重難點5-1數列通項公式的求法數列的通項公式求法是高考數學的必考考點，通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查。難度中等，但有時在同一個題目中會涉及到多種方法綜合性較強。【題型1觀察法求通項】滿分技巧已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項．【例1】（2023·河北張家口·高三尚義縣第一中學校聯考階段練習）已知數列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是這個數列的（）A．第21項B．第22項C．第23項D．第24項【變式1-1】（2023·內蒙古通遼·高三校考階段練習）數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個通項公式是an=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·河南·高三校聯考期中）數列SKIPIF1<0的一個通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數列的通項可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-4】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）南宋數學家楊輝所著的《解析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數為（）A．561B．595C．630D．666【題型2由Sn與an關系求通項】滿分技巧若已知數列的前項和與SKIPIF1<0的關系，求數列SKIPIF1<0的通項SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0構造兩式作差求解．用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合為一個表達，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）．【例2】（2023·山東濰坊·高三校考期中）數列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則該數列的第4項為（）A．19B．20C．21D．22【變式2-1】（2023·陜西渭南·高三校考階段練習）數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式2-2】（2023·黑龍江·校聯考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0是等比數列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-3】（2023·四川·校聯考三模）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-4】（2023·全國·模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的最大值是．【題型3累加法求通項】滿分技巧適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解【例3】（2023·福建·高三校聯考期中）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則正整數SKIPIF1<0為（）A．13B．12C．11D．10【變式3-1】（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學校考期中）已知SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·山西·高三校聯考階段練習）在等比數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式3-3】（2023·上海普陀·統考一模）若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值是.【變式3-4】（2023·北京·高三匯文中學校考期中）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則集合SKIPIF1<0中元素的個數為.【題型4累乘法求通項】滿分技巧適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數列通項公式.【變式4-1】（2023·山東青島·高二青島二中校考階段練習）若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數SKIPIF1<0為（）A．28B．29C．30D．31【變式4-2】（2023·河南·模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．4045D．4047【變式4-3】（2023·重慶·高三重慶八中校考階段練習）已知正項數列SKIPIF1<0的前n項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0的最小正整數n的值為（）A．4B．5C．6D．7【變式4-4】（2023·河南·高三校聯考開學考試）數列SKIPIF1<0的首項為2，等比數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【題型5構造法求通項】滿分技巧1、形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）型設SKIPIF1<0，展開移項整理得SKIPIF1<0，與題設SKIPIF1<0比較系數（待定系數法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列．2、形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型（1）當SKIPIF1<0為一次函數類型（即等差數列）時：設SKIPIF1<0，通過待定系數法確定SKIPIF1<0的值，轉化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設SKIPIF1<0，通過待定系數法確定SKIPIF1<0的值，轉化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列SKIPIF1<0，再利用等比數列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，兩邊同時乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構造等比數列。法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0。【例5】（2023·江蘇淮安·盱眙中學校考模擬預測）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）（多選）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-3】（2023·山西太原·高三統考期中）（多選）已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是遞增數列C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·浙江·模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（1）試求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0.【題型6倒數法求通項】滿分技巧形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數)，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項；②若p≠r，則轉化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數法構造新數列求解【例6】（2022·重慶·高三西南大學附中校考階段練習）已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2023·全國·高三課時練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前2017項和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-2】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0各項均為正數，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-3】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）已知數列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則n的最大值為．【題型7三項遞推法求通項】滿分技巧適用于形如SKIPIF1<0型的遞推式用待定系數法，化為特殊數列SKIPIF1<0的形式求解．方法為：設SKIPIF1<0，比較系數得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數列，這樣就化歸為SKIPIF1<0型．【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．18B．24C．30D．36【變式7-2】（2023·廣東茂名·高三校考階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通項SKIPIF1<0.【變式7-4】（2023·全國·高三對口高考）數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式為．【題型8不動點法求通項】滿分技巧（1）定義：方程SKIPIF1<0的根稱為函數SKIPIF1<0的不動點．利用函數SKIPIF1<0的不動點，可將某些遞推關系SKIPIF1<0所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法．（2）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數），=1\*GB3①當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0為等差數列；=2\*GB3②當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0為常數數列；=3\*GB3③當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0為等比數列；=4\*GB3④當SKIPIF1<0時，稱SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的一階特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，這時數列SKIPIF1<0的通項公式為：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項SKIPIF1<0，其特征方程為SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二異根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)【例8】（2023·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）求數列SKIPIF1<0的通項公式．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0滿足性質：對于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項公式.【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習）已知數列的遞推公式SKIPIF1<0，且首項SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式．【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）數列SKIPIF1<0滿足下列關系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式．【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數列SKIPIF1<0的通項公式．（建議用時：60分鐘）1．（2023·四川內江·校考模擬預測）已知數列1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則7是這個數列的（）A．第21項B．第23項C．第25項D．第27項2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中學校考期中）設SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9B．27C．81D．1013．（2023·陜西安康·安康中學校考模擬預測）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·陜西漢中·高三統考階段練習）設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前9項和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·天津北辰·高三統考期中）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．16D．326．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·全國·高三專題練習）數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2022·高二單元測試）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多選）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0