一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第三講等比數(shù)列及其前n項和A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，則項數(shù)n為(C)A．3 B．4C．5 D．62．在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則eq\f(a20,a10)等于(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．－1或3〖〖解析〗〗由a2a6＝16，得aeq\o\al(2,4)＝16?a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，eq\f(a20,a10)＝q10＝1.3．(2021·陜西西安中學(xué)六模)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝eq\f(5,2)，則S5＝(C)A．29 B．30C．31 D．32〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本量的運算．∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝eq\f(5,2)，∴a7＝eq\f(1,4).設(shè){an}的公比為q，則eq\f(a7,a4)＝q3＝eq\f(1,8)，q＝eq\f(1,2)，∴an＝a4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－4)＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.4．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝A．12 B．13C．14 D．15〖〖解析〗〗因為數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比數(shù)列．不妨令b1則公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(12,4)＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15所以n＝14.5．(2021·福建漳州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項和，且S6＝S10，a6＝b7，則b9＝(BA．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(8,3) D．－4〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)．∵{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，∴aeq\o\al(2,6)＝4a6，解得a6＝4.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，則b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－eq\f(8,3)，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝－eq\f(4,3).故選B.6．(2021·河南省信陽高中、商丘一中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，且q≠1，Sn為數(shù)列{an}前n項和，記Tn＝eq\f(an,Sn)，則(D)A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6〖〖解析〗〗T6－T3＝eq\f(a6（1－q）,a1（1－q6）)－eq\f(a3（1－q）,a1（1－q3）)＝eq\f(q5（1－q）,1－q6)－eq\f(q2（1－q）,1－q3)＝eq\f(－q2（1－q）,1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q與1－q6同號，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故選D.二、多選題7．(2021·遼寧大連八中模擬改編)記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝(AC)A．－10 B．－8C．8 D．10〖〖解析〗〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，則q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.當(dāng)q＝1時，S4＝S3＋2＝8；當(dāng)q＝－2時，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故選A、C.8．(2020·山西大同期中改編)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(BDA．a(chǎn)＝eq\f(50,7)B．c＝eq\f(50,7)C．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列D．a(chǎn)，b，c依次成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列〖〖解析〗〗由題意得a，b，c依次成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝eq\f(50,7)，故選B、D.三、填空題9．(2021·四川南充一診)數(shù)列{an}滿足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，則a8＝320．〖〖解析〗〗由題意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比為2的等比數(shù)列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.10．(2021·北京東城區(qū)期末)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，則公比q＝eq\f(1,2)，S4＝eq\f(45,4)．〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式．由題意，數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－1(舍去)．由等比數(shù)列的前n項和公式，可得S4＝eq\f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4))),1－\f(1,2))＝eq\f(45,4).11．等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝32．〖〖解析〗〗由題意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(7,4)，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63,4)－eq\f(7,4)＝14＝eq\f(7,4)·q3，∴q＝2.又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f(1,4)，∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32.12．(此題為更換后新題)(2021·長春市高三一檢)等比數(shù)列{an}的首項為a1＝－1，前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，則公比q＝－eq\f(1,3)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,243).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,243)，所以q＝－eq\f(1,3).12．(此題為發(fā)現(xiàn)的重題，更換新題見上題)(2021·長春市高三一檢)等比數(shù)列{an}的首項為a1＝－1，前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，則公比q＝－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,32)，所以q＝－eq\f(1,2).四、解答題13．(2021·安徽聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.〖〖解析〗〗(1)證明：由題意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2〖Sn－1－(n－1)＋2〗，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2).14．(2021·陜西榆林一模)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，b1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋eq\f(1,2)bn，2bn＋1＝eq\f(1,2)an＋bn.(1)證明：數(shù)列{an＋bn}，{an－bn}為等比數(shù)列；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn<eq\f(10,3).〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列的證明，前n項和公式，放縮法證明不等式．(1)證明：依題有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an＋1＝an＋\f(1,2)bn，,2bn＋1＝\f(1,2)an＋bn，))兩式相加得an＋1＋bn＋1＝eq\f(3,4)(an＋bn)，又a1＋b1＝eq\f(3,2)，∴{an＋bn}是首項為eq\f(3,2)，公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列．兩式相減得an＋1－bn＋1＝eq\f(1,4)(an－bn)，又a1－b1＝eq\f(1,2)，∴{an－bn}是首項為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,4)的等比數(shù)列．(2)由(1)可得an＋bn＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)①，an－bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)②，兩式相加得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，故Sn＝eq\f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3n,4n))),1－\f(3,4))<eq\f(\f(1,4),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4),1－\f(3,4))＝eq\f(10,3).B組能力提升1．(2021·安徽六安一中調(diào)研)已知1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2,b2)的值是(C)A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C.eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗由題意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2與第一項的符號相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).故選C.2．(2021·湖北省部分重點中學(xué)高三調(diào)考)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為(C)參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，結(jié)果精確到0.1.A．2.2天 B．2.4天C．2.6天 D．2.8天〖〖解析〗〗設(shè)蒲每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{an}，其首項為a1＝3，公比為eq\f(1,2)，前n項和為An.設(shè)莞每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{bn}，其首項為b1＝1，公比為2，前n項和為Bn.則An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).設(shè)蒲、莞長度相等時所需時間為x天，則eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化簡得2x＋eq\f(6,2x)＝7，計算得出2x＝6，2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈2.6.則估計2.6天后蒲、莞長度相等．故選C.3．(多選題)(2021·海南海口模擬)已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若設(shè)其公比為q，前n項和為Sn，則(ABDA．q＝2 B．a(chǎn)n＝2nC．S10＝2047 D．a(chǎn)n＋an＋1<an＋2〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列基本量的計算．因為a1＝2，a4＝2a2＋a3，公比為q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)，故A正確；an＝2×2n－1＝2n，故B正確；Sn＝eq\f(2×（2n－1）,2－1)＝2n＋1－2，所以S10＝2046，故C錯誤；an＋an＋1＝2n＋2×2n＝3an，而an＋2＝4an>3an，故D正確．故選ABD.4．(多選題)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．0<q<1 B．a(chǎn)10a11>C．Sn的最大值為S10 D．Tn的最大值為T9〖〖解析〗〗由題意得a9>1>a10>a11…，∴0<q<1，a10a11<1，Sn沒有最大值，Tn最大，故選AD5．(2020·3月份北京市高考適應(yīng)性測試)已知{an}是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，滿足a3＝12，．是否存在正整數(shù)k，使得Sk>2020？若存在，求k的最小值；若不存在，說明理由．從①q＝2，②q＝eq\f(1,2)，③q＝－2這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。〖〖解析〗〗當(dāng)q＝2時，a1＝3，an＝3·2n－1，Sn＝eq\f(3－3·2n,1－2)＝3·2n－3.由3·2k－3>2020得2k>674eq\f(1,3)，∵29＝512，210＝1024，k∈N＋，kmin＝10.當(dāng)q＝eq\f(1,2)時，a1＝48，an＝48·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，Sn＝eq\f(48－48·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＝96－96·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).由96－96·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)>2020得－eq\f(481,24)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)，不等式無解．此時不存在．當(dāng)q＝－2時，a1＝3，an＝3·(－2)n－1，Sn＝eq\f(3－3·（－2）n,1－（－2）)＝1－(－2)n.由1－(－2)k>2020得(－2)k<－2019，∵(－2)9＝－512，(－2)10＝1024，(－2)11＝－2048，k∈N＋，kmin＝11.第三講等比數(shù)列及其前n項和A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，則項數(shù)n為(C)A．3 B．4C．5 D．62．在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則eq\f(a20,a10)等于(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．－1或3〖〖解析〗〗由a2a6＝16，得aeq\o\al(2,4)＝16?a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，eq\f(a20,a10)＝q10＝1.3．(2021·陜西西安中學(xué)六模)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝eq\f(5,2)，則S5＝(C)A．29 B．30C．31 D．32〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本量的運算．∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝eq\f(5,2)，∴a7＝eq\f(1,4).設(shè){an}的公比為q，則eq\f(a7,a4)＝q3＝eq\f(1,8)，q＝eq\f(1,2)，∴an＝a4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－4)＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.4．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝A．12 B．13C．14 D．15〖〖解析〗〗因為數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比數(shù)列．不妨令b1則公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(12,4)＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15所以n＝14.5．(2021·福建漳州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項和，且S6＝S10，a6＝b7，則b9＝(BA．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(8,3) D．－4〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)．∵{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，∴aeq\o\al(2,6)＝4a6，解得a6＝4.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，則b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－eq\f(8,3)，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝－eq\f(4,3).故選B.6．(2021·河南省信陽高中、商丘一中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，且q≠1，Sn為數(shù)列{an}前n項和，記Tn＝eq\f(an,Sn)，則(D)A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6〖〖解析〗〗T6－T3＝eq\f(a6（1－q）,a1（1－q6）)－eq\f(a3（1－q）,a1（1－q3）)＝eq\f(q5（1－q）,1－q6)－eq\f(q2（1－q）,1－q3)＝eq\f(－q2（1－q）,1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q與1－q6同號，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故選D.二、多選題7．(2021·遼寧大連八中模擬改編)記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝(AC)A．－10 B．－8C．8 D．10〖〖解析〗〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，則q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.當(dāng)q＝1時，S4＝S3＋2＝8；當(dāng)q＝－2時，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故選A、C.8．(2020·山西大同期中改編)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(BDA．a(chǎn)＝eq\f(50,7)B．c＝eq\f(50,7)C．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列D．a(chǎn)，b，c依次成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列〖〖解析〗〗由題意得a，b，c依次成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝eq\f(50,7)，故選B、D.三、填空題9．(2021·四川南充一診)數(shù)列{an}滿足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，則a8＝320．〖〖解析〗〗由題意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比為2的等比數(shù)列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.10．(2021·北京東城區(qū)期末)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，則公比q＝eq\f(1,2)，S4＝eq\f(45,4)．〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式．由題意，數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－1(舍去)．由等比數(shù)列的前n項和公式，可得S4＝eq\f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4))),1－\f(1,2))＝eq\f(45,4).11．等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝32．〖〖解析〗〗由題意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(7,4)，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63,4)－eq\f(7,4)＝14＝eq\f(7,4)·q3，∴q＝2.又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f(1,4)，∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32.12．(此題為更換后新題)(2021·長春市高三一檢)等比數(shù)列{an}的首項為a1＝－1，前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，則公比q＝－eq\f(1,3)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,243).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,243)，所以q＝－eq\f(1,3).12．(此題為發(fā)現(xiàn)的重題，更換新題見上題)(2021·長春市高三一檢)等比數(shù)列{an}的首項為a1＝－1，前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，則公比q＝－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,32)，所以q＝－eq\f(1,2).四、解答題13．(2021·安徽聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.〖〖解析〗〗(1)證明：由題意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2〖Sn－1－(n－1)＋2〗，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2).14．(2021·陜西榆林一模)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，b1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋eq\f(1,2)bn，2bn＋1＝eq\f(1,2)an＋bn.(1)證明：數(shù)列{an＋bn}，{an－bn}為等比數(shù)列；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn<eq\f(10,3).〖〖解析〗〗本題考查等比數(shù)列的證明，前n項和公式，放縮法證明不等式．(1)證明：依題有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an＋1＝an＋\f(1,2)bn，,2bn＋1＝\f(1,2)an＋bn，))兩式相加得an＋1＋bn＋1＝eq\f(3,4)(an＋bn)，又a1＋b1＝eq\f(3,2)，∴{an＋bn}是首項為eq\f(3,2)，公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列．兩式相減得an＋1－bn＋1＝eq\f(1,4)(an－bn)，又a1－b1＝eq\f(1,2)，∴{an－bn}是首項為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,4)的等比數(shù)列．(2)由(1)可得an＋bn＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)①，an－bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)②，兩式相加得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，故Sn＝eq\f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3n,4n))),1－\f(3,4))<eq\f(\f(1,4),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4),1－\f(3,4))＝eq\f(10,3).B組能力提升1．(2021·安徽六安一中調(diào)研)已知1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2,b2)的值是(C)A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C.eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗由題意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2與第一項的符號相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).故選C.2．(2021·湖北省部分重點中學(xué)高三調(diào)考)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為(C)參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，結(jié)果精確到0.1.A．2.2天 B．2.4天C．2.6天 D．2.8天〖〖解析〗〗設(shè)蒲每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{an}，其首項為a1＝3，公比為eq\f(1,2)，前n項和為An.設(shè)莞每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{bn}，其首項為b1＝1，公比為2，前n項和為Bn.則An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).設(shè)蒲、莞長度相等時所需時間為x天，則eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化簡得2x＋eq\f(6,2x)＝7，計算得出2x＝6，2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,