數學本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁．全卷滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1.答題前，請考生務必在答題卡上正確填寫自己的姓名、準考證號和座位號．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回．2.各學科的選擇題，每小題選出的答案須用2B鉛筆在答題卡上把對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦凈后，再選涂其它答案．3.各學科的非選擇題須用0.5mm黑色墨水簽字筆在答題卡上對應題號答題位置作答：在試卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意．1.的相反數是（）A.2024 B. C. D.答案：D解析：詳解：解；的相反數是，故選D．2.如圖所示的幾何體的主視圖是（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：的主視圖為：，故選B．3.3月31日，2024中國產業轉移發展對接活動（四川）材料與化工產業專題對接活動舉行．活動聚焦材料化工產業轉移協作，深化產業鏈供應鏈供需合作，著力推進四川與東部發達地區進一步加深合作，推動四川加快打造富有特色和優勢的具有全球影響力的材料化工產業高地．現場簽約環節，高純鈦、光伏、鋰電等材料化工領域共47個產業化項目簽約落地、簽約金額超1100億元．1100億元用科學記數法表示為（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：1100億，故選：C．4.下列運算不正確的是（）A. B.C. D.答案：C解析：詳解：A.原選項正確，不符合題意；B.原選項正確，不符合題意；C.原選項不正確，符合題意；D.原選項正確，不符合題意；故選C.5.某跳水運動員在一輪跳水比賽中成績分別是（單位：分）：．這組數據的眾數和中位數分別是（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：解：9.0出現了4次，出現次數最多，所以這組數據的眾數為9.0；按從小到大排列為：，中間位置的數為，所以這組數據的中位數為；故選：A．6.如圖，在中，，由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線與交于點E，點F為的中點，連接，若，則的周長為（）A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：由圖中的尺規作圖得：是的平分線，∵，∴是等腰三角形∴，，∴，∴∵點F為的中點，∴，∴的周長，故選：D．7.下列說法不正確的是（）A.五邊形的內角和是B.三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等答案：C解析：詳解：解：A、五邊形的內角和，本選項正確，不符合題意；B、三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角，本選項正確，不符合題意；C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，本選項錯誤，符合題意；D、角平分線上的點到角兩邊的距離相等，本選項正確，不符合題意．故選：C．8.如圖①，在矩形中，動點R從點N出發，沿著向終點M運動．設點R運動的路程為x，的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（）A.當時， B.當時，C.y的最大值是10 D.矩形的周長是18答案：B解析：詳解：解：由圖象可知，四邊形邊長，，，A、當時，點在線段上，，此選項正確，不符合題意；B、當時，點在線段或上，或，此選項答案不全，符合題意；C、的最大值是10，此選項正確，不符合題意；D、矩形的周長是，此選項正確，不符合題意；故選：B．9.如圖，在矩形中，，，點是的中點，連接，平分交于點，連接交于點，則的長為（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：延長交延長線于點，過點作于點，在矩形中，，，，∵平分，，，∴，設，則，∵點是中點，∴，∵，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：．10.拋物線與x軸的一個交點為，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，則以下4個結論：①；②；③，是拋物線（）上的兩個點，若且，則；④若關于x的方程有實數根，則b的取值范圍是．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案：B解析：詳解：解：根據所給函數圖象可知，，，又對稱軸是直線．，故①錯誤．拋物線與軸的一個交點為，，，，，故②正確；拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而減小，又，且，，．故③錯誤．，，，．，當時，，頂點．將方程整理得，，有實數根，拋物線與直線有公共點，，則，解得，故④正確．所以正確的有②④共2個．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11.若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是______．答案：解析：詳解：解：由二次根式在實數范圍內有意義可得：，解得：；故答案為：．12.袋中有1個紅球、3個白球和5個紅球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，則摸到白球的概率是___________．答案：解析：詳解：解：∵袋中有1個紅球、3個白球和5個紅球，一共是9個球，∴從中隨機摸出1個球，則摸出白球的概率是，故答案為：．13.將一副三角板（∠A=30°，∠E=45°）按如圖方式擺放，使得AB//EF，則∠AOF=_______．答案：75°解析：詳解：，，又，，又，，，，，，，，故答案為：75°．14.如圖，已知的內接正六邊形的邊長為4，H為邊的中點，則圖中陰影部分的面積是________．答案：解析：詳解：解：過點作交于點，連接，，∵的內接正六邊形的邊長為4，H為邊的中點，∴，，，為邊的中點，∴，∴，∴，∴，∴扇形面積：，∵，∴陰影部分的面積：，故答案為：．15.如圖，將△ABC沿著過BC的中點D的直線折疊，使點B落在AC邊上的處，稱為第一次操作，折痕DE到AC的距離為；還原紙片后，再將△BDE沿著過BD的中點的直線折疊，使點B落在DE邊上的處，稱為第二次操作，折痕到AC的距離記為；按上述方法不斷操作下去…經過第n次操作后得到折痕到AC的距離記為，若，則的值為______．答案：解析：詳解：解：如圖，連接，由折疊性質可知，，，又∵D是BC中點，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，同理，，……∴經過第n次操作后得到的折痕到BC的距離，故答案為：．16.如圖，在矩形中，，P是邊上的一點，且，E是線段上的一個動點，把沿折疊，點C的對應點為F．當點E與點D重合時，點F恰好落在邊上，則的最小值是_________．答案：##解析：詳解：解：矩形中，，，，，．當點E與點D重合時，點F恰好落在邊上，如下圖所示：設，由折疊的性質可知：，，在中，由勾股定理得，，，在中，由勾股定理得，，解得，．，點P為定點，點F和點C在以點P為圓心，5為半徑的圓上，如圖，連接，與交點即為所求點F，，，，，故答案為：．三、解答題：（本大題共8個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.先化簡，再求值：，其中．答案：解析：詳解：解：，當時．代入原式．18.某中學為了解九年級學生的體能狀況，從九年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測試，測試結果分為A，B，C，D四個等級．請根據兩幅統計圖中的信息回答下列問題：（1）本次抽樣調查共抽取了________名學生．（2）求測試結果為C等級學生數，并補全條形圖；（3）若該中學九年級共有600名學生，請你估計該中學九年級學生中體能測試結果為等級的學生有多少名？（4）若從體能為等級的2名男生2名女生中隨機的抽取2名學生，作為該校培養運動員的重點對象，請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是女生的概率．答案：（1）50（2）名，圖見解析（3）48名（4）解析：小問1詳解：解：（名），即本次抽樣調查共抽取了50名學生；故答案為：50；小問2詳解：解：測試結果為等級的學生數為：（名），補全條形圖如下：；小問3詳解：解：（名），即估計該中學九年級學生中體能測試結果為等級的學生有48名；小問4詳解：解：畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結果，所抽取的兩人恰好都是女生的結果有2個，抽取的兩人恰好都是女生的概率．19.初三體育進入專項訓練，某學校打算采購一批籃球和實心球供同學們使用，調查發現購買3個籃球和4個實心球需170元；購買4個籃球和5個實心球需220元．（1）求籃球、實心球的單價各是多少元？（2）該校計劃采購籃球、實心球共100個，總費用不超過2400元，且籃球個數不少于實心球個數一半，請為該校設計出最省錢的購買方案，并說明理由．答案：（1）籃球的單價是30元，實心球的單價是20元（2）最省錢的購買方案為：購進34個籃球，66個實心球，理由見解析解析：小問1詳解：解：設籃球的單價是元，實心球的單價是元，根據題意得：，解得：．答：籃球的單價是30元，實心球的單價是20元；小問2詳解：解：最省錢的購買方案為：購進34個籃球，66個實心球，理由如下：設該校購進個籃球，則購進個實心球，根據題意得：，解得：．設該校購進籃球、實心球共花費元，則，即，，隨的增大而增大，又，且為正整數，當時，取得最小值，此時（個，最省錢的購買方案為：購進34個籃球，66個實心球．20.如圖，是的直徑，C，D都是上的點，平分，過點D作的垂線交的延長線于點E，交的延長線于點F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的值．答案：（1）見解析（2）2解析：小問1詳解：證明：如圖1，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵D在⊙O上，∴是的切線；小問2詳解：解：如圖，連接，交于H，∵是的直徑，∴，∵，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴．21.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D；點A的坐標為，點C的坐標為．（1）求該反比例函數和一次函數的表達式；（2）連結，，求的面積；（3）請直接寫出的x的取值范圍．答案：（1）一次函數解析式為：．反比例函數解析式為：（2）8（3）或解析：小問1詳解：解：點的坐標為，且在反比例函數圖象上，，反比例函數解析式為：，，點在一次函數圖象上，，解得，一次函數解析式為：．小問2詳解：解：聯立兩個函數解析式得，解得和，，，．小問3詳解：解：根據圖象及兩個函數交點坐標可得，不等式的的取值范圍為：或．22.某興趣小組為測量其所在城市同一水平面上的高鐵東站和高鐵西站之間的距離，將無人機停在空中M處，測得高鐵西站所在的A處的俯角為，再將無人機沿坡度為的方向飛行2千米到達N處，此時測得A處的俯角為，高鐵東站所在的B處的俯角為（點A、B、M、N在同一豎直平面內），求之間的距離．答案：千米解析：詳解：解：過作于，過作于，過作于，如圖，，，，，，，，，，千米，千米，千米，千米，，四邊形是矩形，千米，千米，千米，，，．答：之間的距離為千米．23.在矩形中，E是對角線（E不與點B、D重合）上的點，F，G在直線上，滿足，，圖1圖2（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，連結，若，求的值；（3）連結，在（2）的條件下，若，，求的長．答案：（1）見解析（2）（3）解析：小問1詳解：證明：四邊形是矩形，，∵四邊形是正方形，，，，，，，，，，，在和中，，；小問2詳解：解：∵，∴，∵四邊形是矩形，，，由（1）得，，，，，，，，，，，，，；∴，在中，由勾股定理，得，∴；小問3詳解：解：過點作于，如圖，∵，，∴，，∴，∵四邊形是矩形，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（2）知，∴，由（2）知，∴，∴，∴．24.如圖，拋物線與x軸相交于、兩點，與y軸相交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）P是直線下方拋物線上一動點，當的面積取