2．1.3空間中直線與平面之間的位置關系2．1.4平面與平面之間的位置關系[學習目標]1.了解直線與平面之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示.2.了解平面與平面之間的兩種位置關系，會用符號語言和圖形語言表示．[知識鏈接]1．空間中兩條直線的位置關系有平行、相交、異面．2．異面直線所成角的范圍為(0°，90°]．[預習導引]1．直線與平面的位置關系位置關系定義圖形語言符號語言直線在平面內有無數個公共點a?α直線與平面相交有且只有一個公共點a∩α＝A直線與平面平行沒有公共點a∥α2.兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點平面α與平面β平行α∥β沒有公共點平面α與平面β相交α∩β＝l有一條公共直線要點一直線與平面的位置關系例1以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個數是()A．0B．1C．2D．3答案A解析如圖所示在長方體ABCDA′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯誤．規律方法1.本題在求解時，常受思維定勢影響，誤以為直線在平面外就是直線與平面平行．2．判斷直線與平面位置關系的問題，其解決方式除了定義法外，還可以借助模型(如長方體)和舉反例兩種行之有效的方法．跟蹤演練1下列命題：①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，直線b?α，那么直線a平行于平面α內的無數條直線．其中假命題的序號是________．答案①②③解析對于①，∵直線l雖與平面α內無數條直線平行，但l有可能在平面α內，∴l不一定平行于α，∴①是假命題．對于②，∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命題．對于③，∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α內，∴a不一定平行于α，∴③是假命題．對于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a可以與平面α內的無數條直線平行，∴④是真命題．要點二平面與平面的位置關系例2給出的下列四個命題中，其中正確命題的個數是()①平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；②平面α內有無數條直線和平面β平行，則α與β平行；③平面α內△ABC的三個頂點到平面β的距離相等，則α與β平行；④若兩個平面有無數個公共點，則這兩個平面的位置關系是相交或重合．A．0B．1C．3D．4答案A解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分別取AA1、DD1的中點E，F，連接EF，則知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1是相交的，交線為A1D1，故命題①錯．對于②，在正方體ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，與平面A1B1C1D1平行的直線有無數條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直線A1D1，故②是錯誤的．對于③，在正方體ABCDA1B1C1D1中，分別取AA1，DD1，BB1，CC1的中點E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距離相等，而△A1BC與平面EFHG相交，故③是錯誤的．對于④，兩平面位置關系中不存在重合，若重合則為一個平面，故命題④錯．規律方法1.判斷兩平面的位置關系或兩平面內的線線，線面關系，我們常根據定義，借助實物模型“百寶箱”長方體(或正方體)進行判斷．2．反證法也用于相關問題的證明．跟蹤演練2如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能確定答案C解析如圖所示，由圖可知C正確．1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數條直線不相交D．任意一條直線不相交答案D解析直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內的直線當然均無公共點．2．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關系為()A．平行B．相交C．直線在平面內D．平行或直線在平面內答案D解析由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個平行平面中的一個平面內，則這條直線與另一個平面無公共點，所以與另一個平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在其中一個平面內．否則此直線與另一個平面平行(因為若一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必然與另一個平面相交)．3．若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定答案B解析∵M∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點M的一條直線．4．α、β是兩個不重合的平面，下面說法正確的是()A．平面α內有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內有無數條直線平行于平面β，那么α∥βC．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α內所有的直線都與平面β平行，那么α∥β答案D解析A、B都不能保證α、β無公共點，如圖①；C中當a∥α，a∥β時，α與β可能相交，如圖②；只有D說明α、β一定無公共點，故選D.5．下列命題：①兩個平面有無數個公共點，則這兩個平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯誤命題的序號為________．答案①②解析對于①，兩個平面相交，則有一條交線，也有無數多個公共點，故①錯誤；對于②，借助于正方體ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯誤．1.空間中直線與平面的位置關系有兩種分類方式2．判斷直線與平面及平面與平面位置關系常用定義和反證法．一、基礎達標1．若a，b是異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關系是()A．b∥αB．相交C．b?αD．b?α、相交或平行答案D解析如圖所示，選D.2．直線a在平面γ外，則()A．a∥γB．a與γ至少有一個公共點C．a∩γ＝AD．a與γ至多有一個公共點答案D解析直線a在平面γ外，包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義，故a與γ至多有一個公共點．3．如果平面α外有兩點A、B，它們到平面α的距離都是a，則直線AB和平面α的位置關系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB?α答案C解析結合圖形可知選項C正確．4．以下四個命題：①三個平面最多可以把空間分成八部分；②若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價；③若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈l；④若n條直線中任意兩條共面，則它們共面．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案D解析對于①，正確；對于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b；對于③，正確；對于④，反例：正方體的側棱任意兩條都共面，但這4條側棱卻不共面，故④錯．所以正確的是①③.5．在長方體ABCDA1B1C1D1的六個表面與六個對角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面共有()A．2個B．3個C．4個D．5個答案B解析如圖所示，結合圖形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.6．若a與b異面，則過a與b平行的平面有________個．答案1解析當a與b異面時，如圖，過a上任意一點M作b′∥b，則a與b′確定了唯一的平面α，且b∥α，故過a與b平行的平面有1個．7．已知一條直線與一個平面平行，求證：經過這個平面內的一點與這條直線平行的直線必在這個平面內．解已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求證：b?α.證明如右圖，∵a∥α，A∈α，∴A?a，∴由A和a可確定一個平面β，則A∈β，∴α與β相交于過點A的直線，設α∩β＝c，由a∥α知，a與α無公共點，而c?α，∴a與c無公共點．∵a?β，c?β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，∴b與c重合．∴b?α.二、能力提升8．教室內有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線()A．異面B．相交C．平行D．垂直答案D解析若尺子與地面相交，則C不正確；若尺子平行于地面，則B不正確；若尺子放在地面上，則A不正確．所以選D.9．如果空間的三個平面兩兩相交，則下列判斷正確的是________(填序號)．①不可能只有兩條交線；②必相交于一點；③必相交于一條直線；④必相交于三條平行線．答案①解析空間的三個平面兩兩相交，可能只有一條交線，也可能有三條交線，這三條交線可能交于一點．10．下列命題正確的是________．①如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內的無數條直線垂直；②若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；④若兩個平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．答案①③解析對于①，把一直角三角板的一直角邊放在桌面內，讓另一直角邊抬起，即另一直角邊與桌面的位置關系是相交，可以得出在桌面內與直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直，∴命題①正確．對于②，α、β也可能相交，②不正確；對于③，若a與b相交，則α與β相交與條件矛盾，③正確；對于④，當a與b重合時，a在β內，當a∥b時，a∥β，當a與b相交時，a與β相交，④不正確．11.如圖，平面α、β、γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b、a與β的關系并證明你的結論．解a∥b，a∥β.證明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b無公共點．又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α與β無公共點．又a?α，∴a與β無公共點，∴a∥β.三、探究與創新12.如圖，已知平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α，點C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關系？證明你的結論．解平面ABC與β的交線與l相交．證明如下：∵AB與l不平行，且