

答案：2

三、解答題

6.已知復(fù)數(shù)z=(m2+3m+2)+(m2—m—6)i,則當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(l)是實(shí)數(shù);(2)

是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù).

【解析】(1)當(dāng)而一m—6=0,

即m=3或m=-2時(shí)，z為實(shí)數(shù).

⑵當(dāng)而一m—6W0,即mW—2且mW3時(shí),z是虛數(shù).

fm'+3m+2=0,

⑶當(dāng)即m=-l時(shí)，z是純虛數(shù).

【綜合突破練】

一、選擇題

1.已知關(guān)于x的方程x'+(m+2i)x+2+2i=0(m6R)有實(shí)根n,且z=m+ni,則復(fù)數(shù)z=

)

A.3+iB.3-i

C.13—iD.—3+i

【解析】選B,由題意，知n"+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0,

[n2+mn+2=0,

所以一Q八

〔2n+2=0,

m=3,

解得所以z=3—i.

,n=-1,

2.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y￡R)，則()

A.z2^0

B.z的虛部是yi

C.若z=l+2i,則x=Ly=2

D.z為實(shí)數(shù)時(shí)，x+y=O

【解析】選C.對于A選項(xiàng)，Wz=i,則z2=-l〈0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)z的虛

部為y,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，若z=l+2i,則x=l,y=2,C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng),

z為實(shí)數(shù)時(shí)，y=0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3.已知復(fù)數(shù)zi=m+(4—m2)i(m￡R),Z2=2cos0+(入+3sin0)i(X,8WR),并且zi

=Z2,則人的取值范圍為()

99

A.-7W入B.77■〈入W7

9

C.—1WAW1D.一

【解析】選D.由Z1=Z2,

fm=2cos0,

得《消去m,

(4—nf=X+3sin。，

9

得X=4sin0-3sin8=4sin

16,

9

由于一lWsin9Wl,故一二W入W7.

4.(多選)對于復(fù)數(shù)2=@+員(ab￡R),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若a-bi=3+2i,則a=3,b=2

C.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù)

1).z為虛數(shù)時(shí)，bWO

【解析】選AB.因?yàn)閦=a+bi(a,beR),

當(dāng)a=0且bWO時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，故C正確；

z為虛數(shù)時(shí)，bWO,故D正確；

fa=3,[a=3,

對于B：a-bi=3+2i,則彳即故B錯(cuò)誤.

-b=2,b=-2,

圈【加固訓(xùn)練】

(多選題)已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是()

A.若x,yeC,則x+yi=3—2i的充要條件是x=3,y=-2

B.(a'+DiSeR)是純虛數(shù)

C.若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛集一一對應(yīng)

D.當(dāng)m=4時(shí)，復(fù)數(shù)lg(m‘'一2m—7)+(m'+5n1+6)i是純虛數(shù)

【解析】選BD.取x=-2i,y=-3i,則x+yi=3—2i,但不滿足x=3,y=-2,故A錯(cuò)

誤；

VaeR,/+1>0恒成立，所以(a,+l)i是純虛數(shù)，故B正確；若a=0,則ai不是純虛數(shù),

故C錯(cuò)誤；m=4時(shí)，復(fù)數(shù)lg(m,—Zm—7)+(m°+5m+6)i=42i是純虛數(shù)，故D正確.

二、填空題

22

5.log2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,則實(shí)數(shù)x的值是.

【思路導(dǎo)引】復(fù)數(shù)值大于1,則復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù)，即虛部為0,實(shí)部大于1.

22

【解析】因?yàn)閘og2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,

logo(x"—3x-2)>1,x"—3x—2>2,

所以2即2

,log2(x"+2x+l)=0.[x+2x+l=l,

解得x——2.

答案：一2

6.復(fù)數(shù)z=cos仔+9)+isin,且°e—今y，若z是實(shí)數(shù)，則0的

值為；若z為純虛數(shù)，則。的值為—

【解析】z=cos仔+0)

+isin=-sin9+icos9.

當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí)，cos9=0,因?yàn)?e

nf-sin0=0,

所以9=±彳；當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)n

乙[cos9W0,

又0G-y,y,所以0=0.

答案：±20

三、解答題

7.已知集合乂={5+3)+(9—1)-8},集合N={3i,(a-l)+(b+2)i),且MCNM,

MCNW。，求整數(shù)a,b的值.

【解析】若MCN=