第二節數列的極限一、數列極限的定義二、收斂數列的性質一、數列極限的定義概念的引入正六邊形的面積A1正形的面積正十二邊形的面積A2計算圓的面積1.數列的概念按照某一法則,對每一nN,對應著一種擬定的實數xn,則得到一種序列 x1,x2,x3,,xn,,這一序列叫做數列,記為{xn},第n項xn叫做數列的普通項.注意：(1).數列對應著數軸上一種點列.可看作一動點在數軸上依次取(2).數列是整標函數2.數列極限的通俗定義當n無限增大時,如果數列{xn}的普通項xn無限靠近于常數a,則常數a稱為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂a,記為axnn=￥?lim.

當n無限增大時,xn無限靠近于a.當n無限增大時,|xn-a|無限靠近于0.當n無限增大時,|xn-a|能夠任意小,要多小就能有多小.當n增大到一定程度后來,|xn-a|能不大于事先給定的任意小的正數.因此,若n增大到一定程度后來,|xn-a|能不大于事先給定的任意小的正數,則當n無限增大時,xn無限靠近常數a.3.數列極限的精擬定義

設{xn}為一數列

如果存在常數a

對于任意給定的正數e

總存在正整數N

使得當n>N時

不等式|xn

a|<e都成立

則稱常數a是數列{xn}的極限

或者稱數列{xn}收斂于a

記為或如果數列沒有極限,就說數列是發散的.習慣上也說極限定義的簡記形式

0,

N

N

當n

N時

有|xn

a|

.

注：(1).e的任意性，它是描述xn與a的無限靠近程度.(2).N與ε有關，但不唯一.(3)幾何解釋:(4).數列極限的定義未給出求極限的辦法.當n>N時,全部的點xn都落在開區間(a-e,a+e),只有有限個(至多只有N個)落在這區間以外.二、收斂數列的性質

定理1(極限的唯一性)

如果數列{xn}收斂

那么它的極限唯一

證明:

假設同時有axnn=￥?lim及bxnn=￥?lim,

且a<b.

按極限的定義,

對于2ab-=e>0,

存在充分大的正整數N,

使當n>N時,同時有

|xn-a|<2ab-=e

及|xn-b|<2ab-=e,

因此同時有

2abxn+<及2abxn+>,

這是不可能的.因此只能有a=b.定理2(收斂數列的有界性)收斂數列{xn}一定有界.證:設取則當時,有從而有取

則有由此證明收斂數列必有界.注此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數列定理3(收斂數列的保號性)

若時,有證:對a>0,取推論:若數列從某項起子數列的收斂性注：例如，所謂子數列是指：數列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列{xn}中的先后次序，這樣得到的一個數列稱為原數列{xn}的子數列（或子列）.

在子數列中，一般項是第k項，而在原數列中卻是第項，顯然，

定理4(收斂數列與子數列間的關系）如果數列{xn}收斂于a，那末它任一子數列也收斂,且極限也是a.證:

設數列是數列的任一子數列.若則當

時,有現取正整數K,使于是當時,有從而有由此證明******************************************注:若數列有兩個子數列收斂于不同的極限,則原數列一定發散.故數列發散.

證：因為當時,證明數列是發散的.收斂準則

單調增加有上界的數列必有極限；單調減少有下界的數列必有極限.內容小結1.數列極限的“–N”定義及應用2.收斂數列的性質:唯一性;有界性