【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第13講函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)模型（精講）題型目錄一覽①求函數(shù)的零點和判斷零點所在區(qū)間②與零點有關(guān)的參數(shù)問題③二分法的應(yīng)用④常見函數(shù)模型Ⅰ-二次和分段函數(shù)⑤常見函數(shù)模型Ⅱ-指對冪函數(shù)【★文末附錄-函數(shù)的應(yīng)用思維導(dǎo)圖】一、知識點梳理一、知識點梳理1.函數(shù)的零點對于函數(shù)SKIPIF1<0，我們把使SKIPIF1<0的實數(shù)SKIPIF1<0叫做函數(shù)SKIPIF1<0的零點.2.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程SKIPIF1<0有實數(shù)根SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與SKIPIF1<0軸有公共點SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0有零點.3.零點存在性定理如果函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有SKIPIF1<0，那么函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有零點，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的根.4.二分法對于區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)不斷且SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0，通過不斷地把函數(shù)SKIPIF1<0的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程SKIPIF1<0的近似解就是求函數(shù)SKIPIF1<0零點的近似值.5.用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間SKIPIF1<0，驗證SKIPIF1<0，給定精度SKIPIF1<0.（2）求區(qū)間SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0.（3）計算SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0就是函數(shù)SKIPIF1<0的零點；若SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0（此時零點SKIPIF1<0）.若SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0（此時零點SKIPIF1<0）（4）判斷是否達(dá)到精確度SKIPIF1<0，即若SKIPIF1<0，則函數(shù)零點的近似值為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）；否則重復(fù)第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.）6.幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0反比例函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0二次函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0指數(shù)函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對數(shù)函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0冪函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<07.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．【常用結(jié)論】函數(shù)的零點相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)SKIPIF1<0在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則SKIPIF1<0至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)SKIPIF1<0，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)SKIPIF1<0通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上有零點，不一定能推出SKIPIF1<0.二、題型分類精講二、題型分類精講刷真題明導(dǎo)向刷真題明導(dǎo)向一、單選題1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故至少需要志愿者SKIPIF1<0名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：SKIPIF1<0描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為SKIPIF1<0天，根據(jù)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即可得結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為SKIPIF1<0天，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0天.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0恰有4個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個不同交點，分SKIPIF1<0三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0恰有4個零點，只需方程SKIPIF1<0恰有3個實根即可，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有SKIPIF1<0個不同交點.因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0，如圖1，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個不同交點，不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，如圖2，此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0個不同交點，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，聯(lián)立方程得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），所以SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0最多有2個根，可得SKIPIF1<0至少有4個根，分別討論當(dāng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】SKIPIF1<0最多有2個根，所以SKIPIF1<0至少有4個根，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有4個零點，即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有5個零點，即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有6個零點，即SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無零點；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1個零點；當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0有2個零點；所以若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有1個零點.綜上，要使SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則可解得a的取值范圍是SKIPIF1<0.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是分成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況分別討論兩個函數(shù)的零點個數(shù)情況.二、填空題5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1個零點；③存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點；④存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正確；對于②，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，對函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點，若函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點，則直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有一個交點，所以，SKIPIF1<0，此不等式無解，因此，不存在SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，對函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．6．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，對任意實數(shù)x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析可知函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范圍，然后對實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)SKIPIF1<0的不等式，綜合可求得實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：此時函數(shù)SKIPIF1<0只有兩個零點，不合乎題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為SKIPIF1<0，合乎題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.綜上所述，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型一求函數(shù)的零點和判斷零點所在區(qū)間策略方法1.確定函數(shù)零點個數(shù)的方法2.判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法【典例1】已知函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個零點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.【詳解】因為SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個零點，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D【典例2】設(shè)方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的實數(shù)根分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用零點存在性定理分別求出根的范圍即可判斷．【詳解】構(gòu)建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的實數(shù)根SKIPIF1<0，構(gòu)建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的實數(shù)根SKIPIF1<0，構(gòu)建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及方程根的問題，屬于基礎(chǔ)題【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程SKIPIF1<0的解在SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理分析運算.【詳解】構(gòu)建SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0在定義域內(nèi)至多有一個零點，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0僅在SKIPIF1<0內(nèi)存在零點，即方程SKIPIF1<0的解僅在SKIPIF1<0內(nèi)，故SKIPIF1<0.故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的零點依次為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分別討論SKIPIF1<0的零點所在的區(qū)間，然后比較大小.【詳解】對于SKIPIF1<0，顯然是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零點SKIPIF1<0；對于SKIPIF1<0，顯然也是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零點SKIPIF1<0；對于SKIPIF1<0，顯然也是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零點SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求方程SKIPIF1<0近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】SKIPIF1<0，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點的函數(shù)值，再根據(jù)零點的存在性定理即可得出答案.【詳解】令SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上都是增函數(shù)，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有唯一零點，所以用二分法求方程SKIPIF1<0近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是SKIPIF1<0.故選：B.二、填空題4．（2023春·河南周口·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的零點是_________．【答案】1和3【分析】直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與零點的定義，令SKIPIF1<0即可求解【詳解】依題意，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：1和3.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點之和為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點，從而得解．【詳解】解：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所有零點的和為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為________．【答案】1【分析】解法一，將函數(shù)SKIPIF1<0的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象的交點問題，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案；解法二，利用零點存在定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】解法一：令SKIPIF1<0，可得方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象的交點個數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的大致圖象（如圖）．由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象只有一個交點，故函數(shù)SKIPIF1<0只有一個零點，故答案為：1解法二：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0上是不間斷的，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有零點，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調(diào)遞增的，∴函數(shù)SKIPIF1<0的零點有且只有一個，故答案為：17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為實數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由零點的存在性定理求解即可【詳解】因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且有零點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0題型二與零點有關(guān)的參數(shù)問題策略方法已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍【典例1】．若函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分類討論SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三種情況，然后根據(jù)函數(shù)判斷【詳解】①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0只有一個零點0，不符合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象，如圖1，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一個零點，符合題意；③當(dāng)SKIPIF1<0時，作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象，如圖2，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上沒有零點．則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個零點，此時必須滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：A【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期5月模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)SKIPIF1<0表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)SKIPIF1<0至少有3個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分析可知函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范圍，然后對實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍進行分類討論，即可得出實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，不等式組無解，綜上所述，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有兩個不同實數(shù)根，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象，再結(jié)合函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，方程SKIPIF1<0有兩個不同實數(shù)根，等價于函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點，當(dāng)SKIPIF1<0時，如圖所示，由圖可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點，滿足題意當(dāng)SKIPIF1<0時，如圖所示由圖可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有且僅有一個交點，不滿足題意,綜上所示，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：D．3．（河北省2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有兩個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0恰有兩個實數(shù)根，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可確定SKIPIF1<0的取值.【詳解】SKIPIF1<0恰有兩個零點,即SKIPIF1<0恰有兩個實數(shù)根，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恰有兩個實數(shù)根等價于SKIPIF1<0恰有兩個實數(shù)根，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取極小值也是最小值，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在直角坐標(biāo)系中畫出SKIPIF1<0的大致圖象如圖：要使SKIPIF1<0有兩個交點，則SKIPIF1<0，故選：D4．（天津市和平區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)SKIPIF1<0有零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有交點，再根據(jù)SKIPIF1<0值域求解即可.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0有零點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有交點，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：C二、多選題5．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，關(guān)于x的方程SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在SKIPIF1<0使方程恰有2個不相等的實根B．存在SKIPIF1<0使方程恰有4個不相等的實根C．存在SKIPIF1<0使方程恰有5個不相等的實根D．存在SKIPIF1<0使方程恰有6個不相等的實根【答案】AB【分析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，由此確定方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)及范圍，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定結(jié)論.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象如下：所以當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0沒有實根；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有1個實根；當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有2個實根；當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有3個實根.因為方程SKIPIF1<0的判別式SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0沒有實根，故方程SKIPIF1<0無實根；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0有2個不等實根；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有2個不等實根t1，t2，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則必有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0沒有實根，SKIPIF1<0有1個實根，所以方程SKIPIF1<0有1個實根；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1個實根，SKIPIF1<0有1個實根，所以方程SKIPIF1<0有2個實根；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有3個實根，SKIPIF1<0有1個實根，所以方程SKIPIF1<0有4個實根，綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有1個實根；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有2個實根；當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有4個實根；當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0沒有實根.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題，再利用數(shù)形結(jié)合方法及二次函數(shù)性質(zhì)研究方程的解.三、填空題6．（北京市昌平區(qū)2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)SKIPIF1<0有且僅有兩個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的一個取值為______.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】由零點的概念求解【詳解】令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的一個零點，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一解，得SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一）7．（天津市河西區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個不同的零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個不同的零點，利用根的分布可得答案.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個不同的零點，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恰有SKIPIF1<0個不同的零點，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型三二分法的應(yīng)用【典例1】人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用．例如求方程SKIPIF1<0的近似解，先用函數(shù)零點存在定理，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0上存在零點，取SKIPIF1<0，牛頓用公式SKIPIF1<0反復(fù)迭代，以SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的近似解，迭代兩次后計算得到的近似解為______；以SKIPIF1<0為初始區(qū)間，用二分法計算兩次后，以最后一個區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含義，實際上是一個遞推數(shù)列，反復(fù)代入給定的表達(dá)式，計算即可；第二空，根據(jù)二分法依次取區(qū)間中點值計算即可.【詳解】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．迭代1次后，SKIPIF1<0；選代2次后，SKIPIF1<0；用二分法計算第1次，區(qū)間SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以近似解在區(qū)間SKIPIF1<0上；用二分法計算第2次，區(qū)間SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以近似解在區(qū)間SKIPIF1<0上，取其中點值SKIPIF1<0，故所求近似解為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)SKIPIF1<0的零點時，第一次經(jīng)過計算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可知零點SKIPIF1<0，結(jié)合對二分法的理解即可得出結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，由零點存在性知：零點SKIPIF1<0，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【分析】根據(jù)二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有一個根，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在SKIPIF1<0內(nèi)，因為SKIPIF1<0，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在區(qū)間SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，因為SKIPIF1<0滿足精確度，因為SKIPIF1<0，所以根在SKIPIF1<0內(nèi)，所以方程的一個近似解為SKIPIF1<0，故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的零點，可以采用二分法的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0不是單調(diào)函數(shù)，SKIPIF1<0，不能用二分法求零點；SKIPIF1<0是單調(diào)函數(shù)，SKIPIF1<0，能用二分法求零點；SKIPIF1<0不是單調(diào)函數(shù)，SKIPIF1<0，不能用二分法求零點；SKIPIF1<0不是單調(diào)函數(shù)，SKIPIF1<0，不能用二分法求零點.故選：B二、填空題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程SKIPIF1<0的根在區(qū)間SKIPIF1<0上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應(yīng)為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，求方程的一個近似解，就是求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有零點，分析函數(shù)值的符號是否異號即可．【詳解】解：令SKIPIF1<0，其在定義域上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由f（2.5）f（3）＜0知根所在區(qū)間為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題型四常見函數(shù)模型Ⅰ-二次和分段函數(shù)【典例1】在中國很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣污染非常嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進行處理.據(jù)測算，每噴灑一個單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度SKIPIF1<0（單位：毫克/立方米）隨著時間SKIPIF1<0（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為SKIPIF1<0，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和，由試驗知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑4個單位的去污劑，則去污時間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的去污劑，6天后再噴灑SKIPIF1<0個單位的去污劑，要使接下來的3天能夠持續(xù)有效去污，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)7天(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可（2）根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關(guān)于時間的關(guān)系式，然后利用基本不等式放縮，并解出不等式即可【詳解】（1）釋放的去污劑濃度為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故一次投放4個單位的去污劑，有效去污時間可達(dá)7天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)SKIPIF1<0天，則濃度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等號成立.所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)SKIPIF1<0萬件該產(chǎn)品，需另投入成本SKIPIF1<0萬元.其中SKIPIF1<0，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（

）A．720萬元 B．800萬元C．875萬元 D．900萬元【答案】C【分析】先求得該企業(yè)每年利潤的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤的最大值.【詳解】該企業(yè)每年利潤為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立），即在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得該企業(yè)每年利潤的最大值為SKIPIF1<0.故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距