第28講等差數列（精講）題型目錄一覽①等差數列基本量的計算②等差數列的性質及其應用③等差數列的前n項和④等差數列中中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系⑤等差數列的判定與證明一、知識點梳理一、知識點梳理一、等差數列的有關概念1.等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示，定義表達式為SKIPIF1<0（常數）SKIPIF1<0．2.等差中項的概念若三個數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，且有SKIPIF1<0．二、等差數列的有關公式1.等差數列的通項公式如果等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，那么它的通項公式是SKIPIF1<0．2.等差數列的前SKIPIF1<0項和公式設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．三、等差數列的常用性質已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0為公差，SKIPIF1<0為該數列的前SKIPIF1<0項和．1.通項公式的推廣：SKIPIF1<0．2.在等差數列SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．3.SKIPIF1<0，…仍是等差數列，公差為SKIPIF1<0．4.SKIPIF1<0，…也成等差數列，公差為SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數列，則SKIPIF1<0也是等差數列．四、等差數列的前n項和公式與函數的關系SKIPIF1<0．數列SKIPIF1<0是等差數列?SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數）．【常用結論】1.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為等差數列，且前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一等差數列基本量的計算策略方法解決等差數列運算問題的思想方法(1)方程思想：等差數列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”．(2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解．(3)利用性質：運用等差數列性質可以化繁為簡、優化解題過程．【典例1】在等差數列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則201是數列的第幾項（

）A．59 B．60 C．61 D．62【答案】C【分析】根據等差數列的定義求出公差，從而求出通項公式，再根據SKIPIF1<0，構造關于SKIPIF1<0的方程，解方程即可．【詳解】等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設公差為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；∴通項公式為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．故選：C．【典例2】在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根據給定條件，利用等差數列的性質求出公差即可求解作答.【詳解】在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【題型訓練】一、單選題1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首項，從而可求SKIPIF1<0.【詳解】設等差數列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A.2．（2023·江西贛州·統考二模）等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】根據等差數列的性質運算求解.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的公差為d，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.3．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】利用等差數列的基本量計算可得答案.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：C4．（2023·廣西·統考模擬預測）設SKIPIF1<0為等差數列，若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【分析】由等差數列的基本量法列方程組求解．【詳解】由題意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故選：D.5．（2023·四川涼山·三模）在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中項性質得SKIPIF1<0，利用等差數列通項公式求基本量公差SKIPIF1<0，進而寫出通項公式，即可得SKIPIF1<0.【詳解】由題設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若等差數列公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0通項公式為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C6．（2023·西藏日喀則·統考一模）中國古代數學名著《算法統宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數成等差數列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文【答案】A【分析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據題意列方程組可解得結果.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以乙分得SKIPIF1<0（文），丁分得SKIPIF1<0（文），故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習）等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，根據已知條件可求得SKIPIF1<0的值，進而可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：D.8．（2023·陜西咸陽·統考模擬預測）已知等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前20項和SKIPIF1<0（

）A．200 B．300 C．210 D．320【答案】C【分析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解方程即可求出SKIPIF1<0，再由等差數列的前SKIPIF1<0項和即可得出答案.【詳解】因為數列SKIPIF1<0為等差數列，設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.二、填空題9．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學校聯考二模）在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差是．【答案】-3【分析】設SKIPIF1<0的公差為d，由等差數列的通項公式可得答案.【詳解】設SKIPIF1<0的公差為d，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．10．（2023·全國·模擬預測）已知等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據等差數列得通項求出首項和公差，再根據等差數列的通項公式即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由等差數列的通項公式化簡SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再由等差數列的通項公式把SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0即可求出答案.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<012．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據下標和性質求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出公差SKIPIF1<0，再根據SKIPIF1<0計算可得.【詳解】因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<013．（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等差數列，則通項公式為．【答案】SKIPIF1<0【分析】設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可寫出通項公式．【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．14．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若在數列SKIPIF1<0每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，則新數列的第43項為.【答案】SKIPIF1<0【分析】先計算出等差數列SKIPIF1<0的公差，進而得到新的等差數列SKIPIF1<0的公差，從而求出SKIPIF1<0的通項公式，求出新數列的第SKIPIF1<0項.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設在數列SKIPIF1<0每相鄰兩項之間插入三個數所得新數列為SKIPIF1<0，則新的等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0，所以新數列的通項公式為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型二等差數列的性質及其應用策略方法利用等差數列的性質解題的兩個關注點(1)兩項和的轉換是最常用的性質，利用2am＝am－n＋am＋n可實現項的合并與拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn與a1＋an可相互轉化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．40 C．50 D．45【答案】D【分析】根據等差數列的性質即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D【典例2】已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據等差中項的概念，列方程，求的m+n=12，再根據等差中項的定義，可知m和n的等差中項為6.【詳解】：∵m和2n的等差中項是8，2m和n的等差中項是10，由等差中項的概念得：m+2n=16①,2m+n=20

②①+②得：3m+3n=36，即m+n=12．∴m和n的等差中項為6．故選：C【點睛】本題考查了等差中項的概念，是基礎題．【題型訓練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0是等差數列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【分析】根據等差數列的性質計算.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）如果等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【分析】根據等差數列的性質計算.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選:C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．15 C．5SKIPIF1<0 D．10SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據等差數列的性質計算.【詳解】∵數列SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B4．（2023·青海西寧·統考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等差數列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前5項和為（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【分析】根據等差數列的等差中項性質解決即可.【詳解】由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等差數列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0的前5項和為SKIPIF1<0．故選：B5．（2023·全國·高三專題練習）現有茶壺九只，容積從小到大成等差數列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【分析】根據等差數列的性質即可求解.【詳解】設九只茶壺按容積從小到大依次記為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B6．（2023·陜西榆林·統考三模）一個等差數列的前3項之和為12，第4項為0，則第6項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據等差數列的性質，求得SKIPIF1<0，再結合SKIPIF1<0，即可求解.【詳解】由等差數列的前3項之和為12，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由第4項為0，即SKIPIF1<0，因為第2項、第4項、第6項依次成等差數列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.7．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）數列SKIPIF1<0是等差數列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據等差數列性質得到SKIPIF1<0，得到答案.【詳解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C8．（2023·全國·高三專題練習）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長度依次成等差數列，冬至、立春、春分這三個節氣的日影長度之和為SKIPIF1<0尺，前九個節氣日影長度之和為SKIPIF1<0尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．SKIPIF1<0尺 B．SKIPIF1<0尺 C．SKIPIF1<0尺 D．SKIPIF1<0尺【答案】A【分析】根據題意，分別設十二個節氣為SKIPIF1<0，再運用等差中項求解.【詳解】設冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個節氣為：SKIPIF1<0，且其公差為SKIPIF1<0，依題意有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以谷雨這一天的日影長度為SKIPIF1<0尺，故選：A9．（2023·全國·高三專題練習）“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0為等差數列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】舉特例結合等差數列的性質，即可得出答案.【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，但數列SKIPIF1<0不是等差數列；若數列SKIPIF1<0為等差數列，根據等差數列的性質可知，SKIPIF1<0成立.所以，“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0為等差數列”的必要不充分條件.故選：C.10．（2023·全國·高三專題練習）公差不為零的等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據等差數列通項求出SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求出SKIPIF1<0，對于CD選項，利用特殊值法反駁即可.【詳解】因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0公差不為零,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，B正確，A錯誤，取SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0,C,D均不正確,故選：B.二、填空題11．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=【答案】e【分析】由等差中項的性質計算即可.【詳解】由等差數列性質可知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：e12．（2023春·甘肅天水·高三校考開學考試）已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】1【分析】由等差數列的性質求解．【詳解】SKIPIF1<0是等差數列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：1.13．（2023·全國·高三專題練習）在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】74【分析】根據等差數列的性質列式計算即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以由等差數列的性質可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：7414．（2023·全國·高三專題練習）在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，則SKIPIF1<0＝.【答案】3【分析】先利用韋達定理，再利用等差數列的性質，即可得到結論.【詳解】由SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根得SKIPIF1<0＝3.又數列SKIPIF1<0為等差數列，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3.故答案為：315．（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】21【分析】根據題中條件，判斷數列SKIPIF1<0為等差數列，再計算基本量即可得出結果．【詳解】由SKIPIF1<0知，數列SKIPIF1<0是等差數列，∴SKIPIF1<0成等差數列．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：21.題型三等差數列的前n項和策略方法在等差數列中，SKIPIF1<0，…仍成等差數列；SKIPIF1<0也成等差數列．【典例1】設SKIPIF1<0是等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】根據等差數列前SKIPIF1<0項和公式進行求解即可.【詳解】設該等差數列的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，所以由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B【典例2】已知SKIPIF1<0為等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．4 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據等差數列求和公式及下標和性質計算可得.【詳解】因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A【題型訓練】一、單選題1．（2023·江西贛州·統考二模）已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．10 C．11 D．13【答案】C【分析】設出公差，列出方程組，求出公差和首項，得到答案.【詳解】設公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C2．（2023·全國·高三專題練習）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數目構成一個首項為5，公差為2的等差數列，總計一百零八座，則該塔共有（

）A．八層 B．十層 C．十一層 D．十二層【答案】D【分析】設該塔共有SKIPIF1<0層，根據等差數列的求和公式計算即可.【詳解】設該塔共有SKIPIF1<0層，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即該塔共有SKIPIF1<0層.故選：D3．（2023·江西新余·統考二模）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的公差為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】A【分析】由等差數列和等差數列的前SKIPIF1<0項和公式代入求解即可得出答案.【詳解】由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0①，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0②，由①②可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去).故選：A.4．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20 C．55 D．110【答案】C【分析】把每一層的球數看成數列的項，即可得一個數列，根據規律即可求解.【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）《數書九章》有這樣一個問題：有5位士兵按從低到高站成一排（從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差數列，已知乙士兵的身高為5尺1寸，這五位士兵身高之和為26尺（1尺為10寸），則丁士兵的身高為（

）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸【答案】B【分析】依題意列方程組求出等差數列的首項和公差即可求解.【詳解】設甲、乙、丙、丁、戊這5位士兵身高依次所成等差數列為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0丁的身高為SKIPIF1<0，故選：B.6．（2023·全國·高三專題練習）記SKIPIF1<0為等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列SKIPIF1<0的公差和首項，再根據前SKIPIF1<0項和公式即可解出；方法二：根據等差數列的性質求出等差數列SKIPIF1<0的公差，再根據前SKIPIF1<0項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0，依題意可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.方法二：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.7．（2023·陜西安康·統考三模）已知等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據等差數列的性質，求得SKIPIF1<0，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數列的性質，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.8．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考專題練習）在等差數列{an}中，a3+2a5+a9=10，則數列{an}前10項的和為（

）A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】根據等差數列的通項公式求出首項和公差的關系，最后根據等差數列求和公式計算即可.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0前10項的和SKIPIF1<0.故選：C.9．（2023·全國·高三專題練習）在項數為SKIPIF1<0的等差數列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，最后SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，所有項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用等差數列的基本性質求出SKIPIF1<0的值，利用等差數列的求和公式可得出關于SKIPIF1<0的等式，解之即可.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由等差數列的性質可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.10．（2023·廣東東莞·校聯考模擬預測）設SKIPIF1<0為正項等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由等差數列的求和公式和等差中項公式，求得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數列的前SKIPIF1<0項和公式，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.11．（2023·陜西咸陽·統考三模）已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據等差數列前n項求和公式可得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，計算即可求解.【詳解】SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.12．（2023·全國·高三專題練習）若兩個等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據等差數列得性質和前SKIPIF1<0項和公式計算即可.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題13．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根據等差數列前SKIPIF1<0項和公式和通項的性質，推出SKIPIF1<0，結合選項可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0是等差數列，所以SKIPIF1<0.根據題意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項A，B正確；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選項C正確；對于選項D，SKIPIF1<0，根據題意無法判斷SKIPIF1<0是否為零，故選項D錯誤.故選：ABC14．（2023·遼寧·校聯考一模）設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】設等差數列公差為d，由題目條件，可得SKIPIF1<0，由此可得各選項正誤.【詳解】設等差數列公差為d，則由題目條件有：SKIPIF1<0.A選項，SKIPIF1<0，故A錯誤；B選項，SKIPIF1<0，故B正確；C選項，SKIPIF1<0，故C正確；D選項，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0為單調遞減數列，則SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：BC.三、填空題15．（2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學校考階段練習）已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差為.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據等差數列公式求解.【詳解】設數列SKIPIF1<0的公差為d，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；故答案為：-3.16．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）記等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0．【答案】9【分析】將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0拆分為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解方程即可得出答案．【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．17．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）若等差數列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前10項的和為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意可得SKIPIF1<0，解方程求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，再由等差數列的前SKIPIF1<0項和公式求解即可.【詳解】設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0的前10項的和為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.18．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】70【分析】設公差為d，化簡已知得SKIPIF1<0，再利用等差數列的求和公式計算即得解.【詳解】設公差為d，因為SKIPIF1<0是等差數列，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：7019．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等差數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前60項的和為．【答案】7260【分析】確定SKIPIF1<0是等差數列，計算首項和公差，求和得到答案.【詳解】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等差數列，則SKIPIF1<0是等差數列，首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，故前60項的和為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<020．（2023·全國·高三專題練習）設等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】4【分析】先利用SKIPIF1<0關系式，求出公差，進而用通項公式和求和公式得到方程組，求出SKIPIF1<0.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則等差數列的公差SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.故答案為：421．（2023·全國·高三專題練習）已知兩個等差數列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值可求得等差數列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的首項及公差，進而可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出其比值即可.【詳解】解：設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0又已知SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型四等差數列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系策略方法等差數列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系數列的前項和和通項的關系：則【典例1】已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據通項與前n項和的關系，分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種情況分別求解即可.【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時也滿足SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故選：D【典例2】已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由數列的前SKIPIF1<0項和公式求得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，驗證SKIPIF1<0后得答案．【詳解】SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．驗證SKIPIF1<0時上式不成立，SKIPIF1<0,故選C．【點睛】本題主要考查由數列的前SKIPIF1<0項和求數列的通項公式，是中檔題．已知數列前SKIPIF1<0項和，求數列通項公式，常用公式SKIPIF1<0，將所給條件化為關于前SKIPIF1<0項和的遞推關系或是關于第SKIPIF1<0項的遞推關系，若滿足等比數列或等差數列定義，用等比數列或等差數列通項公式求出數列的通項公式，否則適當變形構造等比或等數列求通項公式.在利用SKIPIF1<0