PAGE6.5.3-高考中的解三角形問(wèn)題-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cos∠BAC=13,點(diǎn)D在BC邊上且AD=4則sin∠ADC=()A.63 B.13 C.332.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asinA+2csinC=2bsinCcosA,則角A的最大值為()A.π6 B.π4 C.π3 3.(5分)在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),AD=6,BD=3,∠ABC=45°,則sin∠ADC的值為()A.2+33 B.1+24 C.1+4.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)M,且BM∶MC=2∶3.若∠AMB=60°,則AB+ACBCA.2 B.5 C.7 5.(5分)(多選題)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,則(A.sin∠CDB=3B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長(zhǎng)為8+45D.△ABC為鈍角三角形6.(5分)已知△ABC為銳角三角形,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),且CD⊥BE,則cosA的取值范圍是()A.12,1C.45,17.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),AM=23,則AC=,cos∠MAC=.

8.(5分)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為.

9.(5分)(2022·全國(guó)甲卷)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=【加練備選】已知D是△ABC邊AC上一點(diǎn),且CD=3AD,BD=2,cos∠ABC=14,則3AB+BC的最大值為10.(10分)在△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),AD=5,AC=7.(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;(2)若D為BC的中點(diǎn),且AB=19,證明:∠ADC=2∠ADB.11.(10分)(2023·武漢模擬)在①a=7,②AC邊上的高為332,③sinB=21問(wèn)題:記△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=60°,c=b+1,.

(1)求c的值;(2)設(shè)AD是△ABC的角平分線,求AD的長(zhǎng).【能力提升練】12.(5分)頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”,黃金三角形看起來(lái)既標(biāo)準(zhǔn)又美觀.如圖所示,△ABC是黃金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,易知△BCD也是黃金三角形.若BC=1,則AB=;借助黃金三角形可計(jì)算sin234°=.

13.(5分)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),且BD=2CD,AD=BD,則tan∠BAC·cos2B的最大值為.

14.(10分)如圖,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.(1)若∠ABC=30°,求DC.(2)記∠ABC=θ,當(dāng)θ為何值時(shí),△BCD的面積S有最小值?求出最小值.6.5.3-高考中的解三角形問(wèn)題-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cos∠BAC=13,點(diǎn)D在BC邊上且AD=4則sin∠ADC=()A.63 B.13 C.33【解析】選A.在△ABC中,由余弦定理得BC=AB2+所以BC=AB,所以∠BCA=∠BAC,所以sin∠BCA=sin∠BAC=1-19在△ADC中,由正弦定理得ADsin∠DCA=ACsin∠ADC,即所以sin∠ADC=632.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asinA+2csinC=2bsinCcosA,則角A的最大值為()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選A.因?yàn)閍sinA+2csinC=2bsinCcosA,由正弦定理可得a2+2c2=2bccosA①,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA②,由①②可得2a2=b2-c2,所以cosA=b2+c2-因?yàn)閎2+3c2≥2b2·3c2=23bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=3c時(shí)取等號(hào),所以cosA又A∈(0,π),所以角A的最大值為π63.(5分)在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),AD=6,BD=3,∠ABC=45°,則sin∠ADC的值為()A.2+33 B.1+24 C.1+【解析】選C.如圖,在△ABD中,由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsin∠BAD,即6sin45°=3又BD<AD,則∠BAD<∠ABC,故∠BAD只能是銳角,故cos∠BAD=144所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin(∠BAD+45°)=24×22+144×24.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)M,且BM∶MC=2∶3.若∠AMB=60°,則AB+ACBCA.2 B.5 C.7 【解析】選C.因?yàn)锳M平分∠BAC,由角平分線的性質(zhì):所以ABAC=BMCM=23,設(shè)AB=2k(k>0),則AC=3k,由正弦定理:2BC3BC5sin∠CAM①+②可得:BCsin∠BAM=5k32所以cos∠BAC=1-2sin2∠BAM=50k根據(jù)余弦定理:(BC)2=(2k)2+(3k)2-2×2k×3k·50k2-3B則AB+ACBC=55.(5分)(多選題)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,則(A.sin∠CDB=3B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長(zhǎng)為8+45D.△ABC為鈍角三角形【解析】選BCD.由cos∠CDB=-55sin∠CDB=1-15設(shè)CD=x,CB=2x,在△CBD中,由余弦定理,可得-55=9+整理可得,5x2-25x-15=0,解得x=5,即CD=5,CB=25,所以S△ABC=S△BCD+S△ADC=12×3×5×2由余弦定理,可知cosB=CB2+BD2-CD22CB·BD=CB2+AB2-AC2由余弦定理,可得cos∠ACB=20+20-642×25×25=-6.(5分)已知△ABC為銳角三角形,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),且CD⊥BE,則cosA的取值范圍是()A.12,1C.45,1【解析】選D.如圖,設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)CD,BE交于點(diǎn)G,連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,則F為BC的中點(diǎn),由CD⊥BE,可得FG=12BC=12AG=a,AF=32a.在△ABF中,c2=32a2+12a2-2×32在△ACF中,b2=32a2+12a2-2×32a因?yàn)椤螦FC+∠AFB=π,所以上面兩式相加,得c2+b2=5a2.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2,可得3b2>2c2,3c2>2b2,則23<b2c2<32,即又cosA=b2+c2-a22bc=b2+設(shè)bc=t(63<t<62),則f(t)=t+1t因?yàn)閒(63)=f(62)=5667.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),AM=23,則AC=,cos∠MAC=.

【解析】在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cosB,即12=4+BM2-2BM×2×12,解得BM=4(負(fù)值舍去),所以BC=2BM=2CM在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=4+64-2×2×8×12所以AC=213.在△AMC中,由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM答案:21328.(5分)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為.

【解析】因?yàn)閍2=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-a2,所以cosA=b2+c因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π3方法一:因?yàn)閍=3,所以由正弦定理得asinA=bsinB=csin所以b=23sinB,c=23sinC,則a+b+c=3+23sinB+23sinC=3+23sinB+23sin(2π3-B=3+33sinB+3cosB=3+6sin(B+π6因?yàn)锽∈(0,2π3),所以當(dāng)B=π3方法二:因?yàn)閍=3,所以由余弦定理得9=b2+c2-bc,所以(b+c)2-3bc=9,所以(b+c)2-9=3bc≤3·(b+c2所以(b+c)2≤36,因?yàn)閎+c>0,所以0<b+c≤6,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”,所以a+b+c≤9,所以△ABC的周長(zhǎng)最大值為9.答案:99.(5分)(2022·全國(guó)甲卷)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=【解析】設(shè)CD=2BD=2m>0,則在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m,所以AC2AB2=4m2+4-當(dāng)且僅當(dāng)m+1=3m+1,即m=3-1時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=答案:3-1【加練備選】已知D是△ABC邊AC上一點(diǎn),且CD=3AD,BD=2,cos∠ABC=14,則3AB+BC的最大值為【解析】解法一:設(shè)AD=t,則CD=3t,AC=4t,△ABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,在△ABD中,cos∠ADB=t2在△BDC中,cos∠BDC=3t2+22-所以t2+22-c222t=-在△ABC中,AC2=(4t)2=a2+c2-2accos∠ABC,即16t2=a2+c2-12ac,由①②可得a2+9c2+32ac所以32=(a+3c)2-32a·3c≥(a+3c)2-32×a+3c22=58即(a+3c)2≤8×325,所以a+3c≤16當(dāng)且僅當(dāng)a=3c,即a=855,c所以3AB+BC的最大值為16解法二:因?yàn)镃D=3AD,所以CD=3DA,即BD-BC=3(BA-BD),整理得BD=34BA+有BD2=916BA2+116所以2=916BA2+116BC即2=916BA2+116BC2+38整理得32=9|BA|2+|BC|2+32|BA|·|BC設(shè)c=|BA|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+32ac=(3c+a)2-9因?yàn)?ac2=3·3c·a2≤323c+a22,所以32=(3c+a)2-92ac≥(3c+a)2-38(3c+a)2=58(3c+a)2,即3c+a≤答案:1610.(10分)在△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),AD=5,AC=7.(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;(2)若D為BC的中點(diǎn),且AB=19,證明:∠ADC=2∠ADB.【解析】(1)在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC=9+25-492×3×5所以∠ADC=120°.即∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得5sin45°=ABsin60°,解得(2)設(shè)BD=DC=x.在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=x2在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=x2因?yàn)椤螦DC+∠ADB=180°,所以x2+25-192×所以cos∠ADC=9+25-492×3×5=-12,所以∠ADC=120°,從而∠ADB=60°,故∠11.(10分)(2023·武漢模擬)在①a=7,②AC邊上的高為332,③sinB=21問(wèn)題:記△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=60°,c=b+1,.

(1)求c的值;(2)設(shè)AD是△ABC的角平分線,求AD的長(zhǎng).【解析】選條件①:(1)因?yàn)閍=7,c=b+1,A=60°,由余弦定理,得cosA=b2+c解得b=2或b=-3(舍去),所以c=b+1=3.(2)因?yàn)锳D是△ABC的角平分線,所以∠BAD=30°,cosB=a2+c2-b22ac=7+9-4則sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsin選條件②:(1)AC邊上的高為332,由三角形的面積公式,得12b(b+1)·sinA=解得b=2,所以c=3.(2)因?yàn)锳C邊上的高為332,所以a=(332因?yàn)锳D是△ABC的角平分線,所以∠BAD=30°,cosB=a2+c2-sinB=1-cos2B則sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=所以AD=ABsinBsin∠ADB=選條件③:(1)sinB=217,由題意可知B<C所以cosB=1-sin2B因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×277+12×由正弦定理,得sinBsinC=bc,則解得b=2,所以c=3.(2)因?yàn)锳D是△ABC的角平分線,所以∠BAD=30°,則sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsin【能力提升練】12.(5分)頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”,黃金三角形看起來(lái)既標(biāo)準(zhǔn)又美觀.如圖所示,△ABC是黃金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,易知△BCD也是黃金三角形.若BC=1,則AB=;借助黃金三角形可計(jì)算sin234°=.

【解析】由題可得∠A=∠ABD=∠DBC=36°,∠C=∠BDC=72°,所以△ABC∽△BCD,得ABBC=BCCD,且AD=BD=BC設(shè)AB=AC=x,則CD=x-1,所以x1=1x-1,解得x因?yàn)閟in234°=sin(180°+54°)=-sin54°=-cos36°.在△ABC中,根據(jù)余弦定理可得cos36°=x2+x2-答案:5+1213.(5分)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),且BD=2CD,AD=BD,則tan∠BAC·cos2B的最大值為.

【解析】解法一:在△ABC中,由BD=2CD得:AD=13AB+|AD|2=13AB+23AC2,又AD=BD,代入得:49a2=19c2+4即4a2=c2+4b2+4bccos∠BAC,4(c2+b2-a2)-3c2+4bccos∠BAC=0.由余弦定理得:8bccos∠BAC-3c2+4bccos∠BAC=0,即4bcos∠BAC=c.再由正弦定理得:4sinBcos∠BAC=sinC=sin(∠B+∠BAC),即4sinBcos∠BAC=sinBcos∠BA