第一章質點運動學惠州學院電子科學系葉凡1.2位置位矢位移速度加速度1.4運動學中的兩類基本問題1.5相對運動教學內容1.1參照系坐標系物理模型1.3曲線運動的描述第一章質點運動學前言

以物理學基礎為內容的大學物理課程，是高等學校理工科各專業學生一門重要的必修基礎課。該課程所教授的基本概念、基本理論和基本方法是構成學生科學素養的重要組成部分，培養學生樹立科學的世界觀，增強學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的探索精神和創新意識等方面，具有其他課程不能替代的重要作用.它的理論滲透在自然科學的一切領域中，所以它是整個自然科學和現代工程技術的基礎。更是一個科學工作者和高級工程技術人員所必備的。本課程已被教育部列入六門重點基礎課之一。6

本課程作用，一方面在于為各專業學生打好必要的物理基礎，培養學生現代的科學的自然觀、宇宙觀和辯證唯物主義世界觀，培養學生的探索、創新精神，培養學生的科學思維能力，掌握科學方法；另一方面，學生在大學物理課中接觸了許多物理現象，獲得了許多物理知識和物理思想，初步學習了科學的思維方法和研究方法，所有這些都起著開闊思路、增強適應性、提高人才素質的重要作用，另外不僅對學生的在校學習，更重要的是對學生畢業后的工作和進一步學習新理論和新技術、不斷更新知識將產生長遠的影響。7返回目錄下一頁上一頁8力學的研究對象：機械運動。機械運動：是指一個物體相對于另一物體（或物體的這一部分相對于另一部分）的位置隨時間的變化。返回目錄下一頁上一頁9根據問題的性質可將力學分為運動學和動力學運動學：只研究物體運動的幾何特性，不考慮物體本身固有屬性（如質量）和外來影響（如作用力），將物體的運動用數學語言來描述。動力學：研究物體作機械運動的內在因素（如質量）和外來影響（如作用力）之間的關系。從運動形式上分，運動又可分為：平動、轉動、振動、波動返回目錄下一頁上一頁101.1.1運動的絕對性和相對性1.1參考系坐標系物理模型例如,觀察表明：v地日＝30kms-1,

這說明，一切運動都是絕對的，因此只有討論相對意義上的運動才有意義。v日銀＝25０kms-1,v銀銀＝600kms-1返回目錄下一頁上一頁11

運動描述的相對性：即選不同的參考系，運動的描述是不同的。V例如，在勻速直線運動的火車上所作的自由落體運動，火車上的觀察者：物體作勻變速直線運動；地面上的觀察者：物體作平拋運動。

描述物體運動時被選作參考（標準）的物體或物體群——稱為參考系。返回目錄下一頁上一頁1.1.2參考系121.1.3坐標系極軸

為定量地描述物體位置而引入。

常用的有直角坐標系，根據需要，也可選用極坐標系、自然坐標系、球面坐標系或柱面坐標系等。

極坐標系返回目錄下一頁上一頁平面極坐標

設一質點在平面內運動，某時刻它位于點A.矢徑與軸之間的夾角為.于是質點在點A

的位置可由來確定.以

為坐標的參考系為平面極坐標系.13A返回目錄下一頁上一頁YOXs<0s>0自然坐標系它與直角坐標系之間的變換關系為自然坐標系1.1.3坐標系14直角坐標系球坐標系返回目錄下一頁上一頁151.1.4物理模型

對真實的物理過程和對象，根據所討論的問題的基本要求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數學方法描述的理想模型。*關于物理模型的提出（１）明確所提問題；（３）突出主要因素，提出理想模型；

“理想模型”是對所考察的問題來說的，不具有絕對意義。（２）分析各種因素在所提問題中的主次；（４）實驗驗證。返回目錄下一頁上一頁16

1理想質點模型真實的物體不滿足上述條件時，則可將其視為滿足第一個條件的質點系。當物體的形狀、大小與所研究的問題無關或者對運動的影響很小可以忽略不計時，近似地把物體看成一個具有一定質量、能量等某些物理屬性而沒有形狀大小的理想物體，稱為質點。

物體自身線度l與所研究的物體運動的空間范圍r相比可以忽略；兩個條件中，具一即可。或者物體只作平動。返回目錄下一頁上一頁選用質點模型的前提條件是1.1.4物理模型172理想剛體模型物體在外力作用下或在運動過程中保持其形狀和大小都不變，亦即在任何情況下物體內任意兩點間的距離保持不變，這樣的理想物體稱為剛體。

當物體自身線度l與所研究的物體運動的空間范圍r比不可以忽略；物體又不作平動時，即必須考慮物體的空間方位，我們可以引入剛體模型。

剛體也是一個各質點之間無相對位置變化且質量連續分布的質點系。返回目錄下一頁上一頁1.1.4物理模型18參照系YZXoP(x,y,z)

1.2

位置矢量位移速度加速度1.2.1位置矢量

返回目錄下一頁上一頁1位置矢量---從參考點指向質點所在位置的有向線段19Pr參照系YZXO----(2)X=X（t

）Y=Y（t）Z=Z（t

）{返回目錄下一頁上一頁2位置坐標

質點P在直角坐標系中的位置可由P所在點的三個坐標（x，y，z）來確定

1.2.1位置矢量

20其在直角坐標系中為

在極坐標系中

在自然坐標系中

返回目錄下一頁上一頁

的方向余弦是1.2.1位置矢量

213運動方程和軌道方程表示為：

或

運動方程是時間t的顯函數。a、質點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數式稱為運動方程。b、質點在空間所經過的路徑稱為軌道（軌跡）。

從上式中消去t即可得到軌道方程。軌道方程不是時間t顯函數。返回目錄下一頁上一頁1.2.1位置矢量

22

返回目錄下一頁上一頁1.2.1位置矢量

231.2.2

位移BABA

經過時間間隔后,質點位置矢量發生變化,把由始點A指向終點B

的有向線段稱為點A

到B的位移矢量,簡稱位移.返回目錄下一頁上一頁24

位移的大小為BA位移若質點在三維空間中運動

路程（）:質點實際運動軌跡的長度.返回目錄下一頁上一頁1.2.2

位移25位移的物理意義A)

確切反映物體在空間位置的變化,與路徑無關，只決定于質點的始末位置.B）反映了運動的矢量性和疊加性.注意位矢長度的變化返回目錄下一頁上一頁1.2.2

位移26位移與路程

（B）

一般情況,位移大小不等于路程.

（D）位移是矢量,路程是標量.（C）什么情況？不改變方向的直線運動;當時.討論

（A）P1P2

兩點間的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的.返回目錄下一頁上一頁1.2.2

位移271.2.3

速度

1

平均速度

在

時間內,質點從點A運動到點

B,其位移為時間內,質點的平均速度平均速度與同方向.或BA返回目錄平均速度大小下一頁上一頁282速率

返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

293瞬時速度

當質點做曲線運動時，質點在某一點的速度方向就是沿該點曲線的切線方向.

當時平均速度的極限值叫做瞬時速度，簡稱速度當時，返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

30瞬時速率：速度的大小稱為速率若質點在三維空間中運動,其速度為返回目錄下一頁上一頁4速度的分量形式1.2.3

速度

31討論

一運動質點在某瞬時位于矢徑的端點處，其速度大小為（A）（B）（B）（B）（C）（D）返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

32速度大小速度方向速度大小速度方向返回目錄下一頁上一頁33

返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

34

返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

35思考：提示：例1-3在離水平高度為的岸邊，一人以勻速率拉船，求船離岸邊遠處的速度。三角形任意兩邊之差小于第三邊返回目錄下一頁上一頁1.2.3

速度

36忽略船高和滑輪高度解:負號表示沿x軸負向返回目錄下一頁上一頁

1.2.3

速度

371平均加速度B與同方向.

單位時間內的速度增量即平均加速度2（瞬時）加速度1.2.4

加速度A返回目錄下一頁上一頁38的大小返回目錄下一頁上一頁3加速度的分量形式1.2.4

加速度39

嗎？

討論在Ob上截取有速度方向變化速度大小變化返回目錄下一頁上一頁1.2.4

加速度40O問嗎？

討論因為所以而例勻速率圓周運動所以返回目錄下一頁上一頁

1.2.4

加速度41返回目錄下一頁上一頁

1.2.4

加速度42例1-5如圖1.5，一人用繩子拉著小車前進，小車位于高出繩端h的平臺上，人的速率v0不變，求小車的速度和加速度大小.

解小車沿直線運動，以小車前進方向為x軸正方向，以滑輪為坐標原點，小車的坐標為x，人的坐標為s，由速度的定義，小車和人的速度大小應為由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐標的變化率等于拉小車的繩長的變化率，即圖1.5返回目錄下一頁上一頁

1.2.4

加速度43又由圖1.5可以看出有，兩邊對t求導得或返回目錄下一頁上一頁同理可得小車的加速度大小為1.2.4

加速度440X例1-6：一質點從X=0處以v=v0沿X軸運動，已知加速度a=-kv，求質點運動的速度及位置坐標。已知：求：解：兩邊積分：（分離變量）返回目錄下一頁上一頁1.2.4

加速度45返回目錄下一頁上一頁1.2.4

加速度461.2.5直線運動質點直線運動的運動方程

質點在直線運動中的速度

質點在直線運動中的加速度

返回目錄下一頁上一頁471.3曲線運動的描述1.3.1自然坐標系

1坐標架單位矢：方向通常指向前進方向，方向指向曲線凹側返回目錄下一頁上一頁482位置表示法從O/點起，p點的弧長為S——弧坐標返回目錄下一頁上一頁3元位移1.3曲線運動的描述491.3.2速度和加速度的自然坐標表示P1P2ABC△

△

返回目錄下一頁上一頁50a、切向加速度b、法向加速度返回目錄下一頁上一頁1.3.2速度和加速度的自然坐標表示51※將a向不同的坐標軸中投影注意的區別引入曲率、曲率半徑返回目錄下一頁上一頁1.3.2速度和加速度的自然坐標表示52例1-7：一質點沿半徑為R的圓周運動，質點所經過的弧長與時間的關系為：其中b、c是大于零的常量，求從t=0開始到達切向加速度與法向加速度大小相等時所經歷的時間解：由題意解得：返回目錄下一頁上一頁1.3.2速度和加速度的自然坐標表示53例1-8以速度v0

平拋一小球，不計空氣阻力，求t時刻小球的切向加速度量值a

、法向加速度量值an和軌道的曲率半徑ρ.

解：由圖可知

返回目錄下一頁上一頁1.3.2速度和加速度的自然坐標表示541圓周運動的角量描述角位移（1）基本知識

角位置s返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述55角速度方向:右手螺旋，四指表示質點旋轉方向；大拇指表示角速度方向！(2)角速度(3)角加速度返回目錄下一頁上一頁

1.3.3圓周運動的角量描述56

(4)

勻變角加速圓周運動公式

注意：僅適用于角加速度為恒量情況.返回目錄下一頁上一頁

若=常量，t=0時，

＝

0，

＝

0,可求勻變角加速圓周運動公式.1.3.3圓周運動的角量描述57位矢速度加速度勻速率圓周運動：

元位移(1)圓周運動的線量描述返回目錄下一頁上一頁2線量與角量的關系1.3.3圓周運動的角量描述58返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述59

對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種是正確的：

（A）切向加速度必不為零；（B）法向加速度必不為零（拐點處除外）；（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；（D）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零；（E）若物體的加速度為恒矢量，它一定作勻變速率運動.討論返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述60

質點作半徑為R的變速圓周運動的加速度大小為：（1）（2）（3）（4）討論返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述61例1-9一飛輪以轉速n＝1500轉每分(rev/min)轉動，受制動后而均勻地減速，經t＝50s后靜止.(1)求角加速度

和從制動開始到靜止飛輪的轉數N；(2)求制動開始后t＝25s時飛輪的角速度ω；(3)設飛輪的半徑R＝1m，求t＝25s時飛輪邊緣上任一點的速度和加速度.解

(1)由題知，當t＝50s時ω＝0，故由式(1.26)可得：從開始制動到靜止，飛輪的角位移及轉數分別為：返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述62(2)t＝25s時飛輪的角速度為：(3)t＝25s時飛輪邊緣上任一點的速度為相應的切向加速度和向心加速度為：返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述63

返回目錄下一頁上一頁1.3.3圓周運動的角量描述64

1.3.3圓周運動的角量描述返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題一維運動問題:一維運動問題:66返回目錄下一頁上一頁

1.4運動學中的兩類問題67x=3t

，y=-4t2解將運動方程寫成分量式消去參變量t，得軌道方程：4x2

＋9y＝0，這是頂點在原點的拋物線.見圖1.11.由速度定義得圖1.11返回目錄下一頁上一頁例1-11已知一質點的運動方程為，式中

以m計，t以s計，求質點運動的軌道、速度、加速度.1.4運動學中的兩類問題68由加速度的定義得即加速度的方向沿y軸負方向，大小為其模為，與x軸的夾角返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題69解由速率定義，有例1-12一質點沿半徑為1m的圓周運動，它通過的弧長s按s＝t＋2

的規律變化.問它在2s末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？將t＝2代入，得2s末的速率為由切向加速度的定義，得

返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題70解：因為例1-13一飛輪半徑為2m，其角量運動方程為θ＝2＋3t－4

(SI)，求距軸心1m處的點在2s末的速率和切向加速度.將t＝2代入，得切向加速度為在距軸心1m處的速率為

＝Rω＝－45m/s返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題71分離變量得解(1)因為

因為t＝0時，，所以.代入，并整理得例1-14

一質點沿x軸運動，其加速度

，式中k為正常數，設t=0時，x=0，（1）求和x作為t的函數的表示式；（2）求作為x函數的表示式。返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題72因為t＝0時，x＝0，所以

＝0.于是再由，將

的表示式代入，并取積分返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題73(2)因為所以有分離變量，并取積分因為x＝0時，

，所以代入，并整理得返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題74返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題75

返回目錄下一頁上一頁1.4運動學中的兩類問題761.5相對運動

引出：運動是絕對的，運動的描述具有相對性。以車站為參照系以汽車為參照系車站車站返回目錄下一頁上一頁771運動參照系，靜止參照系(１)“靜止參照系”、“運動參照系”都是相對的。對于一個處于運動參照系中的物體，相對于靜止參照系的運動稱為絕對運動;相對于觀察者為靜止的參照系,稱為靜止參照系。相對于觀察者為運動的參照系,稱為運動參照系。X’運動參照系相對于靜止參照系的運動稱為牽連運動;物體相對于運動參照系的運動稱為相對運動。返回目錄下一頁上一頁1.5相對運動

78XYOSX/Y/O/S/v0?P(2)參照系彼此之間有相對運動（非相對論效應）P對于O點的位矢為絕對位矢O/對于O點的位矢為牽連位矢P對于O/點的位矢為相對位矢在牛頓的時、空觀中即絕對位矢=牽連位矢+相對位矢返回目錄下一頁上一頁

設Ｓ／系相對Ｓ系以速度運動，P為S/系中的一個質點，1.5相對運動

79*速度變換位移關系P質點在相對作勻速直線運動的兩個坐標系中的位移S

系系

返回目錄下一頁上一頁1.5相對運動

80

伽利略速度變換若則

注意當接近光速時，伽利略速度變換不成立！加速度關系絕對速度相對速度牽連速度返回目錄下一頁上一頁1.5相對運動

814同一參照系內，質點系各質點之間的相對運動兩質點間的相對位矢，即B對A的位矢為

B對A的相對速度B對A的相對加速度

若一質點系同在某一基本參考系內運動，如果我們討論的是質點系內各質點間的相對運動，則有時運用下面的方法要方便些。

設A、B為質點系內的兩個質