PAGEPAGE9四川省成都南開為明學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月月考試題理（說明：試卷總分150分，時(shí)間:120分鐘）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1.與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)為(

)A.B.C.D.2.設(shè)在處可導(dǎo)，則()A. B. C. D.3.正方體中，化簡（）A． B． C． D．4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．5.已知向量，且，則（）A．-1B．2C．-2D．16.在直三棱柱中，已知，，，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．7.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.8.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是,則()A.1 B.2 C.3D.49.在棱長為1的正方體中,為的中點(diǎn),則直線與平面所成角為()A. B. C. D.10.已知，則等于（）A.B.C. D.11.如圖,為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.平面 B.

C.平面 D.異面直線與角為12.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B. C. D.二、填空題：（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量,且與相互垂直,則__________.14.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,其中是的根,現(xiàn)給出下列命題:(1)是的微小值;(2)是極大值;(3)是極大值;(4)是微小值;(5)是極大值.其中正確的命題是__________.(填上正確命題的序號)15.如圖,在三棱柱中,全部棱長均為1,且底面,則點(diǎn)到平面的距離為______.16.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.如圖,在棱長為2的正方體中,為的中點(diǎn).(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角的余弦值.18.已知曲線上一點(diǎn),如下圖,求:

(1)點(diǎn)處切線的斜率;

(2)點(diǎn)處的切線方程.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面,，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．(1)證明:平面；(2)證明:平面.20.設(shè)函數(shù).

1.求的單調(diào)區(qū)間;2.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

21.如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿意,求二面角的余弦值.22.已知函數(shù).(1)探討函數(shù)的單調(diào)性.(2)若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求證:.

參考答案（理數(shù)）1.答案：C解析：.2.答案：A解析：.3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：C7.答案：A解析：.8.答案：B解析：由切線斜率可知.又在切線上,.故選B.9.答案：B解析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則.可得平面的法向量為..直線與平面所成角為.10.答案：B解析：由，得：，取得：，所以，.故.11.答案：D解析：A中因?yàn)?正確;B中因?yàn)?由三垂線定理知正確;C中有三垂線定理可知,故正確;D中明顯異面直線與所成的角為故選D12.答案：D解析：解：．要使函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有微小值，只需方程方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根．即，令，則．在遞增，在遞減．其圖象如下：∴．故選：D．13.答案：解析：14.答案：(1)(2)解析：15.答案：解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則,則設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有解得,則所求距離為.16.答案：解析：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立．因?yàn)椋?7.答案：(1)以,,的正方向分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,可得,所以的長為3.(2)由(1)的坐標(biāo)系,可得,,,,所以,,設(shè)異面直線與所成的角為,所以,即異面直線與所成的角的余弦值.解析：18.答案：1.∵,∴.

∴∴點(diǎn)處切線斜率等于.

2.再點(diǎn)處的斜線方程是,即.解析：19.答案：1.證明:連結(jié)，交于．連結(jié)．∵底面是正方形∴點(diǎn)是的中點(diǎn)．在△中，是中位線，∴//．而平面，且平面，所以,//平面2.∵底面，且底面∴.∵底面是正方形，有,，平面，平面,∴平面．而平面，∴.又∵,是的中點(diǎn)，∴，，平面，平面.∴平面．而平面，∴．又，且，平面，平面，所以平面解析：20.答案：1.定義域?yàn)?由得,∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;

2.,由得,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴的最小值為.解析：21.答案：1.依據(jù)題意,以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),

可得.

由為棱的中點(diǎn),得.證明:向量,

故.所以.

2.向量.

設(shè)為平面的法向量,

則即

不妨令,可得為平面的一個(gè)法向量.

于是有.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

3.向量.

由點(diǎn)在棱上,設(shè).

故.

由,得,因此,

,解得,

則.設(shè)為平面的法向量,

則即

不妨令,可得為平面的一個(gè)法向量.

取平面的一個(gè)法向量,則

.

易知,二面角是銳角,所以其余弦值為.解析：22.答案：(1)由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)